विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण विविधता

गणितीय भौतिकी में, वैश्विक अतिपरवलयता एक अंतरिक्ष समय कई गुना (अर्थात, लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड) की कारण संरचना पर एक निश्चित स्थिति है। इसे तरंग समीकरण के रैखिक सिद्धांत के अनुरूप अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है, जहां किसी प्रणाली की भविष्य की स्थिति प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। (बदले में, तरंग संचालक का प्रमुख प्रतीक hyperboloid का है।) यह अल्बर्ट आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत और संभावित रूप से अन्य मीट्रिक गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों के लिए प्रासंगिक है।

परिभाषाएँ

वैश्विक अतिशयोक्ति की कई समकक्ष परिभाषाएँ हैं। मान लीजिए कि एम बिना सीमा के एक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड है। हम निम्नलिखित प्रारंभिक परिभाषाएँ बनाते हैं:

एम गैर-पूरी तरह से शातिर है अगर कम से कम एक बिंदु ऐसा है कि कोई बंद समय जैसा वक्र इसके माध्यम से नहीं गुजरता है।
M कारण है यदि इसमें कोई बंद कारण वक्र नहीं है।
यदि किसी कॉम्पैक्ट सेट में कोई विस्तार योग्य कारण वक्र शामिल नहीं है तो एम गैर-कुल कैद है। यह गुण कार्य-कारण को दर्शाता है।
एम दृढ़ता से कारण है यदि प्रत्येक बिंदु पी और पी के किसी भी पड़ोस यू के लिए यू में निहित पी का एक कारण उत्तल पड़ोस वी है, जहां कारण उत्तलता का मतलब है कि वी में समापन बिंदुओं वाला कोई भी कारण वक्र पूरी तरह से वी में निहित है। इस संपत्ति का तात्पर्य है गैर-पूर्ण कारावास.
M में कोई बिंदु p दिया गया है, $J^{+}(p)$ [सम्मान. $J^{-}(p)$ ] उन बिंदुओं का संग्रह है जिन तक भविष्य-निर्देशित [सम्मान] द्वारा पहुंचा जा सकता है। अतीत-निर्देशित] पी से शुरू होने वाला निरंतर कारण वक्र।
एम के उपसमुच्चय एस को देखते हुए, एस की निर्भरता का क्षेत्र एम में सभी बिंदुओं पी का सेट है, जैसे कि पी के माध्यम से प्रत्येक अविस्तारित कारण वक्र एस को काटता है।
यदि कोई समय-समान वक्र S को एक से अधिक बार प्रतिच्छेद नहीं करता है, तो M का एक उपसमुच्चय S कालानुक्रमिक होता है।
एम के लिए एक कॉची सतह एक बंद अक्रोनल सेट है जिसकी निर्भरता का क्षेत्र एम है।

निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

स्पेसटाइम कारणात्मक है, और एम में बिंदु पी और क्यू की प्रत्येक जोड़ी के लिए, पी से क्यू तक निरंतर भविष्य-निर्देशित कारण वक्रों का स्थान कॉम्पैक्ट है ${\mathcal {C}}^{0}$ टोपोलॉजी.
स्पेसटाइम में कॉची सतह होती है।
स्पेसटाइम कारणात्मक है, और एम में बिंदु पी और क्यू की प्रत्येक जोड़ी के लिए, उपसमुच्चय है $J^{-}(p)\cap J^{+}(q)$ सघन है.
स्पेसटाइम गैर-कुल कैद है, और एम में बिंदु पी और क्यू की प्रत्येक जोड़ी के लिए, उपसमुच्चय ${J^{-}(p)\cap J^{+}(q)}$ एक कॉम्पैक्ट सेट में समाहित है (अर्थात, इसका क्लोजर कॉम्पैक्ट है)।

यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी होती है, तो हम कहते हैं कि एम विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण है। यदि एम सीमा के साथ एक सुचारु रूप से जुड़ा हुआ लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड है, तो हम कहते हैं कि यह विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि इसका आंतरिक भाग विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण है।

वैश्विक अतिशयोक्ति के अन्य समकक्ष लक्षण लोरेंत्ज़ियन दूरी की धारणा का उपयोग करते हैं $d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )$ जहां सर्वोच्च को सभी पर ले लिया जाता है $C^{1}$ बिंदुओं को जोड़ने वाले कारण वक्र (यदि ऐसा कोई वक्र नहीं है तो परिपाटी d=0 के अनुसार)। वे हैं

जिसके लिए एक सशक्त कारण स्पेसटाइम $d$ सीमित मूल्य है.^[1]
एक गैर-कुल कैद करने वाला स्पेसटाइम ऐसा है $d$ मूल मीट्रिक के अनुरूप वर्ग में प्रत्येक मीट्रिक विकल्प के लिए निरंतर है।

वैश्विक अतिशयोक्ति, ऊपर दिए गए पहले रूप में, लेरे द्वारा प्रस्तुत की गई थी^[2] मैनिफोल्ड पर तरंग समीकरण के लिए कॉची समस्या की अच्छी तरह से विचार करने के लिए। 1970 में गेरोच^[3] परिभाषाओं 1 और 2 की तुल्यता सिद्ध की। परिभाषा 3 को मजबूत कार्य-कारण की धारणा के तहत और पहले दो से इसकी तुल्यता हॉकिंग और एलिस द्वारा दी गई थी।^[4] जैसा कि उल्लेख किया गया है, पुराने साहित्य में, ऊपर दी गई वैश्विक अतिशयोक्ति की पहली और तीसरी परिभाषाओं में कार्य-कारण की स्थिति को मजबूत कार्य-कारण की मजबूत स्थिति से बदल दिया गया है। 2007 में, बर्नाल और सांचेज़^[5] ने दिखाया कि मजबूत कार्य-कारण की स्थिति को कार्य-कारण द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। विशेष रूप से, 3 में परिभाषित कोई भी विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड दृढ़ता से कारणात्मक है। बाद में हाउन्नोनकपे और मिंगुज़ी^[6] साबित हुआ कि काफी उचित स्पेसटाइम के लिए, अधिक सटीक रूप से तीन से बड़े आयाम वाले जो गैर-कॉम्पैक्ट या गैर-पूरी तरह से खराब हैं, 'कारण' स्थिति को परिभाषा 3 से हटाया जा सकता है।

परिभाषा 3 में समापन $J^{-}(p)\cap J^{+}(q)$ मजबूत लगता है (वास्तव में, सेट का बंद होना)। $J^{\pm }(p)$ कारण संबंधी सरलता, स्पेसटाइम के कारण पदानुक्रम का स्तर^[7] जो वैश्विक अतिशयोक्ति के ठीक नीचे रहता है)। मिंगुज़ी द्वारा प्रस्तावित परिभाषा 4 के अनुसार कार्य-कारण की स्थिति को मजबूत करके इस समस्या का समाधान करना संभव है^[8] 2009 में। यह संस्करण स्पष्ट करता है कि वैश्विक अतिशयोक्ति कारण संबंध और कॉम्पैक्टनेस की धारणा के बीच एक अनुकूलता की स्थिति निर्धारित करती है: प्रत्येक कारण हीरा एक कॉम्पैक्ट सेट में समाहित होता है और प्रत्येक अविस्तारित कारण वक्र कॉम्पैक्ट सेट से बच जाता है। ध्यान दें कि कॉम्पैक्ट सेट का परिवार जितना बड़ा होगा, कुछ कॉम्पैक्ट सेट में कैज़ुअल हीरों को समाहित करना उतना ही आसान होगा, लेकिन कॉज़ल कर्व्स के लिए कॉम्पैक्ट सेट से बचना उतना ही कठिन होगा। इस प्रकार वैश्विक अतिशयोक्ति कारण संरचना के संबंध में कॉम्पैक्ट सेट की प्रचुरता पर संतुलन स्थापित करती है। चूंकि बेहतर टोपोलॉजी में कम कॉम्पैक्ट सेट होते हैं, इसलिए हम यह भी कह सकते हैं कि कारण संबंध को देखते हुए संतुलन खुले सेट की संख्या पर है। परिभाषा 4 मीट्रिक की गड़बड़ी के तहत भी मजबूत है (जो सिद्धांत रूप में बंद कारण वक्र पेश कर सकती है)। वास्तव में इस संस्करण का उपयोग करके यह दिखाया गया है कि मीट्रिक गड़बड़ी के तहत वैश्विक अतिशयोक्ति स्थिर है।^[9] 2003 में, बर्नाल और सांचेज़^[10] से पता चला कि किसी भी विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड एम में एक चिकनी एम्बेडेड त्रि-आयामी कॉची सतह होती है, और इसके अलावा कोई भी दो कॉची सतह होती है एम के लिए भिन्नरूपी हैं। विशेष रूप से, एम कॉची सतह के उत्पाद से भिन्न है $\mathbb {R}$ . यह पहले से सर्वविदित था कि विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड की कोई भी कॉची सतह एक एम्बेडेड त्रि-आयामी होती है $C^{0}$ सबमैनिफोल्ड, जिनमें से कोई भी दो होमोमोर्फिक हैं, और ऐसा है कि मैनिफोल्ड कॉची सतह के उत्पाद के रूप में टोपोलॉजिकल रूप से विभाजित होता है और $\mathbb {R}$ . विशेष रूप से, कॉची सतहों द्वारा विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड को पत्तेदार किया जाता है।

आइंस्टीन के समीकरणों के लिए प्रारंभिक मूल्य सूत्रीकरण (सामान्य सापेक्षता) को ध्यान में रखते हुए, सामान्य सापेक्षता के संदर्भ में वैश्विक अतिशयोक्ति को एक बहुत ही स्वाभाविक स्थिति के रूप में देखा जाता है, इस अर्थ में कि मनमाने ढंग से प्रारंभिक डेटा दिए जाने पर, विश्व स्तर पर एक अद्वितीय अधिकतम अतिपरवलयिक समाधान होता है आइंस्टीन के समीकरण.

यह भी देखें

कार्य-कारण की स्थितियाँ
कारण संरचना
प्रकाश शंकु

संदर्भ

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↑ Stephen Hawking and George Ellis, "The Large Scale Structure of Space-Time". Cambridge: Cambridge University Press (1973).
↑ एंटोनियो एन. बर्नाल और मिगुएल सांचेज़, विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक स्पेसटाइम को 'दृढ़ता से कारण' के बजाय 'कारण' के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, शास्त्रीय और क्वांटम ग्रेविटी '24' (2007), नहीं। 3, 745-749 [1]
↑ रेमंड एन. हाउन्नोनकेपे और एटोर मिंगुज़ी, विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक स्पेसटाइम को 'कारण' स्थिति के बिना परिभाषित किया जा सकता है, शास्त्रीय और क्वांटम ग्रेविटी '36' (2019), 197001 [2]
↑ E. Minguzzi and M. Sánchez, "The Causal Hierarchy of Spacetimes", in Recent developments in pseudo-Riemannian geometry of ESI Lect. Math. Phys., edited by H. Baum and D. Alekseevsky (European Mathematical Society Publishing House (EMS), Zurich, 2008), p. 299 [3]
↑ Ettore Minguzzi, "Characterization of some causality conditions through the continuity of the Lorentzian distance", Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827–833 [4]
↑ J.J. Benavides Navarro and E. Minguzzi, "Global hyperbolicity is stable in the interval topology", Journal of Mathematical Physics 52 (2011), 112504 [5]
↑ एंटोनियो एन. बर्नाल और मिगुएल सांचेज़, चिकनी कॉची हाइपरसर्फेस और गेरोच के विभाजन प्रमेय पर, गणितीय भौतिकी में संचार '243' (2003), संख्या। 3, 461-470 [6]

Hawking, Stephen; Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4.
Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.

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[leray-2] Jean Leray, "Hyperbolic Differential Equations." Mimeographed notes, Princeton, 1952.

[geroch-3] Robert P. Geroch, "Domain of dependence", Journal of Mathematical Physics 11, (1970) 437, 13pp

[hawkingellis-4] Stephen Hawking and George Ellis, "The Large Scale Structure of Space-Time". Cambridge: Cambridge University Press (1973).

[bernal_sanchez1-5] एंटोनियो एन. बर्नाल और मिगुएल सांचेज़, विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक स्पेसटाइम को 'दृढ़ता से कारण' के बजाय 'कारण' के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, शास्त्रीय और क्वांटम ग्रेविटी '24' (2007), नहीं। 3, 745-749 [1]

[hounnonkpe_minguzzi-6] रेमंड एन. हाउन्नोनकेपे और एटोर मिंगुज़ी, विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक स्पेसटाइम को 'कारण' स्थिति के बिना परिभाषित किया जा सकता है, शास्त्रीय और क्वांटम ग्रेविटी '36' (2019), 197001 [2]

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[minguzzi1-8] Ettore Minguzzi, "Characterization of some causality conditions through the continuity of the Lorentzian distance", Journal of Geometry and Physics 59 (2009), 827–833 [4]

[benavides-9] J.J. Benavides Navarro and E. Minguzzi, "Global hyperbolicity is stable in the interval topology", Journal of Mathematical Physics 52 (2011), 112504 [5]

[bernal_sanchez2-10] एंटोनियो एन. बर्नाल और मिगुएल सांचेज़, चिकनी कॉची हाइपरसर्फेस और गेरोच के विभाजन प्रमेय पर, गणितीय भौतिकी में संचार '243' (2003), संख्या। 3, 461-470 [6]

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