सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)

For other uses, see Correlation function (disambiguation).

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, सहसंबंध कार्यों को अक्सर सहसंबंधक या ग्रीन के फ़ंक्शन (कई-निकाय सिद्धांत) के रूप में जाना जाता है | ग्रीन के फ़ंक्शन, फ़ील्ड ऑपरेटरों के समय-ऑर्डर किए गए उत्पादों के वैक्यूम अपेक्षा मूल्य हैं। वे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में अध्ययन का एक प्रमुख उद्देश्य हैं जहां उनका उपयोग एस मैट्रिक्स तत्वों जैसे विभिन्न अवलोकन योग्य गणना करने के लिए किया जा सकता है। वे यादृच्छिक चर के बीच सहसंबंध कार्यों से निकटता से संबंधित हैं, हालांकि वे फिर भी अलग-अलग वस्तुएं हैं, जिन्हें मिन्कोवस्की स्थान और क्वांटम ऑपरेटरों पर परिभाषित किया गया है।

परिभाषा

एकल क्षेत्र वाले अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए $\phi (x)$ और एक क्वांटम निर्वात अवस्था $|\Omega \rangle$ स्पेसटाइम में प्रत्येक घटना (x) पर, एन-पॉइंट सहसंबंध फ़ंक्शन समय-ऑर्डर किए गए उत्पादों का वैक्यूम अपेक्षा मूल्य है $n$ हाइजेनबर्ग चित्र में फ़ील्ड ऑपरेटर

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .$$

यहाँ $T\{\cdots \}$ समय-आदेश देने वाला ऑपरेटर है जिसके लिए फ़ील्ड ऑपरेटरों को आदेश दिया जाता है ताकि पहले के समय फ़ील्ड ऑपरेटर बाद के समय फ़ील्ड ऑपरेटरों के दाईं ओर दिखाई दें। फ़ील्ड्स और राज्यों को इंटरेक्शन चित्र में परिवर्तित करके, इसे इस रूप में फिर से लिखा जाता है

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle }{\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }},$$

कहाँ $|0\rangle$ मुक्त सिद्धांत की जमीनी स्थिति है और $S[\phi ]$ क्रिया (भौतिकी) है। विस्तार $e^{iS[\phi ]}$ अपनी टेलर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, एन-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन इंटरेक्शन चित्र सहसंबंध कार्यों का योग बन जाता है जिसका मूल्यांकन विक के प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है। परिणामी योग को दर्शाने का एक आरेखीय तरीका फेनमैन आरेख के माध्यम से है, जहां प्रत्येक पद का मूल्यांकन स्थिति स्थान फेनमैन नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है।

A connected Feynman diagram which contributes to the connected six-point correlation function.

A disconnected Feynman diagram which does not contribute to the connected six-point correlation function.

से उत्पन्न होने वाले आरेखों की श्रृंखला $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ सभी फेनमैन आरेख#वैक्यूम बबल आरेखों का सेट है, जो बिना किसी बाहरी पैर वाले आरेख हैं। इस दौरान, $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ सटीक रूप से सभी संभावित आरेखों के सेट द्वारा दिया गया है $n$ बाहरी पैर. चूंकि इसमें वैक्यूम बुलबुले के साथ डिस्कनेक्ट किए गए आरेख भी शामिल हैं, इसलिए योग का गुणनखंड होता है (सभी बुलबुले आरेखों का योग)$\times$(बिना बुलबुले वाले सभी आरेखों का योग)। पहला पद तब हर में सामान्यीकरण कारक के साथ रद्द हो जाता है जिसका अर्थ है कि एन-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन वैक्यूम बुलबुले को छोड़कर सभी फेनमैन आरेखों का योग है

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.$$

हालांकि किसी भी वैक्यूम बुलबुले को शामिल नहीं करते हुए, योग में डिस्कनेक्ट किए गए आरेख शामिल होते हैं, जो ऐसे आरेख होते हैं जहां कम से कम एक बाहरी पैर किसी जुड़े हुए पथ के माध्यम से अन्य सभी बाहरी पैरों से जुड़ा नहीं होता है। इन डिस्कनेक्ट किए गए आरेखों को छोड़कर इसके बजाय कनेक्टेड एन-पॉइंट सहसंबंध फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है

$$G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}$$

इनके साथ सीधे काम करना अक्सर बेहतर होता है क्योंकि इनमें वह सारी जानकारी होती है जो पूर्ण सहसंबंध कार्यों में होती है क्योंकि कोई भी डिस्कनेक्ट किया गया आरेख केवल कनेक्टेड आरेखों का एक उत्पाद होता है। आरेखों के अन्य सेटों को छोड़कर कोई अन्य सहसंबंध कार्यों को परिभाषित कर सकता है जैसे कि प्रभावी क्रिया#कार्यात्मक उत्पन्न करना|एक-कण अपरिवर्तनीय सहसंबंध कार्य।

पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, एन-बिंदु सहसंबंध कार्यों को कार्यात्मक औसत के रूप में लिखा जाता है

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.$$

विभाजन फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) का उपयोग करके उनका मूल्यांकन किया जा सकता है $Z[J]$ जो एक जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में कार्य करता है $J$ सहसंबंध कार्यों के लिए एक स्रोत-शब्द होना

$$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.$$

इसी प्रकार, कनेक्टेड सहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके उत्पन्न किया जा सकता है $W[J]=-i\ln Z[J]$ जैसा

$$G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.$$

एस-मैट्रिक्स से संबंध

एलएसजेड कटौती सूत्र के माध्यम से एस-मैट्रिक्स से संबंधित करके सहसंबंध कार्यों का उपयोग करके बिखरने वाले आयामों की गणना की जा सकती है

$$\langle f|S|i\rangle =\left[i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}\left(\partial _{x_{1}}^{2}+m^{2}\right)\right]\cdots \left[i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}\left(\partial _{x_{n}}^{2}+m^{2}\right)\right]\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle .$$

यहां कण प्रारंभिक अवस्था में हैं $|i\rangle$ लीजिये $-i$ घातांक में हस्ताक्षर करें, जबकि कण अंतिम अवस्था में हैं $|f\rangle$ लीजिये $+i$. फेनमैन आरेख में सहसंबंध फ़ंक्शन के विस्तार के सभी शब्दों में प्रत्येक बाहरी पैर के लिए एक प्रचारक होगा, यानी एक छोर पर एक प्रचारक होगा $x_{i}$ और दूसरा किसी आंतरिक शीर्ष पर $x$. इस सूत्र का महत्व क्लेन-गॉर्डन समीकरण के अनुप्रयोग के बाद स्पष्ट हो जाता है|क्लेन-गॉर्डन ऑपरेटरों का उपयोग करके इन बाहरी पैरों पर

$$\left(\partial _{x_{i}}^{2}+m^{2}\right)\Delta _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).$$

ऐसा कहा जाता है कि बाहरी पैर प्रचारकों को हटाकर और बाहरी अवस्थाओं को शेल पर और ऑफ शेल|ऑन-शेल पर रखकर आरेखों को विच्छेदित किया जाता है। सहसंबंध फ़ंक्शन से अन्य सभी ऑफ-शेल योगदान गायब हो जाते हैं। परिणामी डेल्टा फ़ंक्शंस को एकीकृत करने के बाद, एलएसजेड कटौती फॉर्मूला जो बचेगा वह केवल एक फूरियर रूपांतरण ऑपरेशन है जहां एकीकरण आंतरिक बिंदु स्थिति पर है $x$ जिससे बाहरी पैर प्रचारक जुड़े हुए थे। इस रूप में कमी सूत्र से पता चलता है कि एस-मैट्रिक्स ऑन-शेल बाहरी राज्यों के साथ विच्छिन्न सहसंबंध कार्यों का फूरियर रूपांतरण है।

संवेग स्थान सहसंबंध फ़ंक्शन से सीधे निपटना आम बात है ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$, सहसंबंध फ़ंक्शन के फूरियर परिवर्तन के माध्यम से परिभाषित किया गया है

$$(2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}\left(\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}\right)G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),$$

जहां परंपरा के अनुसार संवेग को आरेख में अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है। प्रकीर्णन आयामों की गणना करते समय गणना करने के लिए एक उपयोगी मात्रा मैट्रिक्स तत्व है ${\mathcal {M}}$ जिसे एस-मैट्रिक्स के माध्यम से परिभाषित किया गया है

$$\langle f|S-1|i\rangle =i(2\pi )^{4}\delta ^{4}{{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\bigg )}}{\mathcal {M}}$$

कहाँ $p_{i}$ बाह्य क्षण हैं. एलएसजेड कटौती सूत्र से यह निम्नानुसार है कि मैट्रिक्स तत्व उचित रूप से उन्मुख बाहरी गति के साथ विच्छिन्न जुड़े गति अंतरिक्ष सहसंबंध फ़ंक्शन के बराबर है

$$i{\mathcal {M}}={\tilde {G}}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n})_{\text{amputated}}.$$

गैर-स्केलर सिद्धांतों के लिए कटौती सूत्र बाहरी स्थिति की शर्तों को भी प्रस्तुत करता है जैसे कि फोटॉन के लिए ध्रुवीकरण वैक्टर या फर्मियन के लिए स्पिनर राज्य। जुड़े सहसंबंध कार्यों का उपयोग करने की आवश्यकता क्लस्टर अपघटन से उत्पन्न होती है क्योंकि बड़े पृथक्करणों पर होने वाली बिखरने वाली प्रक्रियाएं एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप नहीं करती हैं इसलिए उन्हें अलग से व्यवहार किया जा सकता है।

यह भी देखें

• प्रभावी कार्यवाही
• ग्रीन का कार्य (अनेक-निकाय सिद्धांत)
• विभाजन फलन (गणित)
• स्रोत फ़ील्ड

अग्रिम पठन

• Altland, A.; Simons, B. (2006). Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press.
• Peskin, M.; Schroeder, D.V. (2018) An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley.