संरक्षी निकाय

गणित में, संरक्षी निकाय एक गतिशील प्रणाली है जो एक अपव्यय प्रणाली के विपरीत है। स्थूलतः, ऐसी प्रणालियों में गतिकी को फैलाने के लिए कोई घर्षण या अन्य तंत्र नहीं होता है, और इस प्रकार, उनका चरण स्थान समय के साथ सिकुड़ता नहीं है। सटीक रूप से कहा जाए तो, वे गतिशील प्रणालियां हैं जिनमें एक अशक्त अस्थिर सम्मुच्चय है: समय के विकास के अनुसार, चरण स्थान का कोई भी हिस्सा कभी भी विचरण नहीं करता है, यह कभी भी वापस या फिर से नहीं जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, रूढ़िवादी प्रणालियां वे हैं जिन पर पॉइनकेयर पुनरावृत्ति प्रमेय लागू होता है। रूढ़िवादी प्रणालियों की एक महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली है।

अनौपचारिक परिचय

अनौपचारिक रूप से, गतिशील प्रणालियां कुछ यांत्रिक प्रणाली के चरण स्थान के समय के विकास का वर्णन करती हैं। सामान्यतः, इस तरह के विकास को कुछ अंतर समीकरणों द्वारा दिया जाता है, या प्रायः असतत समय चरणों के संदर्भ में दिया जाता है। हालाँकि, वर्तमान स्तिथि में, असतत बिंदुओं के समय के विकास पर ध्यान केंद्रित करने के स्थान पर, बिंदुओं के संग्रह के समय के विकास पर ध्यान दिया जाता है। ऐसा ही एक उदाहरण शनि (ग्रह) के वलय होंगे: छल्लों में रेत के अलग-अलग दानों के समय के विकास पर दृष्टि रखने के स्थान पर, किसी को छल्ले के घनत्व के समय के विकास में रुचि रखता है: घनत्व कैसे फैलता है, यह फैलता है या केंद्रित हो जाता है। कम समय-मानों (सैकड़ों हजारों वर्षों) में, शनि के वलय स्थिर हैं, और इस प्रकार एक संरक्षी निकाय का एक उचित उदाहरण हैं और अधिक सटीक रूप से, एक माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली है। यह माप-संरक्षण है, क्योंकि छल्ले में कणों की संख्या में परिवर्तन नहीं होता है, और न्यूटोनियन कक्षीय यांत्रिकी के अनुसार, चरण स्थान असंपीड्य है: इसे बढ़ाया या निष्पीडित जा सकता है, परन्तु घटाया नहीं जा सकता है (यह लिउविल के प्रमेय की सामग्री है।

औपचारिक परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक मापने योग्य गतिशील प्रणाली रूढ़िवादी है यदि और केवल यदि यह गैर-एकवचन है, और इसमें कोई घूमने वाला सम्मुच्चय नहीं है।

एक मापने योग्य गतिशील प्रणाली (X, Σ, μ, τ) एक मापने योग्य स्थान (X, Σ) है जो सिग्मा-परिमित माप μ और एक परिवर्तन τ से सुसज्जित है। यहाँ, X एक समुच्चय (गणित) है, और Σ X पर एक सिग्मा-बीजगणित है, ताकि जोड़ी (X, Σ) एक औसत दर्जे का स्थान हो। μ सिग्मा-बीजगणित पर एक सिग्मा-सीमित माप (गणित) है। स्थल X गतिक तंत्र का चरण स्थल है।

एक परिवर्तन (एक मानचित्र) $\tau :X\to X$ को Σ-मापने योग्य कहा जाता है यदि और केवल अगर, प्रत्येक σ ∈ Σ के लिए $\tau ^{-1}\sigma \in \Sigma$ सिग्मा है। गतिशील प्रणाली के विकास में परिवर्तन एक एकल समय-चरण है। एक उलटा परिवर्तन में रुचि रखता है, ताकि गतिशील प्रणाली की वर्तमान स्थिति एक अच्छी तरह से परिभाषित अतीत की स्थिति से आई हो।

एक मापने योग्य परिवर्तन $\tau :X\to X$ गैर-एकवचन कहा जाता है जब $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ यदि और केवल यदि $\mu (\sigma )=0$ है। इस स्तिथि में, प्रणाली (X, Σ, μ, τ) को 'गैर-विलक्षण गतिशील प्रणाली' कहा जाता है। प्रतिरूपण (गैर-संतुलन) प्रणालियों के लिए उपयुक्त होने के लिए एक गतिशील प्रणाली के लिए गैर-एकवचन होने की स्थिति आवश्यक है। यही है, यदि प्रणाली का एक निश्चित संविन्यास असंभव है (यानी। $\mu (\sigma )=0$) तो यह असंभव रहना चाहिए ($\mu (\tau ^{-1}\sigma )=0$ हमेशा असंभव था), अन्यथा, प्रणाली स्वेच्छाचारी ढंग से विकसित हो सकता है। गैर-एकवचन प्रणालियाँ नगण्य सम्मुच्चयों को संरक्षित करती हैं, लेकिन सम्मुच्चयों के किसी अन्य वर्ग को संरक्षित करने की आवश्यकता नहीं होती है। यहाँ एकवचन शब्द का अर्थ वही है जो एकवचन माप की परिभाषा में है जिसमें $\mu$ के संबंध में $\mu \circ \tau ^{-1}$ का कोई भाग एकवचन और इसके विपरीत नहीं है।

एक गैर-एकवचन गतिशील प्रणाली जिसके लिए $\mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )$ अपरिवर्तनीय कहा जाता है, या, अधिक सामान्यतः, एक माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली कहा जाता है।

प्रत्येक सम्मुच्चय के लिए एक गैर-एकवचन गतिशील प्रणाली रूढ़िवादी है, यदि सकारात्मक माप के प्रत्येक सम्मुच्चय $\sigma \in \Sigma$ और प्रत्येक $n\in \mathbb {N}$ के लिए, किसी के पास कोई पूर्णांक $p>n$ इस प्रकार है कि $\mu (\sigma \cap \tau ^{-p}\sigma )>0$ है। अनौपचारिक रूप से, इसे यह कहते हुए व्याख्यायित किया जा सकता है कि प्रणाली की वर्तमान स्थिति फिर से आती है या स्वेच्छाचारी ढंग से पूर्व स्थिति के करीब आती है; अधिक के लिए पोंकारे पुनरावृत्ति देखें।

एक गैर विलक्षण परिवर्तन $\tau :X\to X$ असंपीड्य है यदि, जब भी किसी के पास $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$ हो, तब $\mu (\sigma \smallsetminus \tau ^{-1}\sigma )=0$ होता है।

गुण

एक गैर विलक्षण परिवर्तन के लिए $\tau :X\to X$, निम्न कथन समतुल्य हैं:

• τ रूढ़िवादी है।
• τ असंपीड्य है।
• τ का प्रत्येक घुमंतू समुच्चय शून्य होता है।
• धनात्मक माप के सभी समुच्चय σ के लिए, ${\textstyle \mu \left(\sigma \smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$ है।

उपरोक्त का तात्पर्य है कि, यदि $\mu (X)<\infty$ और $\tau$ माप-संरक्षण है, तो गतिशील प्रणाली रूढ़िवादी है। यह प्रभावी रूप से पोंकारे पुनरावर्तन प्रमेय का आधुनिक कथन है। वास्तव में, मान लीजिए $\mu (X)<\infty$ और $\tau$ माप-संरक्षण है। मान लीजिए $A$ का एक अस्थिर सम्मुच्चय $\tau$ है। अस्थिर सम्मुच्चय की परिभाषा से और चूंकि $\tau$ $\mu$ को सुरक्षित रखता है, इस प्रकार $X$ में जोड़ीदार असंयुक्त सम्मुच्चयों का एक अनगिनत अनंत मिलन होगा, जिसमें $A$ के समान $\mu$ mu -मापक्रम होगा। चूंकि हमने यह माना कि $\mu (X)<\infty$, यह इस प्रकार है कि $A$ एक अशक्त समुच्चय है, इसलिए सभी घुमंतू समुच्चय शून्य समुच्चय होने चाहिए।

यह तर्क सबसे सरल उदाहरणों $\mu (X)=\infty$ के लिए भी विफल हो जाता है। दरअसल, उदाहरण के लिए मान लीजिए $(X,{\mathcal {A}},\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\lambda )$, जहाँ $\lambda$ लेबेस्ग माप को दर्शाता है, और शिफ्ट ऑपरेटर $\tau :X\to X,x\mapsto x+1$ पर विचार करें . चूँकि लेबेस्ग माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, $\tau$ माप-संरक्षण है। हालाँकि, $(X,{\mathcal {A}},\mu ,\tau )$ रूढ़िवादी नहीं है। वास्तव में, $X$ में निहित 1 से कम लंबाई का प्रत्येक अंतराल अस्थिर है। विशेष रूप से, $X$ को घूमने वाले सम्मुच्चयों के एक गणनीय संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

इन चारों की समानता के प्रमाण का एक रेखाचित्र पुनरावृत्ति प्रमेय में दिया गया है।

हॉफ अपघटन

Main article: हॉफ अपघटन

हॉफ अपघटन बताता है कि एक गैर-एकवचन परिवर्तन के साथ प्रत्येक माप स्थान को एक अपरिवर्तनीय रूढ़िवादी सम्मुच्चय और एक अस्थिर (विघटनकारी) सम्मुच्चय में विघटित किया जा सकता है। हॉफ अपघटन का एक सामान्य अनौपचारिक उदाहरण दो तरल पदार्थों का मिश्रण (गणित) है (कुछ पाठ्यपुस्तकों में रम और कोक का उल्लेख है): प्रारंभिक अवस्था, जहां दो तरल पदार्थ अभी तक मिश्रित नहीं हुए हैं, मिश्रण के बाद फिर कभी पुनरावृत्ति नहीं हो सकती है; यह अपव्यय सम्मुच्चय का हिस्सा है। परिणाम, मिश्रण के बाद (विहित उदाहरण में एक मुक्त क्यूबा), स्थिर है, और रूढ़िवादी सम्मुच्चय बनाता है; आगे मिलाने से इसमें परिवर्तन नहीं होता है। इस उदाहरण में, रूढ़िवादी सम्मुच्चय भी अभ्यतिप्राय है: यदि कोई तरल की एक और बूंद (जैसे, नींबू का रस) जोड़ता है, तो यह एक स्थान पर नहीं रहेगा, बल्कि हर जगह मिल जाएगा। इस उदाहरण के बारे में सावधानी का एक शब्द: हालांकि मिश्रण प्रणाली अभ्यतिप्राय हैं, अभ्यतिप्राय प्रणाली सामान्य मिश्रण प्रणाली में नहीं हैं! मिश्रण का तात्पर्य एक ऐसी अंतःक्रिया से है जो उपस्थित नहीं हो सकती है। एक अभ्यतिप्राय प्रणाली का विहित उदाहरण जो मिश्रण नहीं करता है वह बर्नौली प्रक्रिया है: यह सिक्का प्रतिवर्न के सभी संभावित अनंत अनुक्रमों का सम्मुच्चय है (समकक्ष रूप से, सम्मुच्चय $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$ शून्य और एक के अनंत तार); प्रत्येक व्यक्तिगत सिक्का प्रतिवर्न दूसरों से स्वतंत्र है।

अभ्यतिप्राय अपघटन

अभ्यतिप्राय अपघटन प्रमेय स्थूलतः बताता है कि प्रत्येक संरक्षी निकाय को घटकों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक घटक व्यक्तिगत रूप से अभ्यतिप्राय प्रणाली है। इसका एक अनौपचारिक उदाहरण एक टब होगा, जिसमें बीच में एक भाजक होगा, जिसमें प्रत्येक डिब्बे में तरल पदार्थ भरा होगा। एक तरफ का तरल स्पष्ट रूप से खुद के साथ मिश्रित हो सकता है, और ऐसा ही दूसरा भी कर सकता है, लेकिन, विभाजन के कारण, दोनों पक्ष परस्पर प्रभाव नहीं कर सकते। स्पष्ट रूप से, इसे दो स्वतंत्र प्रणालियों के रूप में माना जा सकता है; माप शून्य के दोनों पक्षों के बीच रिसाव को उपेक्षित किया जा सकता है। अभ्यतिप्राय अपघटन प्रमेय कहता है कि सभी रूढ़िवादी प्रणालियों को ऐसे स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है, और यह विभाजन अद्वितीय है (माप शून्य के अंतर तक)। इस प्रकार, परंपरा के अनुसार, रूढ़िवादी प्रणालियों का अध्ययन उनके अभ्यतिप्राय घटकों का अध्ययन बन जाता है।

औपचारिक रूप से, प्रत्येक अभ्यतिप्राय प्रणाली रूढ़िवादी है। याद कीजिए कि एक अपरिवर्तनीय समुच्चय σ ∈ Σ वह है जिसके लिए τ(σ) = σ है। एक अभ्यतिप्राय प्रणाली के लिए, केवल अपरिवर्तनीय सम्मुच्चय वे होते हैं जिनका माप शून्य या पूर्ण माप के साथ होता है (अशक्त सम्मुच्चय होते हैं या कॉ शून्य सम्मुच्चय होते हैं); कि वे रूढ़िवादी हैं तो इससे तुच्छ रूप से अनुसरण करते हैं।

जब τ अभ्यतिप्राय होता है, तो निम्नलिखित कथन समतुल्य होते हैं:* τ रूढ़िवादी और एर्गोडिक है

• सभी मापने योग्य सम्मुच्चय σ के लिए, ${\textstyle \mu \left(X\smallsetminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\tau ^{-n}\sigma \right)=0}$; अर्थात्, σ सभी X को मिटा देता है।
• सकारात्मक माप के सभी सम्मुच्चयों के लिए, और लगभग हर $x\in X$ के लिए, वहाँ एक सकारात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि $\tau ^{n}x\in \sigma$।
• सभी सम्मुच्चयों के लिए $\sigma$ और $\rho$ धनात्मक माप के लिए, एक धनात्मक पूर्णांक n उपस्थित है जैसे कि $\mu \left(\tau ^{-n}\rho \cap \sigma \right)>0$
• यदि $\tau ^{-1}\sigma \subset \sigma$, तो कोई $\mu (\sigma )=0$ या पूरक का माप शून्य है: $\mu (\sigma ^{c})=0$.

यह भी देखें

• केएमएस स्तिथि, परिमाण यांत्रिक प्रणाली में ऊष्मागतिक संतुलन का विवरण; वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए दोहरे से प्रमापीय सिद्धांत।

संदर्भ

• Danilenko, Alexandre I.; Silva, Cesar E. (2009). "Ergodic theory: Nonsingular transformations". Encyclopedia of Complexity and Systems Science. Springer: 3055–3083. arXiv:0803.2424. doi:10.1007/978-0-387-30440-3_183. ISBN 978-0-387-75888-6.
• Krengel, Ulrich (1985). Ergodic theorems. De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 6. de Gruyter. ISBN 3-11-008478-3.
• Sarig, Omri (March 8, 2020). "Lecture Notes on Ergodic Theory" (PDF). Home | Omri Sarig. Weizmann Institute.

अग्रिम पठन

• Nicholls, Peter J. (1989). The Ergodic Theory of Discrete Groups. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37674-2.
• Wilkinson, Aime (2008). "Smooth Ergodic Theory". arXiv:0804.0167 [math.DS].