सशर्त स्वतंत्रता

संभाव्यता सिद्धांत में, नियमबद्ध स्वतंत्रता उन स्थितियों का वर्णन करती है जिनमें परिकल्पना की निश्चितता का मूल्यांकन करते समय अवलोकन अप्रासंगिक या अनावश्यक होता है। नियमबद्ध स्वतंत्रता सामान्यतः नियमबद्ध संभाव्यता के संदर्भ में तैयार की जाती है, विशेष स्थिति के रूप में जहां बिना सूचना के अवलोकन के अनुसार दी गई परिकल्पना की संभावना बिना संभावना के समान होती है। यदि $A$ परिकल्पना है, और $B$ और $C$ अवलोकन हैं, नियमबद्ध स्वतंत्रता को समानता के रूप में कहा जा सकता है:

P(A\mid B,C)=P(A\mid C)

जहाँ $P(A\mid B,C)$ की सम्भावना $A$ है दोनों दिए गए $B$ और $C$ . की संभावना के बाद से $A$ दिया गया $C$ की संभावना के समान है $A$ दोनों दिए गए $B$ और $C$ , यह समानता उसे $B$ व्यक्त करती है $A$ की निश्चितता में कोई योगदान नहीं देता . इस स्थिति में, $A$ और $B$ नियमबद्ध रूप से $C$ स्वतंत्र कहा जाता है , प्रतीकात्मक रूप से इसे $(A\perp \!\!\!\perp B\mid C)$ प्रकार लिखा गया है: . कारण समानता संकेतन की भाषा में, दो कार्य $f(y)$ और $g(y)$ जो दोनों सामान्य वेरिएबल $y$ पर निर्भर हैं जो कि संकेतन $f\left(y\right)~{\overset {\curvearrowleft \curvearrowright }{=}}~g\left(y\right)$ का उपयोग करके नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र के रूप में वर्णित किया गया है , जो अंकन $P(f\mid g,y)=P(f\mid y)$ के समतुल्य है .

नियमबद्ध स्वतंत्रता की अवधारणा सांख्यिकीय अनुमान के ग्राफ-आधारित सिद्धांतों के लिए आवश्यक है, क्योंकि यह नियमबद्ध कथनों के संग्रह और ग्राफ़ॉइड के बीच गणितीय संबंध स्थापित करती है।

घटनाओं की नियमबद्ध स्वतंत्रता

माना $A$ , $B$ , और $C$ घटना (संभावना सिद्धांत) होटी है। $A$ और $B$ नियमबद्ध रूप से $C$ स्वतंत्र कहा जाता है यदि और केवल यदि $P(C)>0$ और:

P(A\mid B,C)=P(A\mid C)

यह संपत्ति अधिकांशतः लिखी जाती है: $(A\perp \!\!\!\perp B\mid C)$ , जिसे $((A\perp \!\!\!\perp B)\vert C)$ पढ़ा जाना चाहिए .

समान रूप से, नियमबद्ध स्वतंत्रता को इस प्रकार कहा जा सकता है:

P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C)

जहाँ $P(A,B|C)$ की संयुक्त संभावना है $A$ और $B$ दिया गया $C$ . यह वैकल्पिक सूत्रीकरण यह बताता है $A$ और $B$ स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) दी $C$ गई है .

यह यह दर्शाता है $(A\perp \!\!\!\perp B\mid C)$ और $(B\perp \!\!\!\perp A\mid C)$ के समान है .

समतुल्य परिभाषा का प्रमाण

P(A,B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)

iff

{\frac {P(A,B,C)}{P(C)}}=\left({\frac {P(A,C)}{P(C)}}\right)\left({\frac {P(B,C)}{P(C)}}\right)

(नियमबद्ध संभाव्यता की परिभाषा)

iff

P(A,B,C)={\frac {P(A,C)P(B,C)}{P(C)}}

(दोनों पक्षों को इससे

P(C)

गुणा करें )

iff

{\frac {P(A,B,C)}{P(B,C)}}={\frac {P(A,C)}{P(C)}}

(दोनों पक्षों

P(B,C)

को विभाजित करें )

iff

P(A\mid B,C)=P(A\mid C)

(नियमबद्ध संभाव्यता की परिभाषा)

\therefore

उदाहरण

रंगीन बक्से

प्रत्येक कोशिका संभावित परिणाम का प्रतिनिधित्व करती है। घटनाएं $\color {red}R$ , $\color {blue}B$ और $\color {gold}Y$ छायांकित क्षेत्रों द्वारा दर्शाया गया है इस प्रकार red, blue और yellow क्रमश घटनाओं के बीच ओवरलैप $\color {red}R$ और $\color {blue}B$ छायांकित purple है .

इन घटनाओं की संभावनाएँ कुल क्षेत्रफल के संबंध में छायांकित क्षेत्र हैं। दोनों उदाहरणों में $\color {red}R$ और $\color {blue}B$ नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र दिए गए हैं $\color {gold}Y$ क्योंकि:

\Pr({\color {red}R},{\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})=\Pr({\color {red}R}\mid {\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid {\color {gold}Y})

^[1]

किन्तु नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र नहीं दिया गया $\left[{\text{not }}{\color {gold}Y}\right]$ क्योंकि:

\Pr({\color {red}R},{\color {blue}B}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})\not =\Pr({\color {red}R}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})\Pr({\color {blue}B}\mid {\text{not }}{\color {gold}Y})

निकटता और देरी ^[2]

मान लीजिए कि घटना a और b को इस संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है कि व्यक्ति a और व्यक्ति b रात के खाने के लिए समय पर घर आएंगे, जहां दोनों लोगों को पूरी दुनिया से यादृच्छिक रूप से प्रतिरूप लिया गया है। घटनाओं a और b को स्वतंत्र माना जा सकता है अर्थात यह ज्ञान कि a देर से है, b के देर से आने की संभावना पर न्यूनतम या कोई परिवर्तन नहीं होता है। चूँकि, यदि कोई तीसरी घटना प्रस्तुत की जाती है, व्यक्ति a और व्यक्ति b ही निकट में रहते हैं, तो दोनों घटनाओं को अब नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र नहीं माना जाता है। ट्रैफ़िक की स्थितियाँ और मौसम संबंधी घटनाएँ जो व्यक्ति A को विलंबित कर सकती हैं, व्यक्ति B को भी विलंबित कर सकती हैं। तीसरी घटना और ज्ञान को देखते हुए कि व्यक्ति A देर से आया था, व्यक्ति B के देर से आने की संभावना सार्थक रूप से बदल जाती है।

पासा पलटना ^[2]

नियमबद्ध स्वतंत्रता तीसरी घटना की प्रकृति पर निर्भर करती है। यदि आप दो पासे घुमाते हैं, तो कोई यह मान सकता है कि दोनों पासे एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से व्यवहार करते हैं। पासे के परिणाम को देखने से आपको दूसरे पासे के परिणाम के बारे में पता नहीं चलेगा। (अर्थात्, दोनों पासे स्वतंत्र हैं।) चूँकि, यदि पहले पासे का परिणाम 3 है, और कोई आपको तीसरी घटना के बारे में बताता है - कि दोनों परिणामों का योग सम है - तो जानकारी की यह अतिरिक्त इकाई प्रतिबंधित कर देती है दूसरे परिणाम के लिए विषम संख्या के विकल्प है। दूसरे शब्दों में, दो घटनाएँ स्वतंत्र हो सकती हैं, किन्तु नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र नहीं है।

ऊंचाई और शब्दावली

ऊंचाई और शब्दावली निर्भर हैं क्योंकि बहुत छोटे लोग बच्चे होते हैं, जो अपनी अधिक मूलभूत शब्दावली के लिए जाने जाते हैं। किन्तु यह जानते हुए कि दो लोग 19 वर्ष के हैं (अर्थात, उम्र पर नियम) यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि व्यक्ति की शब्दावली बड़ी है यदि हमें बताया जाए कि वे लंबे हैं।

यादृच्छिक वेरिएबल की नियमबद्ध स्वतंत्रता

दो असतत यादृच्छिक वेरिएबल $X$ और $Y$ तीसरे असतत यादृच्छिक वेरिएबल को देखते हुए नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र हैं $Z$ यदि और केवल यदि वे दिए गए नियमबद्ध संभाव्यता वितरण में स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) $Z$ हैं . वह है, $X$ और $Y$ नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र दिए $Z$ गए हैं यदि और केवल यदि, $Z$ का कोई मान दिया गया हो , की संभाव्यता वितरण $X$ के सभी मूल्यों के लिए $Y$ समान है और की संभाव्यता वितरण $Y$ के सभी मूल्यों $X$ के लिए समान है . औपचारिक रूप से:

(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid Z\quad \iff \quad F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=F_{X\,\mid \,Z\,=\,z}(x)\cdot F_{Y\,\mid \,Z\,=\,z}(y)\quad {\text{for all }}x,y,z

(Eq.2)

जहाँ $F_{X,Y\,\mid \,Z\,=\,z}(x,y)=\Pr(X\leq x,Y\leq y\mid Z=z)$ का नियमबद्ध संचयी वितरण कार्य $X$ और $Y$ दिया गया $Z$ . है

दो घटनाएँ $R$ और $B$ सिग्मा-बीजगणित या σ-बीजगणित दिए जाने पर नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र हैं यदि

\Pr(R,B\mid \Sigma )=\Pr(R\mid \Sigma )\Pr(B\mid \Sigma ){\text{ a.s.}}

जहाँ $\Pr(A\mid \Sigma )$ घटना के संकेतक फलन की नियमबद्ध अपेक्षा को दर्शाता है इस प्रकार $A$ , $\chi _{A}$ , सिग्मा बीजगणित दिया गया $\Sigma$ . वह है,

\Pr(A\mid \Sigma ):=\operatorname {E} [\chi _{A}\mid \Sigma ].

दो यादृच्छिक वेरिएबल $X$ और $Y$ σ-बीजगणित दिए जाने पर नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र हैं $\Sigma$ यदि उपरोक्त समीकरण सभी $R$ में $\sigma (X)$ और $B$ में $\sigma (Y)$ पर प्रयुक्त होता है .

दो यादृच्छिक वेरिएबल $X$ और $Y$ यादृच्छिक वेरिएबल दिए जाने पर नियमबद्ध रूप $W$ से स्वतंत्र हैं यदि वे स्वतंत्र हैं तो σ(W): द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित $W$ . यह सामान्यतः लिखा जाता है:

X\perp \!\!\!\perp Y\mid W

या

X\perp Y\mid W

यह पढ़ा $X$ से स्वतंत्र है $Y$ , दिया गया $W$ ; कंडीशनिंग पूरे कथन पर प्रयुक्त होती है: ( $X$ से स्वतंत्र है $Y$ ) दिया गया $W$ है

(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W

यह अंकन विस्तारित होता है $X\perp \!\!\!\perp Y$ के लिए $X$ की स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) $Y$ है .

यदि $W$ मूल्यों का गणनीय समुच्चय मानता है, इस रूप की घटनाओं के लिए X और Y की नियमबद्ध स्वतंत्रता $[W=w]$ के समान है .

दो से अधिक घटनाओं, या दो से अधिक यादृच्छिक वेरिएबल की नियमबद्ध स्वतंत्रता को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है।

निम्नलिखित दो उदाहरण यह दर्शाते हैं $X\perp \!\!\!\perp Y$ न तो तात्पर्य है और $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$ न ही निहित है .

सबसे पहले, मान लीजिए $W$ संभावना 0.5 के साथ 0 है और अन्यथा 1 है। जब W = 0 लें $X$ और $Y$ स्वतंत्र होने के लिए, प्रत्येक का मान 0 है और संभावना 0.99 है और अन्यथा मान 1 है। जब $W=1$ , $X$ और $Y$ फिर से स्वतंत्र हैं, किन्तु इस बार वे प्रायिकता 0.99 के साथ मान 1 लेते हैं। तब $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$ . किन्तु $X$ और $Y$ निर्भर हैं, क्योंकि Pr(X = 0) < Pr(X = 0|Y = 0)। ऐसा इसलिए है क्योंकि Pr(X = 0) = 0.5, किन्तु यदि Y = 0 है तो इसकी बहुत संभावना है कि W = 0 और इस प्रकार X = 0 भी है, इसलिए Pr(X = 0|Y = 0) > 0.5 है।

दूसरे उदाहरण के लिए, मान लीजिए $X\perp \!\!\!\perp Y$ , प्रत्येक प्रायिकता 0.5 के साथ मान 0 और 1 ले रहा है। होने देना $W$ उत्पाद हो $X\cdot Y$ . फिर कब $W=0$ , पर(क्ष = 0) = 2/3, बूत पर(क्ष = 0|Y = 0) = 1/2, सो $(X\perp \!\!\!\perp Y)\mid W$ गलत है। यह भी समझाने का उदाहरण है। केविन मर्फी का ट्यूटोरियल देखें ^[3] जहाँ $X$ और $Y$ दिमागदार और स्पोर्टी मूल्यों को प्राप्त किये जाते है।

यादृच्छिक सदिशों की नियमबद्ध स्वतंत्रता

दो यादृच्छिक सदिश $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{l})^{\mathrm {T} }$ और $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{m})^{\mathrm {T} }$ तीसरे यादृच्छिक सदिश को देखते हुए नियमबद्ध रूप से $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि वे दिए गए नियमबद्ध संचयी वितरण में स्वतंत्र $\mathbf {Z}$ हैं . औपचारिक रूप से:

(\mathbf {X} \perp \!\!\!\perp \mathbf {Y} )\mid \mathbf {Z} \quad \iff \quad F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} |\mathbf {Z} =\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )\cdot F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )\quad {\text{for all }}\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z}

(Eq.3)

जहाँ $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{l})^{\mathrm {T} }$ , $\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{m})^{\mathrm {T} }$ और $\mathbf {z} =(z_{1},\ldots ,z_{n})^{\mathrm {T} }$ और नियमबद्ध संचयी वितरण निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं।

{\begin{aligned}F_{\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l},Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {X} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {x} )&=\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{l}\leq x_{l}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\\[6pt]F_{\mathbf {Y} \,\mid \,\mathbf {Z} \,=\,\mathbf {z} }(\mathbf {y} )&=\Pr(Y_{1}\leq y_{1},\ldots ,Y_{m}\leq y_{m}\mid Z_{1}=z_{1},\ldots ,Z_{n}=z_{n})\end{aligned}}

बायेसियन अनुमान में उपयोग

मान लीजिए p उन मतदाताओं का अनुपात है जो आगामी जनमत संग्रह में हाँ में मतदान करेंगे। जनमत सर्वेक्षण में, कोई जनसंख्या में से यादृच्छिक रूप से n मतदाताओं को चुनता है। i = 1, ..., n के लिए, मान लीजिए X_i= 1 या 0, क्रमशः, इस बात से मेल खाता है कि चुना गया पहला मतदाता हाँ में मतदान करेगा या नहीं है।

सांख्यिकीय अनुमान के लिए आवृत्ति संभाव्यता दृष्टिकोण में कोई व्यक्ति p को किसी भी संभाव्यता वितरण का श्रेय नहीं देगा (जब तक कि संभावनाओं को किसी घटना की घटना की सापेक्ष आवृत्तियों या कुछ जनसंख्या के अनुपात के रूप में व्याख्या नहीं की जा सकती) और कोई कहेगा कि x₁, ..., x_n सांख्यिकीय स्वतंत्र यादृच्छिक वेरिएबल हैं।

इसके विपरीत, सांख्यिकीय अनुमान के लिए बायेसियन अनुमान दृष्टिकोण में, कोई ऐसी आवृत्ति व्याख्या की गैर-उपस्तिथि की परवाह किए बिना p को संभाव्यता वितरण निर्दिष्ट करेगा, और कोई संभावनाओं को विश्वास की डिग्री के रूप में मान लेगा कि p किसी भी अंतराल में है संभावना निर्दिष्ट की गई है. कि उस मॉडल में, यादृच्छिक वेरिएबल X₁, ..., x_n स्वतंत्र नहीं हैं, किन्तु p का मान दिए जाने पर वे 'नियमबद्ध रूप से स्वतंत्र' हैं। विशेष रूप से, यदि बड़ी संख्या में Xs को 1 के समान देखा जाता है, तो यह उच्च नियमबद्ध संभावना का संकेत देगा, तथा उस अवलोकन को देखते हुए, कि p 1 के निकट है, और इस प्रकार उच्च नियमबद्ध संभावना, उस अवलोकन को देखते हुए, कि अगला देखा जाने वाला X 1 के समान होता है।

नियमबद्ध स्वतंत्रता के नियम

नियमबद्ध स्वतंत्रता के कथनों को नियंत्रित करने वाले नियमों का समुच्चय मूल परिभाषा से लिया गया है।^[4]^[5] इन नियमों को ग्राफ़ॉइड x ओम्स कहा गया पर्ल और पाज़ द्वारा,^[6] क्योंकि वे ग्राफ़ में रखते हैं, जहाँ $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$ इसका अर्थ यह निकाला गया है: X से A तक के सभी पथ समुच्चय B द्वारा अवरोधित हैं।^[7]

समरूपता

X\perp \!\!\!\perp Y\quad \Rightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X

अपघटन

X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\\X\perp \!\!\!\perp B\end{cases}}

प्रमाण

$p_{X,A,B}(x,a,b)=p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)$ (का अर्थ $X\perp \!\!\!\perp A,B$ )
$\int _{B}p_{X,A,B}(x,a,b)\,db=\int _{B}p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)\,db$ (वेरिएबल b को एकीकृत करके इसे अनदेखा करें)
$p_{X,A}(x,a)=p_{X}(x)p_{A}(a)$

एक समान प्रमाण x और b की स्वतंत्रता को दर्शाता है।

अशक्त संघ

X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\mid A\end{cases}}

प्रमाण

अनुमान से, $\Pr(X)=\Pr(X\mid A,B)$ .
विघटन के गुण के कारण $X\perp \!\!\!\perp B$ , $\Pr(X)=\Pr(X\mid B)$ .
उपरोक्त दोनों समानताओं को मिलाने $\Pr(X\mid B)=\Pr(X\mid A,B)$ पर प्राप्त होता है, जो $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$ स्थापित करता है .

दूसरी स्थिति भी इसी प्रकार सिद्ध की जा सकती है।

संकुचन

\left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\end{aligned}}\right\}{\text{ and }}\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp A,B

प्रमाण

इस गुण को $\Pr(X\mid A,B)=\Pr(X\mid B)=\Pr(X)$ ध्यान देने से सिद्ध किया जा सकता है , जिसकी प्रत्येक समानता $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$ द्वारा बताई गई है और क्रमश $X\perp \!\!\!\perp B$ , बल दिया गया है।

इंटरसेक्शन

कड़ाई से धनात्मतक संभाव्यता वितरण के लिए,^[5] निम्नलिखित भी मान्य है:

\left.{\begin{aligned}X\perp \!\!\!\perp Y\mid Z,W\\X\perp \!\!\!\perp W\mid Z,Y\end{aligned}}\right\}{\text{ and }}\quad \Rightarrow \quad X\perp \!\!\!\perp W,Y\mid Z

प्रमाण

अनुमान से:

P(X|Z,W,Y)=P(X|Z,W)\land P(X|Z,W,Y)=P(X|Z,Y)\implies P(X|Z,Y)=P(X|Z,W)

इस समानता का उपयोग करते हुए, कुल संभाव्यता के नियम के साथ मिलकर $P(X|Z)$ प्रयुक्त किया जाता है :

{\begin{aligned}P(X|Z)&=\sum _{w\in W}P(X|Z,W=w)P(W=w|Z)\\[4pt]&=\sum _{w\in W}P(X|Y,Z)P(W=w|Z)\\[4pt]&=P(X|Z,Y)\sum _{w\in W}P(W=w|Z)\\[4pt]&=P(X|Z,Y)\end{aligned}}

तकनीकी नोट: चूंकि ये निहितार्थ किसी भी संभाव्यता स्थान के लिए मान्य हैं, इसलिए यदि कोई किसी अन्य वेरिएबल पर सब कुछ कंडीशनिंग करके उप-ब्रह्मांड पर विचार करता है, तो वे अभी भी मान्य होंगे, उदाहरण के लिए, $X\perp \!\!\!\perp Y\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X$ इसका कारण यह भी होता $X\perp \!\!\!\perp Y\mid K\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X\mid K$ . है

यह भी देखें

ग्राफ़ॉइड
नियमबद्ध निर्भरता
डी फिनेटी का प्रमेय
नियमबद्ध अपेक्षा

संदर्भ

↑ To see that this is the case, one needs to realise that Pr(R ∩ B | Y) is the probability of an overlap of R and B (the purple shaded area) in the Y area. Since, in the picture on the left, there are two squares where R and B overlap within the Y area, and the Y area has twelve squares, Pr(R ∩ B | Y) = 2/12 = 1/6. Similarly, Pr(R | Y) = 4/12 = 1/3 and Pr(B | Y) = 6/12 = 1/2.
↑ ^2.0 ^2.1 Could someone explain conditional independence?
↑ "Graphical Models".
↑ Dawid, A. P. (1979). "Conditional Independence in Statistical Theory". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 41 (1): 1–31. JSTOR 2984718. MR 0535541.
↑ ^5.0 ^5.1 J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press
↑ Pearl, Judea; Paz, Azaria (1985). "Graphoids: A Graph-Based Logic for Reasoning About Relevance Relations". {{cite web}}: Missing or empty |url= (help)
↑ Pearl, Judea (1988). Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference. Morgan Kaufmann. ISBN 9780934613736.

बाहरी संबंध

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[1] To see that this is the case, one needs to realise that Pr(R ∩ B | Y) is the probability of an overlap of R and B (the purple shaded area) in the Y area. Since, in the picture on the left, there are two squares where R and B overlap within the Y area, and the Y area has twelve squares, Pr(R ∩ B | Y) = 2/12 = 1/6. Similarly, Pr(R | Y) = 4/12 = 1/3 and Pr(B | Y) = 6/12 = 1/2.

[:0-2] 2.0 ^2.1 Could someone explain conditional independence?

[3] "Graphical Models".

[4] Dawid, A. P. (1979). "Conditional Independence in Statistical Theory". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 41 (1): 1–31. JSTOR 2984718. MR 0535541.

[pearl:2000-5] 5.0 ^5.1 J Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, 2000, Cambridge University Press

[pearl:paz85-6] Pearl, Judea; Paz, Azaria (1985). "Graphoids: A Graph-Based Logic for Reasoning About Relevance Relations". {{cite web}}: Missing or empty |url= (help)

[pearl:88-7] Pearl, Judea (1988). Probabilistic reasoning in intelligent systems: networks of plausible inference. Morgan Kaufmann. ISBN 9780934613736.

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सशर्त स्वतंत्रता

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