समतुल्यता (माप सिद्धांत)

गणित में, और विशेष रूप से माप सिद्धांत में, तुल्यता दो मापों (गणित) के गुणात्मक रूप से समान होने की धारणा है। विशेष रूप से, दोनों उपाय इस बात पर सहमत हैं कि किन घटनाओं का माप शून्य है।

परिभाषा

होने देना $\mu$ और $\nu$ मापने योग्य स्थान पर दो माप (गणित) हों $(X,{\mathcal {A}}),$ और जाने

$${\mathcal {N}}_{\mu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \mu (A)=0\}$$

और

$${\mathcal {N}}_{\nu }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \nu (A)=0\}$$

के सेट हो $\mu$-शून्य सेट और $\nu$-शून्य सेट, क्रमशः। फिर उपाय $\nu$ के सन्दर्भ में पूर्णतः सतत् माप कहा जाता है $\mu$ अगर और केवल अगर ${\mathcal {N}}_{\nu }\supseteq {\mathcal {N}}_{\mu }.$ इसे इस प्रकार दर्शाया गया है $\nu \ll \mu .$ दोनों मापों को समतुल्य कहा जाता है यदि और केवल यदि $\mu \ll \nu$ और $\nu \ll \mu ,$ जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है $\mu \sim \nu .$ अर्थात्, यदि वे संतुष्ट हों तो दो माप समतुल्य हैं ${\mathcal {N}}_{\mu }={\mathcal {N}}_{\nu }.$

उदाहरण

वास्तविक रेखा पर

दोनों मापों को वास्तविक रेखा पर इस प्रकार परिभाषित करें

$$\mu (A)=\int _{A}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x$$

$$\nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x$$

सभी बोरेल सेट के लिए $A.$ तब $\mu$ और $\nu$ समतुल्य हैं, क्योंकि सभी सेट बाहर हैं $[0,1]$ पास होना $\mu$ और $\nu$ शून्य मापें, और अंदर एक सेट $[0,1]$ एक है $\mu$-शून्य सेट या ए $\nu$-शून्य सेट बिल्कुल तब होता है जब यह लेब्सेग माप के संबंध में एक शून्य सेट होता है।

सार माप स्थान

कुछ मापने योग्य स्थान देखें $(X,{\mathcal {A}})$ और जाने $\mu$ गिनती का पैमाना हो, इसलिए

$$\mu (A)=|A|,$$

कहाँ $|A|$ सेट ए की प्रमुखता है। तो गिनती के माप में केवल एक शून्य सेट होता है, जो खाली सेट होता है। वह है, ${\mathcal {N}}_{\mu }=\{\varnothing \}.$ तो दूसरी परिभाषा के अनुसार, कोई अन्य उपाय $\nu$ गिनती के माप के बराबर है यदि और केवल तभी जब इसमें केवल खाली सेट ही एकमात्र हो $\nu$-शून्य सेट।

सहायक उपाय

एक नाप $\mu$ ए कहा जाता हैsupporting measure एक माप का $\nu$ अगर $\mu$ सिग्मा-परिमित है|$\sigma$-परिमित और $\nu$ के बराबर है $\mu .$