वृत्ताकार चाप

एक वृत्ताकार त्रिज्यखंड हरे रंग में छायांकित है। इसकी लंबाई L की घुमावदार सीमा एक वृत्ताकार चाप है।

एक वृत्ताकार चाप अलग-अलग बिंदुओं की एक जोड़ी के बीच एक वृत्त का चाप (ज्यामिति) है। यदि दो बिंदु सीधे एक दूसरे के विपरीत नहीं हैं, तो इनमें से एक चाप, लघु चाप, कोण को वृत्त के केंद्र में एक कोण से घटाएगा जो इससे कम है $π$ कांति (180 डिग्री), और दूसरा चाप, प्रमुख चाप, . से बड़ा कोण घटाएगा $π$ रेडियन। एक वृत्त के चाप को एक वृत्त की परिधि के भाग या खंड के रूप में परिभाषित किया गया है। एक सीधी रेखा जो चाप के दोनों सिरों को जोड़कर खींची जा सकती है, वृत्त की जीवा कहलाती है। यदि किसी चाप की लंबाई वृत्त के ठीक आधी है, तो इसे अर्धवृत्ताकार चाप के रूप में जाना जाता है।

लंबाई

त्रिज्या r वाले वृत्त के चाप की लंबाई (अधिक सटीक, चाप की लंबाई) और वृत्त केंद्र के साथ कोण θ (रेडियन में मापा जाता है) को घटाना - यानी, 'केंद्रीय कोण ' - है

L=\theta r.

यह है क्योंकि

{\frac {L}{\mathrm {circumference} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.

परिधि में प्रतिस्थापन

{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},

और, α के साथ डिग्री में मापा गया एक ही कोण है, क्योंकि θ =α/180 $π$ , चाप की लंबाई बराबर होती है

L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.

एक सर्कल में चाप की लंबाई निर्धारित करने का एक व्यावहारिक तरीका चाप के अंत बिंदुओं से सर्कल के केंद्र तक दो रेखाएं प्लॉट करना है, उस कोण को मापें जहां दो रेखाएं केंद्र से मिलती हैं, फिर एल के लिए बयान को क्रॉस-गुणा करके हल करें :

डिग्री में कोण का माप/360° = L/परिधि।

उदाहरण के लिए, यदि कोण का माप 60 डिग्री है और परिधि 24 इंच है, तो

{\begin{aligned}{\frac {60}{360}}&={\frac {L}{24}}\\[6pt]360L&=1440\\[6pt]L&=4.\end{aligned}}

ऐसा इसलिए है क्योंकि एक वृत्त की परिधि और एक वृत्त की डिग्री, जिनमें से हमेशा 360 होते हैं, सीधे आनुपातिक होते हैं।

एक वृत्त के ऊपरी आधे भाग को इस प्रकार परिचालित किया जा सकता है

y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.

फिर चाप की लंबाई . से $x=a$ प्रति $x=b$ है

L=r{\Big [}\arcsin \left({\frac {x}{r}}\right){\Big ]}_{a}^{b}.

सेक्टर क्षेत्र

एक चाप और एक वृत्त के केंद्र द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (चाप से घिरा हुआ और इसके अंतिम बिंदुओं तक खींची गई दो त्रिज्याएँ) है

A={\frac {r^{2}\theta }{2}}.

क्षेत्र A का वृत्त के समान अनुपात है# एक पूर्ण वृत्त के कोण θ के रूप में संलग्न क्षेत्र:

{\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.

हम रद्द कर सकते हैं $π$ दोनों तरफ:

{\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.

दोनों पक्षों को r . से गुणा करके², हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .

ऊपर वर्णित रूपांतरण का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि एक केंद्रीय कोण के लिए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल डिग्री में मापा जाता है

A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.

खंड क्षेत्र

चाप और उसके दो अंत बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा से घिरी आकृति का क्षेत्रफल है

{\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta ).

वृत्त का क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए#आगे की शब्दावली, हमें वृत्त के केंद्र और चाप के दो अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित त्रिभुज के क्षेत्रफल को क्षेत्रफल से घटाना होगा। $A$ . विवरण के लिए परिपत्र खंड देखें।

त्रिज्या

रेखा खंड AP और PB का उत्पाद (गणित) लाइन सेगमेंट CP और PD के उत्पाद के बराबर होता है। यदि चाप की चौड़ाई AB और ऊँचाई CP है, तो वृत्त का व्यास

CD={\frac {AP\cdot PB}{CP}}+CP

एक बिंदु की शक्ति का उपयोग करना#प्रमेय (जिसे एक बिंदु की शक्ति या छेदक स्पर्शरेखा प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) एक वृत्त की त्रिज्या r की गणना करना संभव है जिसे एक चाप की ऊंचाई H और चौड़ाई W दी गई है:

चाप के समान समापन बिंदुओं वाली जीवा (ज्यामिति) पर विचार करें। इसका लंब समद्विभाजक एक अन्य जीवा है, जो वृत्त का व्यास है। पहली जीवा की लंबाई W है, और इसे द्विभाजक द्वारा दो बराबर हिस्सों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई होती है W/2. व्यास की कुल लंबाई 2r है, और इसे पहली जीवा द्वारा दो भागों में विभाजित किया गया है। एक भाग की लंबाई चाप, H का धनु (ज्यामिति) है, और दूसरा भाग व्यास का शेष भाग है, जिसकी लंबाई 2r - H है। इन दोनों जीवाओं पर प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय लागू करने से उत्पन्न होता है

H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2},

जहां से

2r-H={\frac {W^{2}}{4H}},

इसलिए

r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.

यह भी देखें

बाहरी संबंध

Table of contents for Math Open Reference Circle pages
Math Open Reference page on circular arcs With interactive animation
Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment With interactive animation
Weisstein, Eric W. "Arc". MathWorld.