समान मानदंड

वर्ग का परिमाप बिंदुओं का समुच्चय है

ℝ 2

जहां सुपर मानदंड एक निश्चित सकारात्मक स्थिरांक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए अंक

(2, 0)

,

(2, 1)

, और

(2, 2)

एक वर्ग की परिधि के साथ स्थित है और सदिशों के समूह से संबंधित है जिसका सुपर मानक 2 है।

गणितीय विश्लेषण में, समान मानदंड (याsup norm) रियल नंबर | रियल- या कॉम्प्लेक्स नंबर-वैल्यू बाउंडेड फंक्शन को असाइन करता है $f$ एक सेट (गणित) पर परिभाषित $S$ गैर-ऋणात्मक संख्या

\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.

इस नॉर्म (गणित) को भी कहा जाता हैsupremum norm, दChebyshev norm, दinfinity norm, या, जब Infimum और supremum वास्तव में अधिकतम हैं, तोmax norm. समान मानदंड नाम इस तथ्य से निकला है कि कार्यों का एक क्रम $\left\{f_{n}\right\}$ में विलीन हो जाता है $f$ मीट्रिक (गणित) के तहत एक समान मानदंड से प्राप्त होता है यदि और केवल यदि $f_{n}$ में विलीन हो जाता है $f$ समान अभिसरण।^[1] यदि $f$ एक बंद और परिबद्ध अंतराल पर एक सतत कार्य है, या अधिक आम तौर पर एक कॉम्पैक्ट स्पेस सेट है, तो यह परिबद्ध है और उपरोक्त परिभाषा में सुप्रीम वीयरस्ट्रैस एक्सट्रीम वैल्यू प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जाता है, इसलिए हम सर्वोच्च को अधिकतम से बदल सकते हैं। इस मामले में, आदर्श भी कहा जाता हैmaximum norm. विशेष रूप से, अगर $x$ कुछ वेक्टर ऐसा है $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ परिमित सेट आयामी समन्वय स्थान में, यह रूप लेता है:

\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).

मीट्रिक और टोपोलॉजी

इस मानदंड द्वारा उत्पन्न मीट्रिक को कहा जाता हैChebyshev metricPafnuty Chebyshev के बाद, जो व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

यदि हम असीमित कार्यों की अनुमति देते हैं, तो यह सूत्र सख्त अर्थों में एक मानक या मीट्रिक नहीं देता है, हालांकि प्राप्त तथाकथित मीट्रिक (गणित) # सामान्यीकृत मेट्रिक्स अभी भी किसी को प्रश्न में कार्य स्थान पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

बाइनरी फ़ंक्शन

d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }

तब किसी विशेष डोमेन पर सभी बंधे हुए कार्यों (और, जाहिर है, इसके किसी भी उपसमुच्चय) के स्थान पर एक मीट्रिक है। एक क्रम

\left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}

एक समारोह के लिए समान अभिसरण

f

अगर और केवल अगर

\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty }=0.\,

हम इस मीट्रिक टोपोलॉजी के संबंध में बंद सेट और सेट के बंद होने को परिभाषित कर सकते हैं; समान मानदंड में बंद सेट को कभी-कभी समान रूप से बंद और समान रूप से बंद करने वाले कहा जाता है। कार्यों के एक सेट का एक समान बंद होना ए सभी कार्यों का स्थान है जिसे समान रूप से अभिसरण कार्यों के अनुक्रम द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

A.

उदाहरण के लिए, स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय का एक पुनर्कथन यह है कि सभी निरंतर कार्यों का सेट

[a,b]

पर बहुपदों के समुच्चय का एकसमान संवरण है

[a,b].

जटिल निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) के लिए एक कॉम्पैक्ट स्पेस पर कार्य करता है, यह इसे सी-स्टार बीजगणित में बदल देता है। सी * बीजगणित।

गुण

सदिशों का समुच्चय जिसका अनंत मानदंड एक नियतांक है, $c,$ किनारे की लंबाई के साथ हाइपरक्यूब की सतह बनाता है $2c.$ सबस्क्रिप्ट का कारण $\infty$ क्या वह जब भी $f$ निरंतर है

\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },

कहां

\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}

कहां

D

का डोमेन है

f

और अभिन्न राशि एक योग के लिए यदि

D

एक असतत सेट है (नॉर्म (गणित) # पी-नॉर्म | पी-नॉर्म देखें)।

यह भी देखें

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संदर्भ

↑ Rudin, Walter (1964). गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत. New York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN 0-07-054235-X.

श्रेणी: बनच स्थान श्रेणी: कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:सामान्य स्थान श्रेणी: मानदंड (गणित)

[1] Rudin, Walter (1964). गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत. New York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN 0-07-054235-X.

[1]

v t e Banach space topics
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

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