संयुक्त संभावना वितरण

$X$

$Y$

$p(X)$

$p(Y)$

Many sample observations (black) are shown from a joint probability distribution. The marginal densities are shown as well.

दो यादृच्छिक चर को देखते हुए जो एक ही संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किए गए हैं, संयुक्त संभावना वितरण आउटपुट के सभी संभावित जोड़े पर इसी संभावना वितरण है।संयुक्त वितरण को केवल यादृच्छिक चर की किसी भी संख्या के लिए माना जा सकता है।संयुक्त वितरण सीमांत वितरण को एनकोड करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत यादृच्छिक चर के वितरण।यह सशर्त संभाव्यता वितरण को भी एनकोड करता है, जो इस बात से निपटता है कि अन्य यादृच्छिक चर (एस) के आउटपुट पर जानकारी दी जाने पर एक यादृच्छिक चर के आउटपुट को कैसे वितरित किया जाता है।

माप सिद्धांत के औपचारिक गणितीय सेटअप में, संयुक्त वितरण को पुशफॉर्वर्ड माप द्वारा दिया जाता है, नमूना अंतरिक्ष के संभाव्यता माप के दिए गए यादृच्छिक चर को एक साथ जोड़कर प्राप्त नक्शे द्वारा।

वास्तविक-मूल्य वाले यादृच्छिक चर के मामले में, संयुक्त वितरण, एक विशेष बहुभिन्नरूपी वितरण के रूप में, एक बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, या एक बहुभिन्नरूपी संभावना घनत्व फ़ंक्शन द्वारा एक बहुभिन्नरूपी संभावना द्रव्यमान फ़ंक्शन के साथ।निरंतर यादृच्छिक चर के विशेष मामले में, यह संभावना घनत्व कार्यों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है, और असतत यादृच्छिक चर के मामले में, यह संभावना द्रव्यमान कार्यों पर विचार करने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण

एक कलश से ड्रा

मान लीजिए कि दो कलशों में से प्रत्येक में नीली गेंदों के रूप में कई लाल गेंदें हैं, और कोई अन्य नहीं है, और मान लीजिए कि एक गेंद को प्रत्येक कलश से बेतरतीब ढंग से चुना जाता है, दोनों एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं।होने देना $A$ और $B$ पहले कलश और दूसरे कलश से ड्रा के परिणामों से जुड़े यादृच्छिक चर को क्रमशः असतत करें।किसी भी कलश से लाल गेंद खींचने की संभावना 2/3 है, और एक नीली गेंद को खींचने की संभावना 1/3 है।संयुक्त संभावना वितरण निम्नलिखित तालिका में प्रस्तुत किया गया है:

	A=Red	A=Blue	P(B)
B=Red	(2/3)(2/3)=4/9	(1/3)(2/3)=2/9	4/9+2/9=2/3
B=Blue	(2/3)(1/3)=2/9	(1/3)(1/3)=1/9	2/9+1/9=1/3
P(A)	4/9+2/9=2/3	2/9+1/9=1/3

चार आंतरिक कोशिकाओं में से प्रत्येक दो ड्रॉ से परिणामों के एक विशेष संयोजन की संभावना को दर्शाता है;ये संभावनाएं संयुक्त वितरण हैं।किसी भी एक सेल में होने वाली एक विशेष संयोजन की संभावना है (चूंकि ड्रॉ स्वतंत्र हैं) ए के लिए निर्दिष्ट परिणाम की संभावना और बी के लिए निर्दिष्ट परिणाम की संभावना का उत्पाद। इन चार कोशिकाओं में संभावनाएं 1 के लिए योग करती हैं,क्योंकि यह हमेशा संभावना वितरण के लिए सच है।

इसके अलावा, अंतिम पंक्ति और अंतिम कॉलम क्रमशः बी के लिए सी और सीमांत संभावना वितरण के लिए सीमांत संभावना वितरण देते हैं।उदाहरण के लिए, इन कोशिकाओं में से पहले के लिए एक लाल होने के लिए संभावनाओं का योग देता है, भले ही सेल के ऊपर कॉलम में बी के लिए संभावना 2/3 के रूप में होती है।इस प्रकार के लिए सीमांत संभावना वितरण $A$ देता है $A$बिना शर्त की संभावनाएं $B$, तालिका के एक अंतर में।

सिक्का flips

दो निष्पक्ष सिक्कों के फ्लिप पर विचार करें;होने देना $A$ और $B$ पहले और दूसरे सिक्के के परिणामों से जुड़े असतत यादृच्छिक चर क्रमशः असतत हो जाएं।प्रत्येक सिक्का फ्लिप एक बर्नौली परीक्षण है और इसमें बर्नौली वितरण है।यदि कोई सिक्का सिर प्रदर्शित करता है तो संबंधित यादृच्छिक चर मान 1 लेता है, और यह मान 0 को अन्यथा लेता है।इन परिणामों में से प्रत्येक की संभावना 1/2 है, इसलिए सीमांत (बिना शर्त) घनत्व कार्य हैं

$P(A)=1/2\quad {\text{for}}\quad A\in \{0,1\};$

$P(B)=1/2\quad {\text{for}}\quad B\in \{0,1\}.$

संयुक्त संभावना द्रव्यमान कार्य $A$ और $B$ परिणामों की प्रत्येक जोड़ी के लिए संभावनाओं को परिभाषित करता है।सभी संभावित परिणाम हैं

$(A=0,B=0),(A=0,B=1),(A=1,B=0),(A=1,B=1).$

चूंकि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावना है कि संयुक्त संभावना द्रव्यमान कार्य हो जाता है

$P(A,B)=1/4\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}.$

चूंकि सिक्का फ़्लिप स्वतंत्र है, संयुक्त संभावना द्रव्यमान कार्य उत्पाद है हाशिए पर:

$P(A,B)=P(A)P(B)\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}.$

एक पासा रोलिंग

एक निष्पक्ष पासा के रोल पर विचार करें और जाने दें $A=1$ यदि संख्या भी है (यानी 2, 4, या 6) और $A=0$ अन्यथा।इसके अलावा, चलो $B=1$ यदि संख्या प्राइम है (यानी 2, 3, या 5) और $B=0$ अन्यथा।

	1	2	3	4	5	6
A	0	1	0	1	0	1
B	0	1	1	0	1	0

फिर, संयुक्त वितरण $A$ और $B$, एक संभावना द्रव्यमान कार्य के रूप में व्यक्त किया गया है, है

$\mathrm {P} (A=0,B=0)=P\{1\}={\frac {1}{6}},\quad \quad \mathrm {P} (A=1,B=0)=P\{4,6\}={\frac {2}{6}},$

$\mathrm {P} (A=0,B=1)=P\{3,5\}={\frac {2}{6}},\quad \quad \mathrm {P} (A=1,B=1)=P\{2\}={\frac {1}{6}}.$

ये संभावनाएं आवश्यक रूप से 1 के लिए योग करती हैं, क्योंकि कुछ संयोजन की संभावना $A$ और $B$ घटित 1 है।

सीमांत संभावना वितरण

यदि एक से अधिक यादृच्छिक चर को एक यादृच्छिक प्रयोग में परिभाषित किया गया है, तो एक्स और वाई के संयुक्त संभाव्यता वितरण और प्रत्येक चर के संभावित वितरण के बीच अंतर करना महत्वपूर्ण है।एक यादृच्छिक चर के व्यक्तिगत संभाव्यता वितरण को इसके सीमांत संभावना वितरण के रूप में संदर्भित किया जाता है।सामान्य तौर पर, एक्स के सीमांत संभावना वितरण को एक्स और अन्य यादृच्छिक चर के संयुक्त संभावना वितरण से निर्धारित किया जा सकता है।

यदि यादृच्छिक चर x और y की संयुक्त संभावना घनत्व फ़ंक्शन है $f_{X,Y}(x,y)$ , एक्स और वाई का सीमांत संभावना घनत्व फ़ंक्शन, जो सीमांत वितरण को परिभाषित करता है, द्वारा दिया गया है:

$f_{X}(x)=\int f_{X,Y}(x,y)\;dy$
$f_{Y}(y)=\int f_{X,Y}(x,y)\;dx$ जहां पहला इंटीग्रल (x, y) की सीमा में सभी बिंदुओं पर है, जिसके लिए x = x और दूसरा अभिन्न (x, y) की सीमा में सभी बिंदुओं पर है, जिसके लिए y = y।

संयुक्त संचयी वितरण समारोह

यादृच्छिक चर की एक जोड़ी के लिए $X,Y$, संयुक्त संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) $F_{XY}$ द्वारा दिया गया है

$F_{X,Y}(x,y)=\operatorname {P} (X\leq x,Y\leq y)$

(Eq.1)

जहां दाहिने हाथ की ओर इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि यादृच्छिक चर $X$ से कम या उसके बराबर मूल्य पर ले जाता है $x$ और कि $Y$ से कम या उसके बराबर मूल्य पर ले जाता है $y$।

के लिए $N$ यादृच्छिक चर $X_{1},\ldots ,X_{N}$, संयुक्त सीडीएफ $F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}$ द्वारा दिया गया है

$F_{X_{1},\ldots ,X_{N}}(x_{1},\ldots ,x_{N})=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})$

(Eq.2)

व्याख्या करना $N$ यादृच्छिक वेक्टर के रूप में यादृच्छिक चर $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{N})^{T}$ एक छोटी संकेतन पैदावार:

$F_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )=\operatorname {P} (X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{N}\leq x_{N})$

संयुक्त घनत्व कार्य या द्रव्यमान कार्य

असतत मामला

दो असतत यादृच्छिक चर के संयुक्त संभावना द्रव्यमान कार्य $X,Y$ है:

$p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)$

(Eq.3)

या सशर्त वितरण के संदर्भ में लिखा गया है

$p_{X,Y}(x,y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)=\mathrm {P} (X=x\mid Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)$

कहां $\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)$ की सशर्त संभावना है $Y=y$ मान लीजिये $X=x$।

पूर्ववर्ती दो-चर मामले का सामान्यीकरण संयुक्त संभावना वितरण है $n\,$ असतत यादृच्छिक चर $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ जो है:

$p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathrm {P} (X_{1}=x_{1}{\text{ and }}\dots {\text{ and }}X_{n}=x_{n})$

(Eq.4)

या समकक्ष रूप से

${\begin{aligned}p_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\mathrm {P} (X_{1}=x_{1})\cdot \mathrm {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\\&\cdot \mathrm {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\\&\dots \\&\cdot P(X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1}).\end{aligned}}$।

इस पहचान को चेन नियम (संभावना) के रूप में जाना जाता है।

चूंकि ये संभावनाएं हैं, दो-चर मामले में

$\sum _{i}\sum _{j}\mathrm {P} (X=x_{i}\ \mathrm {and} \ Y=y_{j})=1,\,$

जिसके लिए सामान्यीकरण होता है $n\,$ असतत यादृच्छिक चर $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ को

$\sum _{i}\sum _{j}\dots \sum _{k}\mathrm {P} (X_{1}=x_{1i},X_{2}=x_{2j},\dots ,X_{n}=x_{nk})=1.\;$

निरंतर मामला

संयुक्त संभावना घनत्व समारोह $f_{X,Y}(x,y)$ दो निरंतर यादृच्छिक चर के लिए संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है (देखें) Eq.1):

$f_{X,Y}(x,y)={\frac {\partial ^{2}F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\partial y}}$

(Eq.5)

यह बराबर है:

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X\mid Y}(x\mid y)f_{Y}(y)$

कहां $f_{Y\mid X}(y\mid x)$ और $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ के सशर्त वितरण हैं $Y$ दिया गया $X=x$ और का $X$ दिया गया $Y=y$ क्रमशः, और $f_{X}(x)$ और $f_{Y}(y)$ के लिए सीमांत वितरण हैं $X$ और $Y$ क्रमश।

परिभाषा स्वाभाविक रूप से दो से अधिक यादृच्छिक चर तक फैली हुई है:

$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\partial ^{n}F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial x_{1}\ldots \partial x_{n}}}$

(Eq.6)

फिर से, चूंकि ये संभावना वितरण हैं, एक के पास है

$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1$

क्रमश:

$\int _{x_{1}}\ldots \int _{x_{n}}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{n}\ldots \;dx_{1}=1$

मिश्रित मामला

मिश्रित संयुक्त घनत्व को परिभाषित किया जा सकता है जहां एक या अधिक यादृच्छिक चर निरंतर होते हैं और अन्य यादृच्छिक चर असतत होते हैं।प्रत्येक प्रकार के एक चर के साथ

${\begin{aligned}f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\mathrm {P} (Y=y)=\mathrm {P} (Y=y\mid X=x)f_{X}(x).\end{aligned}}$

ऐसी स्थिति का एक उदाहरण जिसमें कोई एक यादृच्छिक चर के संचयी वितरण को खोजने की इच्छा कर सकता है जो निरंतर है और एक और यादृच्छिक चर है जो असतत होता है जब कोई एक बाइनरी परिणाम y सशर्त की संभावना की भविष्यवाणी करने में एक लॉजिस्टिक प्रतिगमन का उपयोग करना चाहता है।लगातार वितरित परिणाम का मूल्य $X$।इस द्विआधारी परिणाम के संचयी वितरण को खोजते समय मिश्रित संयुक्त घनत्व का उपयोग करना चाहिए क्योंकि इनपुट चर $(X,Y)$ शुरू में इस तरह से परिभाषित किया गया था कि कोई इसे सामूहिक रूप से या तो एक संभावना घनत्व फ़ंक्शन या एक संभावना द्रव्यमान कार्य को असाइन नहीं कर सकता है।औपचारिक रूप से, $f_{X,Y}(x,y)$ की संभावना घनत्व कार्य है $(X,Y)$ के संबंधित समर्थन (माप सिद्धांत) पर उत्पाद माप के संबंध में $X$ और $Y$।या तो इन दो अपघटन का उपयोग संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन को पुनर्प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

${\begin{aligned}F_{X,Y}(x,y)&=\sum \limits _{t\leq y}\int _{s=-\infty }^{x}f_{X,Y}(s,t)\;ds.\end{aligned}}$

परिभाषा असतत और निरंतर यादृच्छिक चर की मनमानी संख्या के मिश्रण को सामान्य करती है।

अतिरिक्त गुण

स्वतंत्र चर के लिए संयुक्त वितरण

सामान्य रूप से दो यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ क्या सांख्यिकीय स्वतंत्रता है यदि और केवल यदि संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन संतुष्ट करता है

$F_{X,Y}(x,y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y)$

दो असतत यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि संयुक्त संभावना द्रव्यमान फ़ंक्शन संतुष्ट करता है

$P(X=x\ {\mbox{and}}\ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$

सबके लिए $x$ और $y$।

जबकि स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाओं की संख्या बढ़ती है, एक नकारात्मक घातीय कानून के अनुसार, संबंधित संयुक्त संभावना मूल्य तेजी से शून्य हो जाता है।

इसी तरह, दो बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं यदि और केवल अगर

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$

सबके लिए $x$ और $y$।इसका मतलब यह है कि यादृच्छिक चर के एक या अधिक के मूल्य के बारे में कोई भी जानकारी प्राप्त करने से किसी भी अन्य चर का सशर्त वितरण होता है जो इसके बिना शर्त (सीमांत) वितरण के समान है;इस प्रकार कोई भी चर किसी अन्य चर के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है।

सशर्त रूप से आश्रित चर के लिए संयुक्त वितरण

यदि एक सबसेट $A$ चर का $X_{1},\cdots ,X_{n}$ क्या सशर्त निर्भरता एक और सबसेट दी गई है $B$ इन चर में से, फिर संयुक्त वितरण की संभावना द्रव्यमान कार्य है $\mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})$. $\mathrm {P} (X_{1},\ldots ,X_{n})$ के बराबर है $P(B)\cdot P(A\mid B)$।इसलिए, इसे कम-आयामी संभावना वितरण द्वारा कुशलता से दर्शाया जा सकता है $P(B)$ और $P(A\mid B)$।इस तरह के सशर्त स्वतंत्रता संबंधों को एक बायेसियन नेटवर्क या कोपुला (संभाव्यता सिद्धांत) के साथ दर्शाया जा सकता है।

सहसंयोजक

जब दो या अधिक यादृच्छिक चर को एक संभाव्यता स्थान पर परिभाषित किया जाता है, तो यह वर्णन करना उपयोगी होता है कि वे एक साथ कैसे भिन्न होते हैं;यही है, यह चर के बीच संबंध को मापने के लिए उपयोगी है।दो यादृच्छिक चर के बीच संबंध का एक सामान्य उपाय सहसंयोजक है।सहसंयोजक यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का एक उपाय है।यदि यादृच्छिक चर के बीच संबंध गैर -रेखीय है, तो सहसंयोजक संबंध के प्रति संवेदनशील नहीं हो सकता है, जिसका अर्थ है, यह दो चर के बीच संबंध से संबंधित नहीं है।

यादृच्छिक चर x और y के बीच सहसंयोजक, cov (x, y) के रूप में निरूपित है, है:

$\sigma _{XY}=E[(X-\mu _{x})(Y-\mu _{y})]=E(XY)-\mu _{x}\mu _{y}$

सहसंबंध और निर्भरता

दो यादृच्छिक चर के बीच संबंध का एक और उपाय है जो अक्सर सहसंयोजक की तुलना में व्याख्या करना आसान होता है।

सहसंबंध केवल प्रत्येक चर के मानक विचलन के उत्पाद द्वारा सहसंयोजक को बढ़ाता है।नतीजतन, सहसंबंध एक आयाम रहित मात्रा है जिसका उपयोग विभिन्न इकाइयों में चर के जोड़े के बीच रैखिक संबंधों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है।यदि x और y के संयुक्त संभावना वितरण में बिंदु जो सकारात्मक संभावना प्राप्त करते हैं, तो सकारात्मक (या नकारात्मक) ढलान की एक पंक्ति के साथ गिरते हैं, ρ_XY +1 (या −1) के पास है।अगर ρ_XY +1 या, 1 के बराबर है, यह दिखाया जा सकता है कि संयुक्त संभावना वितरण में बिंदु जो सकारात्मक संभावना प्राप्त करते हैं, एक सीधी रेखा के साथ बिल्कुल गिरते हैं।गैर -सहसंबंध के साथ दो यादृच्छिक चर को सहसंबद्ध कहा जाता है।सहसंयोजक के समान, सहसंबंध यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का एक उपाय है।

यादृच्छिक चर x और y के बीच संबंध, के रूप में निरूपित

$\rho _{XY}={\frac {cov(X,Y)}{\sqrt {V(X)V(Y)}}}={\frac {\sigma _{XY}}{\sigma _{X}\sigma _{Y}}}$

महत्वपूर्ण नाम वितरण

नामित संयुक्त वितरण जो आंकड़ों में अक्सर उत्पन्न होते हैं, उनमें बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण, बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण, बहुराष्ट्रीय वितरण, नकारात्मक बहुराष्ट्रीय वितरण, बहुभिन्नरूपी हाइपरजोमेट्रिक वितरण और अण्डाकार वितरण शामिल हैं।

यह भी देखें

• बायेसियन प्रोग्रामिंग
• चाउ -एलियू ट्री
• सशर्त संभाव्यता
• कोपुला (संभाव्यता सिद्धांत)
• विघटन प्रमेय
• बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी
• सांख्यिकीय हस्तक्षेप
• जोड़ीदार स्वतंत्रता

बाहरी कड़ियाँ

• "Joint distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Multi-dimensional distribution", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A modern introduction to probability and statistics : understanding why and how. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.
• "Joint continuous density function". PlanetMath.
• Mathworld: Joint Distribution Function