समूह-वेग फैलाव

प्रकाशिकी में, समूह-वेग फैलाव (जीवीडी) एक फैलाव (प्रकाशिकी) की एक विशेषता है, जिसका उपयोग अक्सर यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि माध्यम इसके माध्यम से यात्रा करने वाले ऑप्टिकल पल्स की अवधि को कैसे प्रभावित करता है। औपचारिक रूप से, जीवीडी को कोणीय आवृत्ति के संबंध में किसी सामग्री में प्रकाश के समूह वेग के व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है,

${\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},$

कहाँ $\omega$ और $\omega _{0}$ कोणीय आवृत्तियाँ और समूह वेग हैं $v_{g}(\omega )$ परिभाषित किया जाता है $v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k$. समूह-वेग फैलाव की इकाइयाँ हैं [समय]²/[दूरी], अक्सर गुजरने में व्यक्त किया जाता है²/मिलीमीटर.

समान रूप से, समूह-वेग फैलाव को मध्यम-निर्भर तरंग वेक्टर के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है $k(\omega )$ के अनुसार

${\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},$

या अपवर्तनांक के संदर्भ में $n(\omega )$ के अनुसार

${\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.$

अनुप्रयोग

समूह-वेग फैलाव का उपयोग आमतौर पर चहचहाहट की मात्रा का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जो कि रुचि की सामग्री से गुजरने के बाद प्रकाश की पल्स पर लगाई जाएगी:

${\text{chirp}}=({\text{material thickness}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{bandwidth}}).$

व्युत्पत्ति

पल्स चहचहाहट को निर्धारित करने के लिए जीवीडी का उपयोग कैसे किया जा सकता है इसका एक सरल उदाहरण बैंडविड्थ-सीमित पल्स के प्रभाव को देखकर देखा जा सकता है। अवधि की ट्रांसफॉर्म-सीमित पल्स $\sigma$ मोटाई के एक समतल माध्यम से गुजरना d. माध्यम से गुजरने से पहले, सभी आवृत्तियों के चरण ऑफसेट को समय में संरेखित किया जाता है, और पल्स को समय के एक फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया जा सकता है,

$E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},$

या समकक्ष, आवृत्ति के एक फलन के रूप में,

$E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}$

(पैरामीटर ए और बी सामान्यीकरण स्थिरांक हैं)। माध्यम से गुजरने पर आवृत्ति-निर्भर चरण संचय होता है $\Delta \phi (\omega )=k(\omega )d$, जैसे कि उत्तर-मध्यम नाड़ी का वर्णन किया जा सकता है

$E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.$

सामान्य तौर पर, अपवर्तक सूचकांक $n(\omega )$, और इसलिए तरंग वेक्टर $k(\omega )=n(\omega )\omega /c$, का एक मनमाना कार्य हो सकता है $\omega$, जिससे विश्लेषणात्मक रूप से व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को समय डोमेन में वापस करना मुश्किल हो जाता है। हालाँकि, यदि पल्स की बैंडविड्थ वक्रता के सापेक्ष संकीर्ण है $n$, तो प्रतिस्थापित करके अपवर्तक सूचकांक के प्रभाव का अच्छा अनुमान प्राप्त किया जा सकता है $k(\omega )$ इसकी टेलर श्रृंखला पर केन्द्रित है $\omega _{0}$:

${\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\dots$

इस एक्सप्रेशन को छोटा करने और इसे पोस्ट-मीडियम फ़्रीक्वेंसी-डोमेन एक्सप्रेशन में डालने से पोस्ट-मीडियम टाइम-डोमेन एक्सप्रेशन प्राप्त होता है

$E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(t-k'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.$

संतुलन पर, नाड़ी को तीव्रता के मानक विचलन मान तक बढ़ा दिया जाता है

$\sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},$

इस प्रकार प्रारंभिक अभिव्यक्ति को मान्य करना। ध्यान दें कि एक बैंडविड्थ-सीमित पल्स|ट्रांसफॉर्म-सीमित पल्स है $\sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2$, जो 1/(2σ) की पहचान करना उचित बनाता है_t) बैंडविड्थ के रूप में।

वैकल्पिक व्युत्पत्ति

पल्स चिरप और जीवीडी के बीच संबंध की एक वैकल्पिक व्युत्पत्ति, जो तुरंत कारण बताती है कि क्यों जीवीडी को व्युत्क्रम समूह वेग के व्युत्पन्न द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, को निम्नानुसार रेखांकित किया जा सकता है। वाहक आवृत्तियों के दो परिवर्तन-सीमित दालों पर विचार करें $\omega _{1}$ और $\omega _{2}$, जो प्रारंभ में समय में ओवरलैप हो रहे हैं। माध्यम से गुजरने के बाद, ये दोनों पल्स अपने संबंधित पल्स-आवरण केंद्रों के बीच दिए गए समय विलंब का प्रदर्शन करेंगे

$\Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).$

अभिव्यक्ति को टेलर श्रृंखला के रूप में अनुमानित किया जा सकता है

$\Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),$

या

$\Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).$

यहां से इस अभिव्यक्ति को दो पल्स से लेकर अनंत तक बढ़ाने की कल्पना करना संभव है। आवृत्ति अंतर $\omega _{2}-\omega _{1}$ बैंडविड्थ और समय विलंब द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $\Delta T$ प्रेरित चहचहाहट में विकसित होता है।

समूह-विलंब फैलाव

एक निकट से संबंधित लेकिन स्वतंत्र मात्रा समूह-विलंब फैलाव (जीडीडी) है, जिसे इस तरह परिभाषित किया गया है कि समूह-वेग फैलाव प्रति इकाई लंबाई समूह-विलंब फैलाव है। जीडीडी का उपयोग आमतौर पर स्तरित दर्पणों को चिह्नित करने में एक पैरामीटर के रूप में किया जाता है, जहां समूह-वेग फैलाव विशेष रूप से अच्छी तरह से परिभाषित नहीं होता है, फिर भी दर्पण से उछलने के बाद प्रेरित चहचहाहट को अच्छी तरह से चित्रित किया जा सकता है। समूह-विलंब फैलाव की इकाइयाँ हैं [समय]², अक्सर एफएस में व्यक्त किया जाता है².

एक ऑप्टिकल तत्व का समूह-विलंब फैलाव (जीडीडी) कोणीय आवृत्ति के संबंध में समूह विलंब का व्युत्पन्न है, और ऑप्टिकल चरण का दूसरा व्युत्पन्न भी है:

$D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}.$

यह तत्व के रंगीन फैलाव का माप है। जीडीडी कुल फैलाव पैरामीटर से संबंधित है $D_{\text{tot}}$ जैसा

$D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.$

बाहरी संबंध

• Online refractive index database
• RP Photonics Encyclopedia
• Commercial Optical Dispersion Measurement with White Light Interferometry