व्युत्पन्न परीक्षण

कलन में, एक व्युत्पन्न परीक्षण एक फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) का पता लगाने के लिए एक फ़ंक्शन (गणित) के डेरिवेटिव का उपयोग करता है और यह निर्धारित करता है कि प्रत्येक बिंदु एक स्थानीय अधिकतम, एक स्थानीय न्यूनतम या एक काठी बिंदु है या नहीं। व्युत्पन्न परीक्षण किसी फलन के अवतल फलन के बारे में भी जानकारी दे सकते हैं।

मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए डेरिवेटिव की उपयोगिता गणितीय रूप से फ़र्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) द्वारा सिद्ध की गई है| फर्मेट की स्थिर बिंदुओं की प्रमेय।

प्रथम-व्युत्पन्न परीक्षण

प्रथम-व्युत्पन्न परीक्षण एक फ़ंक्शन के मोनोटोनिक फ़ंक्शन गुणों (जहां फ़ंक्शन मोनोटोनिक फ़ंक्शन है) की जांच करता है, फ़ंक्शन के अपने डोमेन में किसी विशेष बिंदु पर ध्यान केंद्रित करता है। यदि फ़ंक्शन बिंदु पर बढ़ने से घटने के लिए स्विच करता है, तो फ़ंक्शन उस बिंदु पर उच्चतम मान प्राप्त करेगा। इसी तरह, यदि फ़ंक्शन घटते से बढ़ते हुए बिंदु पर स्विच करता है, तो यह उस बिंदु पर कम से कम मान प्राप्त करेगा। यदि फ़ंक्शन स्विच करने में विफल रहता है और बढ़ता रहता है या घटता रहता है, तो कोई उच्चतम या न्यूनतम मान प्राप्त नहीं होता है।

कोई कैलकुलस के बिना किसी फ़ंक्शन की एकरसता की जांच कर सकता है। हालांकि, कैलकुलस आमतौर पर मददगार होता है क्योंकि आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं जो उपरोक्त एकरसता गुणों की गारंटी देती हैं, और ये शर्तें उन अधिकांश कार्यों पर लागू होती हैं जिनका सामना करना पड़ता है।

एकरसता गुणों का सटीक कथन

निश्चित रूप से कहा गया है, मान लीजिए कि f एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो बिंदु x वाले कुछ खुले अंतराल पर परिभाषित है और आगे मान लीजिए कि f x पर निरंतर कार्य है।

• यदि कोई धनात्मक संख्या r > 0 मौजूद है जैसे कि f कमजोर रूप से बढ़ रहा है (x − r, x] और कमजोर रूप से घट रहा है [x, x + r), तो f का x पर एक स्थानीय उच्चिष्ठ है।
• यदि कोई सकारात्मक संख्या r > 0 मौजूद है जैसे कि f सख्ती से बढ़ रहा है (x − r, x] और सख्ती से बढ़ रहा है [x, x + r), तो f सख्ती से बढ़ रहा है (x − r, x + r) और x पर स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम नहीं है।

ध्यान दें कि पहले मामले में, f को सख्ती से बढ़ने या सख्ती से x के बाएं या दाएं घटने की आवश्यकता नहीं है, जबकि अंतिम मामले में, f को सख्ती से बढ़ाना या सख्ती से कम करना आवश्यक है। कारण यह है कि स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम की परिभाषा में, असमानता को सख्त होने की आवश्यकता नहीं है: उदा। एक स्थिर फ़ंक्शन के प्रत्येक मान को स्थानीय अधिकतम और स्थानीय न्यूनतम दोनों माना जाता है।

=== प्रथम-व्युत्पन्न परीक्षण === का सटीक कथन पहला-व्युत्पन्न परीक्षण बढ़ते-घटते परीक्षण पर निर्भर करता है, जो स्वयं अंततः औसत मूल्य प्रमेय का परिणाम है। यह डेरिवेटिव को परिभाषित करने के तरीके का प्रत्यक्ष परिणाम है और पिछले खंड के साथ संयुक्त रूप से स्थानीय रूप से किसी फ़ंक्शन को कम करने और बढ़ाने के लिए इसका कनेक्शन है।

मान लीजिए f किसी अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है जिसमें महत्वपूर्ण बिंदु a है। इसके अलावा, मान लीजिए कि f एक निरंतर कार्य है और कुछ खुले अंतराल पर अलग-अलग कार्य करता है, संभवतः स्वयं को छोड़कर।

• यदि एक धनात्मक संख्या r > 0 मौजूद है जैसे कि प्रत्येक x in (a − r, a) के लिए हमारे पास है f′(x) ≥ 0, और प्रत्येक x के लिए (a, a + r) में हमारे पास है f′(x) ≤ 0, तब f का a पर स्थानीय अधिकतम होता है।
• यदि कोई धनात्मक संख्या r > 0 मौजूद है जैसे कि (a − r, a) ∪ (a, a + r) में प्रत्येक x के लिए हमारे पास है f′(x) > 0, तब f निश्चित रूप से एक पर बढ़ रहा है और न तो स्थानीय अधिकतम और न ही स्थानीय न्यूनतम है।
• यदि उपरोक्त शर्तों में से कोई भी पकड़ में नहीं आता है, तो परीक्षण विफल हो जाता है। (ऐसी स्थिति रिक्त सत्य नहीं है; ऐसे कार्य हैं जो पहले तीन शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट नहीं करते हैं, उदाहरण के लिए f(x) = x² पाप(1/x))।

दोबारा, मोनोटोनिकिटी गुणों पर अनुभाग में टिप्पणियों के अनुरूप, ध्यान दें कि पहले दो मामलों में असमानता को सख्त होने की आवश्यकता नहीं है, जबकि अगले दो में सख्त असमानता की आवश्यकता है।

अनुप्रयोग

प्रथम-व्युत्पन्न परीक्षण भौतिकी, अर्थशास्त्र और इंजीनियरिंग में अनुकूलन समस्याओं को हल करने में सहायक है। चरम मूल्य प्रमेय के संयोजन के साथ, इसका उपयोग एक बंद अंतराल और परिबद्ध सेट अंतराल पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम को खोजने के लिए किया जा सकता है। अन्य सूचनाओं जैसे अवतलता, विभक्ति बिंदु और स्पर्शोन्मुख के संयोजन के साथ, इसका उपयोग किसी फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के ग्राफ़ को स्केच करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरा-व्युत्पन्न परीक्षण (एकल चर)

किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) को स्थापित करने के बाद, दूसरा-व्युत्पन्न परीक्षण उन बिंदुओं पर दूसरे व्युत्पन्न के मान का उपयोग करता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि ऐसे बिंदु स्थानीय मैक्सिमा और मिनीमा या स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा हैं। यदि फ़ंक्शन f एक महत्वपूर्ण बिंदु x पर दो बार-विभेदक फ़ंक्शन है (यानी एक बिंदु जहांf′(एक्स) = 0), फिर:

• यदि $f''(x)<0$, तब $f$ पर स्थानीय अधिकतम है $x$.
• यदि $f''(x)>0$, तब $f$ स्थानीय न्यूनतम है $x$.
• यदि $f''(x)=0$, परीक्षण अनिर्णायक है।

पिछले मामले में, टेलर की प्रमेय # एक वास्तविक चर में टेलर की प्रमेय | टेलर की प्रमेय का उपयोग कभी-कभी उच्च डेरिवेटिव का उपयोग करके x के निकट f के व्यवहार को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

दूसरे-व्युत्पन्न परीक्षण का प्रमाण

मान लीजिए हमारे पास है $f''(x)>0$ (के लिए सबूत $f''(x)<0$ अनुरूप है)। धारणा से, $f'(x)=0$. फिर

$0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.$

इस प्रकार, एच के लिए पर्याप्त रूप से छोटा हमें मिलता है

${\frac {f'(x+h)}{h}}>0,$

जिसका मतलब है कि $f'(x+h)<0$ यदि $h<0$ (सहज रूप से, एफ कम हो रहा है क्योंकि यह करीब आ रहा है $x$ बाएं से), और वह $f'(x+h)>0$ यदि $h>0$ (सहज रूप से, f बढ़ रहा है क्योंकि हम x से दाईं ओर जाते हैं)। अब, प्रथम-व्युत्पन्न परीक्षण द्वारा, $f$ स्थानीय न्यूनतम है $x$.

अवतलता परीक्षण

दूसरे डेरिवेटिव का एक संबंधित लेकिन विशिष्ट उपयोग यह निर्धारित करने के लिए है कि कोई फ़ंक्शन अवतल कार्य है या किसी बिंदु पर अवतल कार्य है। हालाँकि, यह विभक्ति बिंदुओं के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है। विशेष रूप से, एक दो बार अलग-अलग फ़ंक्शन f अवतल है यदि $f''(x)>0$ और अवतल अगर $f''(x)<0$. ध्यान दें कि अगर $f(x)=x^{4}$, तब $x=0$ शून्य दूसरा व्युत्पन्न है, फिर भी एक विभक्ति बिंदु नहीं है, इसलिए केवल दूसरा अवकलज यह निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं देता है कि दिया गया बिंदु एक विभक्ति बिंदु है या नहीं।

उच्च-क्रम व्युत्पन्न परीक्षण

उच्च-क्रम व्युत्पन्न परीक्षण या सामान्य व्युत्पन्न परीक्षण यह निर्धारित करने में सक्षम है कि किसी फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु दूसरे क्रम के व्युत्पन्न परीक्षण की तुलना में अधिकतम, न्यूनतम या व्यापक प्रकार के कार्यों के लिए विभक्ति के बिंदु हैं या नहीं। जैसा कि नीचे दिखाया गया है, दूसरा-व्युत्पन्न परीक्षण गणितीय रूप से उच्च-क्रम व्युत्पन्न परीक्षण में n= 1 के विशेष मामले के समान है।

मान लीजिए f एक अंतराल पर एक वास्तविक-मूल्यवान, पर्याप्त रूप से अवकलनीय फलन है $I\subset \mathbb {R}$, होने देना $c\in I$, और जाने $n\geq 1$ एक प्राकृतिक संख्या हो। साथ ही c पर f के सभी डेरिवेटिव्स को n-वें डेरिवेटिव सहित शून्य होने दें, लेकिन (n + 1)वें डेरिवेटिव गैर-शून्य होने के साथ:

$f'(c)=\cdots =f^{(n)}(c)=0\quad {\text{and}}\quad f^{(n+1)}(c)\neq 0.$

चार संभावनाएँ हैं, पहले दो मामले जहाँ c एक चरम सीमा है, दूसरी दो जहाँ c एक (स्थानीय) काठी बिंदु है:

• यदि n समता (गणित) है और $f^{(n+1)}(c)<0$, तो c एक स्थानीय उच्चिष्ठ है।
• यदि n विषम है और $f^{(n+1)}(c)>0$, तो c एक स्थानीय न्यूनतम है।
• यदि n समता (गणित) है और $f^{(n+1)}(c)<0$, तब c विभक्ति का एक सख्ती से घटता हुआ बिंदु है।
• यदि n सम है और $f^{(n+1)}(c)>0$, तब c विभक्ति का एक सख्ती से बढ़ता हुआ बिंदु है।

चूँकि n या तो विषम या सम होना चाहिए, यह विश्लेषणात्मक परीक्षण f के किसी भी स्थिर बिंदु को वर्गीकृत करता है, जब तक कि एक गैर-शून्य व्युत्पन्न अंततः दिखाई देता है।

उदाहरण

कहते हैं कि हम फ़ंक्शन पर सामान्य व्युत्पन्न परीक्षण करना चाहते हैं $f(x)=x^{6}+5$ बिंदु पर $x=0$. ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की गणना करते हैं और फिर ब्याज के बिंदु पर उनका मूल्यांकन करते हैं जब तक कि परिणाम गैर-शून्य न हो जाए।

$f'(x)=6x^{5}$, $f'(0)=0;$

$f''(x)=30x^{4}$, $f''(0)=0;$

$f^{(3)}(x)=120x^{3}$, $f^{(3)}(0)=0;$

$f^{(4)}(x)=360x^{2}$, $f^{(4)}(0)=0;$

$f^{(5)}(x)=720x$, $f^{(5)}(0)=0;$

$f^{(6)}(x)=720$, $f^{(6)}(0)=720.$

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, बिंदु पर $x=0$, कार्यक्रम $x^{6}+5$ इसके सभी डेरिवेटिव 0 के बराबर 0 पर हैं, 6 वें डेरिवेटिव को छोड़कर, जो सकारात्मक है। इस प्रकार n = 5, और परीक्षण द्वारा, 0 पर एक स्थानीय न्यूनतम है।

बहुभिन्नरूपी मामला

Main article: Second partial derivative test

एक से अधिक चर के एक समारोह के लिए, दूसरा-व्युत्पन्न परीक्षण महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के हेस्सियन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के आधार पर एक परीक्षण के लिए सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, यह मानते हुए कि f के सभी दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव एक महत्वपूर्ण बिंदु x के पड़ोस (गणित) पर निरंतर हैं, तो यदि x पर हेस्सियन के सभी सकारात्मक हैं, तो x एक स्थानीय न्यूनतम है। यदि eigenvalues ​​​​सभी नकारात्मक हैं, तो x एक स्थानीय अधिकतम है, और यदि कुछ सकारात्मक और कुछ नकारात्मक हैं, तो बिंदु एक काठी बिंदु है। यदि हेस्सियन मैट्रिक्स एकवचन मैट्रिक्स है, तो दूसरा-व्युत्पन्न परीक्षण अनिर्णायक है।

यह भी देखें

• Fermat की प्रमेय (स्थिर अंक)
• मैक्सिमा और मिनिमा
• करुश-कुह्न-टकर की स्थिति
• चरण रेखा (गणित) - वस्तुतः समान आरेख, जिसका उपयोग साधारण अंतर समीकरणों के अध्ययन में किया जाता है
• हेसियन मैट्रिक्स#बॉर्डर्ड हेसियन
• अनुकूलन (गणित)
• भिन्नता
• उत्तल कार्य
• दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण
• लादने की सीमा
• संक्रमण का बिन्दु
• स्थिर बिंदु

आगे की पढाई

• Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (Third ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 231–267. ISBN 0-07-010813-7.
• Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1985). Calculus I (2nd ed.). New York: Springer. pp. 139–199. ISBN 0-387-90974-5.
• Shockley, James E. (1976). The Brief Calculus : with Applications in the Social Sciences (2nd ed.). New York: Holt, Rinehart & Winston. pp. 77–109. ISBN 0-03-089397-6.
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
• Willard, Stephen (1976). Calculus and its Applications. Boston: Prindle, Weber & Schmidt. pp. 103–145. ISBN 0-87150-203-8.

बाहरी कड़ियाँ

• "Second Derivative Test" at Mathworld
• Concavity and the Second Derivative Test
• Thomas Simpson's use of Second Derivative Test to Find Maxima and Minima at Convergence