समय व्युत्पन्न

समय व्युत्पन्न समय के संबंध में एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है, जिसे आमतौर पर फ़ंक्शन के मूल्य में परिवर्तन की दर के रूप में समझा जाता है। समय को दर्शाने वाले चर को आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है $t$.

नोटेशन

समय व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए विभिन्न प्रकार के नोटेशन का उपयोग किया जाता है। सामान्य (लीबनिज का अंकन|लीबनिज का) अंकन के अलावा,

${\frac {dx}{dt}}$

विशेष रूप से भौतिकी में उपयोग किया जाने वाला एक बहुत ही सामान्य शॉर्ट-हैंड नोटेशन 'ओवर-डॉट' है। अर्थात।

${\dot {x}}$

(इसे न्यूटन का अंकन कहा जाता है)

उच्च समय व्युत्पन्न का भी उपयोग किया जाता है: समय के संबंध में दूसरा व्युत्पन्न इस प्रकार लिखा जाता है

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

के संगत आशुलिपि के साथ ${\ddot {x}}$.

सामान्यीकरण के रूप में, एक वेक्टर का समय व्युत्पन्न, कहें:

$\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]$

को उस वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके घटक मूल वेक्टर के घटकों के व्युत्पन्न हैं। वह है,

${\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].$

भौतिकी में उपयोग

समय व्युत्पन्न भौतिकी में एक प्रमुख अवधारणा है। उदाहरण के लिए, बदलती स्थिति के लिए (वेक्टर) $x$, इसका समय व्युत्पन्न है ${\dot {x}}$ इसका वेग है, और समय के संबंध में इसका दूसरा व्युत्पन्न है, ${\ddot {x}}$, इसका त्वरण है. यहां तक ​​कि कभी-कभी उच्च व्युत्पन्न का भी उपयोग किया जाता है: समय के संबंध में स्थिति के तीसरे व्युत्पन्न को जर्क (भौतिकी) के रूप में जाना जाता है। [[गति ग्राफ़ और डेरिवेटिव]] देखें।

भौतिकी में बड़ी संख्या में मूलभूत समीकरणों में पहली या दूसरी बार मात्राओं के व्युत्पन्न शामिल होते हैं। विज्ञान में कई अन्य मूलभूत मात्राएँ एक दूसरे के समय व्युत्पन्न हैं:

• बल संवेग का समय व्युत्पन्न है
• शक्ति (भौतिकी) ऊर्जा का समय व्युत्पन्न है
• विद्युत धारा विद्युत आवेश का समय व्युत्पन्न है

और इसी तरह।

भौतिकी में एक सामान्य घटना वेक्टर (ज्यामितीय) का समय व्युत्पन्न है, जैसे वेग या विस्थापन। ऐसे व्युत्पन्न से निपटने में, परिमाण और अभिविन्यास दोनों समय पर निर्भर हो सकते हैं।

उदाहरण: गोलाकार गति

See also: Uniform circular motion and Centripetal force

कार्तीय निर्देशांक (x,y) और ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ) के बीच संबंध।

उदाहरण के लिए, वृत्ताकार पथ पर घूम रहे एक कण पर विचार करें। इसकी स्थिति विस्थापन वेक्टर द्वारा दी गई है $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}$, कोण, θ, और रेडियल दूरी, r से संबंधित, जैसा कि चित्र में परिभाषित है:

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

इस उदाहरण के लिए, हम यह मानते हैं θ = t. इसलिए, किसी भी समय t पर विस्थापन (स्थिति) दिया जाता है

$\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}$

यह प्रपत्र दर्शाता है कि r(t) द्वारा वर्णित गति त्रिज्या r के एक वृत्त में है क्योंकि r(t) का परिमाण निम्न द्वारा दिया गया है

$|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r$

त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करना sin²(t) + cos²(t) = 1 और कहाँ $\cdot$ सामान्य यूक्लिडियन डॉट उत्पाद है।

विस्थापन के लिए इस रूप के साथ, वेग अब पाया जाता है। विस्थापन वेक्टर का समय व्युत्पन्न वेग वेक्टर है। सामान्य तौर पर, एक वेक्टर का व्युत्पन्न एक वेक्टर होता है जो घटकों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक मूल वेक्टर के संबंधित घटक का व्युत्पन्न होता है। इस प्रकार, इस मामले में, वेग वेक्टर है:

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}$

इस प्रकार कण का वेग शून्य नहीं है, भले ही स्थिति का परिमाण (अर्थात पथ की त्रिज्या) स्थिर है। वेग को विस्थापन के लंबवत निर्देशित किया जाता है, जैसा कि डॉट उत्पाद का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है:

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.$

त्वरण तब वेग का समय-व्युत्पन्न है:

$\mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.$

त्वरण घूर्णन की धुरी की ओर, अंदर की ओर निर्देशित होता है। यह स्थिति वेक्टर के विपरीत और वेग वेक्टर के लंबवत इंगित करता है। इस अंदर की ओर निर्देशित त्वरण को अभिकेन्द्रीय बल कहा जाता है।

विभेदक ज्यामिति में

विभेदक ज्यामिति में, मात्राएँ अक्सर स्थानीय वक्ररेखीय निर्देशांक#सहसंयोजक और प्रतिपरिवर्ती आधारों के संबंध में व्यक्त की जाती हैं, $\mathbf {e} _{i}$, जहां मैं आयामों की संख्या से अधिक है। एक वेक्टर के घटक $\mathbf {U}$ जैसा कि अभिव्यक्ति में दिखाया गया है, इस तरह व्यक्त किया गया एक कॉन्ट्रावेरिएंट टेंसर फ़ील्ड के रूप में रूपांतरित होता है $\mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}$, आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का आह्वान करते हुए। यदि हम एक प्रक्षेपवक्र के साथ इन घटकों के समय व्युत्पन्न की गणना करना चाहते हैं, तो हमारे पास है $\mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)$, हम एक नए ऑपरेटर, अपरिवर्तनीय व्युत्पन्न को परिभाषित कर सकते हैं $\delta$, जो विरोधाभासी टेंसर लौटाता रहेगा:

${\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}$

कहाँ $V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}$ (साथ $x^{j}$ jth निर्देशांक होने के नाते) स्थानीय सहसंयोजक आधार में वेग के घटकों को कैप्चर करता है, और $\Gamma _{jk}^{i}$ समन्वय प्रणाली के लिए क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं। ध्यान दें कि नोटेशन में t पर स्पष्ट निर्भरता को दबा दिया गया है। फिर हम लिख सकते हैं:

${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}$

साथ ही साथ:

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}$

सहसंयोजक व्युत्पन्न के संदर्भ में, $\nabla _{j}$, हमारे पास है:

${\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}$

अर्थशास्त्र में उपयोग

अर्थशास्त्र में, विभिन्न आर्थिक चर के विकास के कई सैद्धांतिक मॉडल निरंतर समय में निर्मित होते हैं और इसलिए समय व्युत्पन्न को नियोजित करते हैं। एक स्थिति में स्टॉक और प्रवाह और उसका समय व्युत्पन्न, स्टॉक और प्रवाह शामिल हैं। उदाहरणों में शामिल:

• शुद्ध निश्चित निवेश का प्रवाह पूंजी स्टॉक का समय व्युत्पन्न है।
• माल निवेश का प्रवाह इन्वेंट्री के स्टॉक का समय व्युत्पन्न है।
• मुद्रा आपूर्ति की वृद्धि दर धन आपूर्ति के समय व्युत्पन्न को धन आपूर्ति से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

कभी-कभी प्रवाह चर का समय व्युत्पन्न एक मॉडल में दिखाई दे सकता है:

• आउटपुट की वृद्धि दर (अर्थशास्त्र) आउटपुट द्वारा विभाजित आउटपुट के प्रवाह का समय व्युत्पन्न है।
• श्रम बल की वृद्धि दर श्रम बल द्वारा विभाजित श्रम बल का समय व्युत्पन्न है।

और कभी-कभी एक चर का समय व्युत्पन्न दिखाई देता है, जो उपरोक्त उदाहरणों के विपरीत, मुद्रा की इकाइयों में नहीं मापा जाता है:

• प्रमुख ब्याज दर का समय व्युत्पन्न दिखाई दे सकता है।
• मुद्रास्फीति दर मूल्य स्तर की वृद्धि दर है - अर्थात, मूल्य स्तर के समय व्युत्पन्न को मूल्य स्तर से विभाजित किया जाता है।

यह भी देखें

• अंतर कलन
• भेदभाव के लिए संकेतन
• परिपत्र गति
• सेंट्ररपेटल फ़ोर्स
• स्थानिक व्युत्पन्न
• अस्थायी दर