संभावना स्वयंसिद्ध

कोलमोगोरोव एंसिओम्स 1933 में रूसी गणितज्ञ एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा पेश किए गए प्रायिकता सिद्धांत की नींव हैं। ये स्वयंसिद्ध केंद्रीय बने हुए हैं और गणित, भौतिक विज्ञान और वास्तविक दुनिया की संभावना मामलों में प्रत्यक्ष योगदान है। कुछ बायेसियन सिद्धांत के पक्ष में, संभावना को औपचारिक रूप देने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, कॉक्स के प्रमेय द्वारा दिया गया है।

स्वयंसिद्ध

स्वयंसिद्धों को स्थापित करने के लिए मान्यताओं को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: चलो $(\Omega ,F,P)$ के साथ एक माप स्थान हो $P(E)$ कुछ घटना (संभाव्यता सिद्धांत) ई की संभावना होने के नाते, और $P(\Omega )=1$।फिर $(\Omega ,F,P)$ नमूना स्थान के साथ एक संभाव्यता स्थान है $\Omega$, घटना स्थान $F$ और संभावना उपाय $P$.

पहला स्वयंसिद्ध

किसी घटना की संभावना एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है:

$P(E)\in \mathbb {R} ,P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F$

कहां $F$ इवेंट स्पेस है।यह इस प्रकार है कि $P(E)$ हमेशा अधिक सामान्य माप (गणित) के विपरीत, परिमित होता है।सिद्धांत जो नकारात्मक संभावना प्रदान करते हैं, वे पहले स्वयंसिद्ध को आराम देते हैं।

दूसरा स्वयंसिद्ध

See also: Unitarity (physics)

यह यूनिट माप की धारणा है: कि संभावना है कि पूरे नमूना स्थान में कम से कम प्राथमिक घटना ओं में से एक है 1 है

$P(\Omega )=1.$

तीसरा स्वयंसिद्ध

यह σ-additivity की धारणा है:

असंतुष्ट सेटों का कोई भी गिनती अनुक्रम (पारस्परिक विशिष्टता की घटनाओं का पर्याय) $E_{1},E_{2},\ldots$ संतुष्ट

$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).$

कुछ लेखक केवल बारीक रूप से योगात्मक संभावना स्थानों पर विचार करते हैं, जिस स्थिति में एक σ- बीजगणित के बजाय सेट के एक क्षेत्र की आवश्यकता होती है। सामान्य रूप से quasiprobability वितरण तीसरे स्वयंसिद्ध को आराम करते हैं।

परिणाम

Kolmogorov स्वयंसिद्धों से, कोई भी संभावनाओं का अध्ययन करने के लिए अन्य उपयोगी नियमों को कम कर सकता है।सबूत इन नियमों में से एक बहुत ही व्यावहारिक प्रक्रिया है जो तीसरे स्वयंसिद्ध की शक्ति को दर्शाती है, और शेष दो स्वयंसिद्धों के साथ इसकी बातचीत।तत्काल कोरोलरीज और उनके प्रमाण नीचे दिखाए गए हैं:

एकरसता

$\quad {\text{if}}\quad A\subseteq B\quad {\text{then}}\quad P(A)\leq P(B).$

यदि A B के एक सबसेट, या B के बराबर है, तो A की संभावना कम है, या B की संभावना के बराबर है।

एकरसता का प्रमाण

एकरसता की संपत्ति को सत्यापित करने के लिए, हम सेट करते हैं $E_{1}=A$ और $E_{2}=B\setminus A$, कहां $A\subseteq B$ और $E_{i}=\varnothing$ के लिए $i\geq 3$।खाली सेट के गुणों से ($\varnothing$), यह देखना आसान है कि सेट $E_{i}$ जोड़ीदार असंतुष्ट हैं और $E_{1}\cup E_{2}\cup \cdots =B$।इसलिए, हम तीसरे स्वयंसिद्ध से प्राप्त करते हैं

$P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).$

चूंकि, पहले स्वयंसिद्ध द्वारा, इस समीकरण का बाएं हाथ गैर-नकारात्मक संख्याओं की एक श्रृंखला है, और चूंकि यह परिवर्तित होता है $P(B)$ जो परिमित है, हम दोनों को प्राप्त करते हैं $P(A)\leq P(B)$ और $P(\varnothing )=0$।

खाली सेट की संभावना

$P(\varnothing )=0.$

कई मामलों में, $\varnothing$ संभावना & nbsp; 0 के साथ एकमात्र घटना नहीं है।

खाली सेट की संभावना का प्रमाण

परिभाषित करना $E_{i}:=\varnothing$ के लिए $i\in \mathbb {N}$, तो ये असंतुष्ट हैं, और $\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}=\varnothing =E_{1}$, इसलिए तीसरे स्वयंसिद्ध द्वारा $\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i})=P(E_{1})$;घटाने $P(E_{1})$ (जो पहले स्वयंसिद्ध द्वारा परिमित है) पैदावार $\sum _{i=2}^{\infty }P(E_{i})=0$।पहले स्वयंसिद्ध के साथ इस से इसके साथ ही $0\leq P(E_{2})\leq \sum _{i=2}^{\infty }P(E_{i})=0$, इस प्रकार $P(E_{2})=P(\varnothing )=0$।

पूरक नियम

$P\left(A^{c}\right)=P(\Omega -A)=1-P(A)$

पूरक नियम का प्रमाण

दिया गया $A$ और $A^{c}$ पारस्परिक रूप से अनन्य हैं और वह $A\cup A^{c}=\Omega$:

$P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})$ ... (Axiom 3 द्वारा)

और, $P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1$ ... (Axiom 2 द्वारा)

$\Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1$

$\therefore P(A^{c})=1-P(A)$

संख्यात्मक बाउंड

यह तुरंत एकरसता की संपत्ति से अनुसरण करता है

$0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.$

संख्यात्मक बाउंड का प्रमाण

पूरक नियम को देखते हुए $P(E^{c})=1-P(E)$ और स्वयंसिद्ध 1 $P(E^{c})\geq 0$:

$1-P(E)\geq 0$

$\Rightarrow 1\geq P(E)$

$\therefore 0\leq P(E)\leq 1$

आगे के परिणाम

एक और महत्वपूर्ण संपत्ति है:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

इसे संभावना का अतिरिक्त कानून, या योग नियम कहा जाता है। यही है, संभावना है कि ए या बी में एक घटना होगी, ए में एक घटना की संभावना का योग और बी में एक घटना की संभावना, एक घटना की संभावना को माइनस करें जो ए और बी दोनों में हैयह इस प्रकार है:

पहले तो,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)$ ... (Axiom 3 द्वारा)

इसलिए,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))$ (द्वारा $B\setminus A=B\setminus (A\cap B)$)।

भी,

$P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)$

और समाप्त करना $P(B\setminus (A\cap B))$ दोनों समीकरणों से हमें वांछित परिणाम देता है।

किसी भी संख्या के सेट के लिए अतिरिक्त कानून का विस्तार समावेश -बहिष्करण सिद्धांत है।

पूरक के लिए बी सेट करना^{इसके अलावा कानून में c}

$P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$

यही है, संभावना है कि कोई भी घटना नहीं होगी (या घटना का पूरक (सेट सिद्धांत)) 1 माइनस है कि यह संभावना है।

सरल उदाहरण: सिक्का टॉस

एक एकल सिक्के-टॉस पर विचार करें, और मान लें कि सिक्का या तो सिर (एच) या पूंछ (टी) (लेकिन दोनों नहीं) भूमि करेगा।कोई धारणा नहीं बनाई गई है कि क्या सिक्का निष्पक्ष है।

हम परिभाषित कर सकते हैं:

$\Omega =\{H,T\}$

$F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}$

Kolmogorov के स्वयंसिद्धों का मतलब है कि:

$P(\varnothing )=0$

न तो सिर और न ही पूंछ की संभावना 0 है।

$P(\{H,T\}^{c})=0$

या तो सिर या पूंछ की संभावना 1 है।

$P(\{H\})+P(\{T\})=1$

सिर की संभावना और पूंछ की संभावना का योग, 1 है।

यह भी देखें

• Borel algebra
• Conditional probability
• Fully probabilistic design
• Intuitive statistics
• Quasiprobability
• Set theory
• σ-algebra

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

• सिद्धांत संभावना
• बेयसियन सिद्धांत
• संभाव्यता उपाय
• इकाई माप
• गणनीय
• विघटित सेट
• सेट का क्षेत्र
• परिमित रूप से योज्य
• क्वासिप्रोबैबिलिटी वितरण
• अनुपूरक (निर्धारित सिद्धांत)

आगे की पढाई

• DeGroot, Morris H. (1975). Probability and Statistics. Reading: Addison-Wesley. pp. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Moroney, Richard M. (1964). "Axiomatic Probability". Introduction to Probability Theory. New York: Macmillan. pp. 13–28.
• Formal definition of probability in the Mizar system, and the list of theorems formally proved about it.

श्रेणी: संभाव्यता सिद्धांत श्रेणी: गणितीय स्वयंसिद्ध]