सदिश बीजगणित में निम्नलिखित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ हैं। वे सर्वसमिकाएं जिनमें सदिश का परिमाण
‖
A
‖
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|}
A ·B का डॉट गुणनफल (अदिश गुणनफल), किसी भी आयाम में सदिशों पर प्रयुक्त होता है। क्रॉस गुणनफल (सदिश गुणनफल) A ×B का उपयोग करने वाली पहचान केवल तीन आयामों में परिभाषित की जाती है।[nb 1] [1]
परिमाण डॉट गुणनफल का उपयोग करके सदिश A का परिमाण व्यक्त किया जा सकता है:
‖
A
‖
2
=
A
⋅
A
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=\mathbf {A\cdot A} }
त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, सदिश का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके तीन घटकों से निर्धारित किया जाता है:
‖
A
‖
2
=
A
1
2
+
A
2
2
+
A
3
2
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}
असमानताएं कॉची-श्वार्ज़ असमानता:
A
⋅
B
≤
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \leq \left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}
त्रिभुज असमानता:
‖
A
+
B
‖
≤
‖
A
‖
+
‖
B
‖
{\displaystyle \|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|}
विपरीत त्रिकोण असमानता:
‖
A
−
B
‖
≥
|
‖
A
‖
−
‖
B
‖
|
{\displaystyle \|\mathbf {A-B} \|\geq {\Bigl |}\|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|{\Bigr |}}
कोण सदिश गुणनफल और दो सदिशों के अदिश गुणनफल उनके बीच के कोण को परिभाषित करते हैं, और θ कहते हैं:[1] [2]
sin
θ
=
‖
A
×
B
‖
‖
A
‖
‖
B
‖
(
−
π
<
θ
≤
π
)
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \|}{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}
दाहिने हाथ के नियम को संतुष्ट करने के लिए, सकारात्मक θ के लिए, सदिश B , A से वामावर्त है, और ऋणात्मक θ के लिए यह दक्षिणावर्त है।
cos
θ
=
A
⋅
B
‖
A
‖
‖
B
‖
(
−
π
<
θ
≤
π
)
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }{\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|}}\quad (-\pi <\theta \leq \pi )}
पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान तब प्रदान करती है:
‖
A
×
B
‖
2
+
(
A
⋅
B
)
2
=
‖
A
‖
2
‖
B
‖
2
{\displaystyle \left\|\mathbf {A\times B} \right\|^{2}+(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}=\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}}
यदि सदिश A = (Ax , Ay , Az ) x-, y- और z- अक्षों के लंबकोणीय समुच्चय के साथ α, β, γ कोण बनाता है, तब:
cos
α
=
A
x
A
x
2
+
A
y
2
+
A
z
2
=
A
x
‖
A
‖
,
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,}
और समान रूप से कोण β, γ के लिए। फलस्वरूप:
A
=
‖
A
‖
(
cos
α
i
^
+
cos
β
j
^
+
cos
γ
k
^
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right),}
i
^
,
j
^
,
k
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}}
क्षेत्र और आयतन भुजाओं A और B वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल Σ जिसमें कोण θ है:
Σ
=
A
B
sin
θ
,
{\displaystyle \Sigma =AB\sin \theta ,}
जिसे समांतर चतुर्भुज के किनारों पर स्थित सदिश A और B के सदिश क्रॉस गुणनफल के परिमाण के रूप में पहचाना जाएगा। वह है:
Σ
=
‖
A
×
B
‖
=
‖
A
‖
2
‖
B
‖
2
−
(
A
⋅
B
)
2
.
{\displaystyle \Sigma =\left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {A} \right\|^{2}\left\|\mathbf {B} \right\|^{2}-\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}}\ .}
(यदि A , B द्वि-आयामी सदिश हैं, तो यह पंक्तियों A , B के साथ 2 × 2 आव्यूह के निर्धारक के बराबर है।) इस अभिव्यक्ति का वर्ग है:[3]
Σ
2
=
(
A
⋅
A
)
(
B
⋅
B
)
−
(
A
⋅
B
)
(
B
⋅
A
)
=
Γ
(
A
,
B
)
,
{\displaystyle \Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )\ ,}
जहां Γ (A , B ) A और B के ग्राम निर्धारक द्वारा परिभाषित किया गया है:
Γ
(
A
,
B
)
=
|
A
⋅
A
A
⋅
B
B
⋅
A
B
⋅
B
|
.
{\displaystyle \Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} \end{vmatrix}}\ .}
इसी तरह से, तीन सदिशों 'A ', 'B ', 'C ' द्वारा फैले समांतर चतुर्भुज का वर्गित आयतन तीन सदिशों के ग्राम निर्धारक द्वारा दिया जाता है:[3]
V
2
=
Γ
(
A
,
B
,
C
)
=
|
A
⋅
A
A
⋅
B
A
⋅
C
B
⋅
A
B
⋅
B
B
⋅
C
C
⋅
A
C
⋅
B
C
⋅
C
|
,
{\displaystyle V^{2}=\Gamma (\mathbf {A} ,\ \mathbf {B} ,\ \mathbf {C} )={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ ,}
चूंकि 'A ', 'B ', 'C ' त्रि-आयामी सदिश हैं, यह स्केलर ट्रिपल गुणनफल के वर्ग के बराबर है;
det
[
A
,
B
,
C
]
=
|
A
,
B
,
C
|
{\displaystyle \det[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]=|\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} |}
इस प्रक्रिया को n-आयामों तक बढ़ाया जा सकता है।
सदिशों का योग और गुणन जोड़ की क्रमविनिमेयता :
A
+
B
=
B
+
A
{\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }
अदिश गुणनफल की क्रमविनिमेयता:
A
⋅
B
=
B
⋅
A
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
क्रॉस गुणनफल की एंटीकम्यूटेटिविटी :
A
×
B
=
−
B
×
A
{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A} }
जोड़ पर अदिश द्वारा गुणन का वितरण :
c
(
A
+
B
)
=
c
A
+
c
B
{\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }
अतिरिक्त पर स्केलर गुणनफल का वितरण:
(
A
+
B
)
⋅
C
=
A
⋅
C
+
B
⋅
C
{\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} }
सदिश गुणनफल का वितरण योग से अधिक:
(
A
+
B
)
×
C
=
A
×
C
+
B
×
C
{\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C} }
स्केलर ट्रिपल गुणनफल:
A
⋅
(
B
×
C
)
=
B
⋅
(
C
×
A
)
=
C
⋅
(
A
×
B
)
=
|
A
B
C
|
=
|
A
x
B
x
C
x
A
y
B
y
C
y
A
z
B
z
C
z
|
.
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=\mathbf {B} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {C} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |={\begin{vmatrix}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{vmatrix}}.}
सदिश ट्रिपल गुणनफल :
A
×
(
B
×
C
)
=
(
A
⋅
C
)
B
−
(
A
⋅
B
)
C
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }
जैकोबी पहचान :
A
×
(
B
×
C
)
+
C
×
(
A
×
B
)
+
B
×
(
C
×
A
)
=
0
.
{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )=\mathbf {0} .}
बिनेट-कॉची पहचान :
(
A
×
B
)
⋅
(
C
×
D
)
=
(
A
⋅
C
)
(
B
⋅
D
)
−
(
B
⋅
C
)
(
A
⋅
D
)
.
{\displaystyle \mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right).}
लैग्रेंज की पहचान:
|
A
×
B
|
2
=
(
A
⋅
A
)
(
B
⋅
B
)
−
(
A
⋅
B
)
2
{\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |^{2}=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )(\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )^{2}}
सदिश चौगुनी गुणनफल:[4] [5]
(
A
×
B
)
×
(
C
×
D
)
=
|
A
B
D
|
C
−
|
A
B
C
|
D
=
|
A
C
D
|
B
−
|
B
C
D
|
A
.
{\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )\ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {C} \,-\,|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} \ =\ |\mathbf {A} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {B} \,-\,|\mathbf {B} \,\mathbf {C} \,\mathbf {D} |\,\mathbf {A} .}
पिछले समीकरण का परिणाम:[6]
|
A
B
C
|
D
=
(
A
⋅
D
)
(
B
×
C
)
+
(
B
⋅
D
)
(
C
×
A
)
+
(
C
⋅
D
)
(
A
×
B
)
.
{\displaystyle |\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |\,\mathbf {D} =(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} )\left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {C} \cdot \mathbf {D} \right)\left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right).}
3 आयामों में, सदिश D को आधार सदिश {A ', 'B ', 'C '} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:[7]
D
=
D
⋅
(
B
×
C
)
|
A
B
C
|
A
+
D
⋅
(
C
×
A
)
|
A
B
C
|
B
+
D
⋅
(
A
×
B
)
|
A
B
C
|
C
.
{\displaystyle \mathbf {D} \ =\ {\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D} \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )}{|\mathbf {A} \,\mathbf {B} \,\mathbf {C} |}}\ \mathbf {C} .}
यह भी देखें टिप्पणियाँ
संदर्भ