साइक्लोटोमिक बहुपद

गणित में, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए nth साइक्लोटोमिक बहुपद, पूर्णांक गुणांक के साथ अद्वितीय ireducible बहुपद है जो एक विभाजक है $x^{n}-1$ और का भाजक नहीं है $x^{k}-1$ किसी के लिए k < n. एक फ़ंक्शन की इसकी जड़ एकता की सभी nth आदिम जड़ हैं

$e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}$, जहां k सकारात्मक पूर्णांक पर चलता है, N और Coprime पूर्णांक से अधिक N (और मैं काल्पनिक इकाई है) से अधिक नहीं है।दूसरे शब्दों में, 'nth साइक्लोटोमिक बहुपद' के बराबर है

$\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right).$

इसे पूर्णांक गुणांक के साथ मोनिक बहुपद के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो कि एकता के किसी भी जड़ के तर्कसंगत संख्या के क्षेत्र (गणित) पर न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) है।$e^{2i\pi /n}$ ऐसी जड़ का एक उदाहरण है)।

साइक्लोटोमिक बहुपद और एकता की आदिम जड़ों को जोड़ने वाला एक महत्वपूर्ण संबंध है

$\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,$

ऐसा दिखाते हुए x की जड़ है $x^{n}-1$ यदि और केवल अगर यह एक डी है कुछ डी के लिए एकता की वें आदिम जड़ जो एन को विभाजित करती है।

उदाहरण

यदि n एक प्रमुख संख्या है, तो

$\Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.$

यदि n = 2p जहां p एक विषम प्राइम नंबर है, तो

$\Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.$

30 तक n के लिए, साइक्लोटोमिक बहुपद हैं:

${\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}$

105 वें साइक्लोटोमिक बहुपद का मामला दिलचस्प है क्योंकि 105 सबसे कम सकारात्मक पूर्णांक है जो तीन अलग -अलग विषम प्राइम नंबरों (3*5*7) का उत्पाद है और यह बहुपद पहला है जिसमें 1, 0 के अलावा एक गुणांक है,या −1:

${\begin{aligned}\Phi _{105}(x)&=x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\\&\qquad \quad -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}$

गुण

मौलिक उपकरण

साइक्लोटोमिक बहुपद, पूर्णांक गुणांक के साथ मोनिक बहुपद हैं जो तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र में अतार्किक बहुपद हैं।1 या 2 के बराबर एन को छोड़कर, वे पारस्परिक बहुपद#पैलिंड्रोमिक बहुपद हैं।

की उपाधि $\Phi _{n}$, या दूसरे शब्दों में, एकता की nth आदिम जड़ों की संख्या है, $\varphi (n)$, कहाँ पे $\varphi$ यूलर का टोटिंट फंक्शन है।

यह तथ्य कि $\Phi _{n}$ डिग्री का एक irreducible बहुपद है $\varphi (n)$ रिंग में (गणित) $\mathbb {Z} [x]$ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के कारण एक nontrivial परिणाम है। चुनी गई परिभाषा के आधार पर, यह या तो डिग्री का मूल्य है या irreducibility जो एक nontrivial परिणाम है।प्राइम एन का मामला सामान्य मामले की तुलना में साबित करना आसान है, ईसेनस्टीन की कसौटी के लिए धन्यवाद#साइक्लोटोमिक बहुपद | ईसेनस्टीन की कसौटी।

साइक्लोटोमिक बहुपद शामिल एक मौलिक संबंध है

${\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x).\end{aligned}}$

जिसका अर्थ है कि एकता की प्रत्येक n-th जड़ एक अद्वितीय d विभाजित n के लिए एकता का एक आदिम d-th जड़ है।

Möbius उलटा फॉर्मूला#गुणक संकेतन | Möbius उलटा फॉर्मूला की अभिव्यक्ति की अनुमति देता है $\Phi _{n}(x)$ एक स्पष्ट तर्कसंगत अंश के रूप में:

$\Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},$

कहाँ पे $\mu$ Möbius फ़ंक्शन है।

साइक्लोटोमिक बहुपद $\Phi _{n}(x)$ (बिल्कुल) विभाजित द्वारा गणना की जा सकती है $x^{n}-1$ एन के उचित विभाजकों के साइक्लोटोमिक बहुपद द्वारा पहले से ही एक ही विधि द्वारा पुनरावर्ती गणना:

$\Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}$

(याद करें कि $\Phi _{1}(x)=x-1$।)

यह सूत्र कंप्यूटिंग के लिए एक एल्गोरिथ्म को परिभाषित करता है $\Phi _{n}(x)$ किसी भी n के लिए, बशर्ते कि पूर्णांक कारक और Euclidean डिवीजन ऑफ पोलिनोमिअल्स उपलब्ध हैं।कई कंप्यूटर बीजगणित सिस्टम, जैसे कि सागमथ , मेपल (सॉफ्टवेयर) , मेथेमेटिका और PARI/GP, साइक्लोटोमिक पोलिनोमियल की गणना करने के लिए एक अंतर्निहित फ़ंक्शन है।

कम्प्यूटेशन के लिए आसान मामले

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अगर n एक प्रमुख संख्या है, फिर

$\Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}.$

यदि n एक से अधिक एक विषम पूर्णांक है, तो

$\Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x).$

विशेष रूप से, अगर n = 2p दो बार एक विषम प्राइम है, फिर (जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है)

$\Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.$

यदि n = p^m एक प्रमुख शक्ति है (जहां पी प्राइम है), फिर

$\Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{kp^{m-1}}.$

अधिक आम तौर पर, अगर n = p^mr साथ r अपेक्षाकृत प्रमुख p, फिर

$\Phi _{n}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}}).$

किसी भी साइक्लोटोमिक बहुपद के लिए एक सरल अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए इन सूत्रों को बार -बार लागू किया जा सकता है $\Phi _{n}(x)$ वर्ग-मुक्त संख्या सूचकांक के एक साइक्लोटोमिक बहुपद की अवधि में: यदि q प्राइम डिवर्स का उत्पाद है n (एक पूर्णांक का कट्टर पंथी), फिर

$\Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q}).$

यह के लिए सूत्र देने की अनुमति देता है nवें साइक्लोटोमिक बहुपद जब n सबसे अधिक एक अजीब प्राइम फैक्टर है: अगर p एक विषम प्राइम नंबर है, और h तथा k सकारात्मक पूर्णांक हैं, तो:

$\Phi _{2^{h}}(x)=x^{2^{h-1}}+1$

$\Phi _{p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{k-1}}$

$\Phi _{2^{h}p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{h-1}p^{k-1}}$

के अन्य मूल्यों के लिए nकी गणना nTh साइक्लोटोमिक बहुपद समान रूप से कम हो जाता है $\Phi _{q}(x),$ कहाँ पे q के अलग -अलग विषम प्रधान दिव्यांगों का उत्पाद है n।इस मामले से निपटने के लिए, एक के लिए, के लिए p प्राइम और विभाजित नहीं n,

$\Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x).$

पूर्णांक गुणांक के रूप में दिखाई दे रहे हैं

साइक्लोटोमिक बहुपद के गुणांक के परिमाण को बाधित करने की समस्या कई शोध पत्रों की वस्तु रही है।

यदि n में अधिकांश दो अलग -अलग विषम प्रमुख कारक हैं, तो मिगोटी ने दिखाया कि गुणांक के गुणांक $\Phi _{n}$ सभी सेट {1, −1, 0} में हैं। तीन अलग -अलग विषम प्रमुख कारकों के उत्पाद के लिए पहला साइक्लोटोमिक बहुपद है $\Phi _{105}(x);$ इसमें एक गुणांक −2 है (इसकी अभिव्यक्ति #examples देखें)।इसका उलट सत्य नहीं है: $\Phi _{231}(x)=\Phi _{3\times 7\times 11}(x)$ केवल {1, −1, 0} में गुणांक हैं।

यदि n अधिक अलग -अलग विषम प्रमुख कारकों का एक उत्पाद है, तो गुणांक बहुत उच्च मूल्यों तक बढ़ सकते हैं।उदा। $\Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13}(x)$ गुणांक −22 से 23 तक चल रहा है, $\Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)$, 6 अलग -अलग विषम प्राइम्स के साथ सबसे छोटा एन, 532 तक परिमाण के गुणांक हैं।

A (n) φ के गुणांक के अधिकतम निरपेक्ष मान को दर्शाते हैं_n।यह ज्ञात है कि किसी भी सकारात्मक k के लिए, n (n)> n के साथ X तक n की संख्या^k K और X के आधार पर एक सकारात्मक C (k) के लिए कम से कम C (k) ⋅x है।विपरीत दिशा में, किसी भी फ़ंक्शन के लिए ψ (n) n के साथ अनंतता के लिए प्रवृत्त हमारे पास n (n) n द्वारा ऊपर बंधे हुए हैं^{ψ (n)} लगभग सभी n के लिए।

गॉस का सूत्र

चलो n विषम, वर्ग-मुक्त, और 3 से अधिक हो: फिर:

$4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)$

जहां दोनों ए_n(जेड) और बी_n(z) पूर्णांक गुणांक है, ए_n(z) में डिग्री & phi; (n)/2, और b है_n(z) में डिग्री & phi है; (n)/2 - 2. इसके अलावा, ए_n(z) जब इसकी डिग्री भी है तो पालिंड्रोमिक है;यदि इसकी डिग्री विषम है तो यह एंटीपालिंड्रोमिक है।इसी तरह, बी_n(z) जब तक n समग्र और (3 (mod 4) नहीं है, तब तक पालिंड्रोमिक है, जिस स्थिति में यह एंटीपैलिंड्रोमिक है।

पहले कुछ मामले हैं

${\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}$

लुकास का सूत्र

चलो n विषम, वर्ग-मुक्त और 3 से अधिक हो

$\Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2}(z)$

जहां दोनों यू_n(z) और वी_n(z) पूर्णांक गुणांक है, यू_n(z) में डिग्री & phi; (n)/2, और v है_n(z) में डिग्री & phi; (n)/2 - 1. यह भी लिखा जा सकता है

$\Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z).$

यदि n सम हो, वर्ग-मुक्त और 2 से अधिक है (यह बल n/2 विषम होने के लिए),

$\Phi _{\frac {n}{2}}\left(-z^{2}\right)=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n}^{2}(z)$

जहां दोनों सी_n(z) और डी_n(z) पूर्णांक गुणांक है, सी_n(z) में डिग्री & phi; (n), और d है_n(z) में डिग्री & phi; (n) - 1. c है_n(z) और डी_n(z) दोनों पालिंड्रोमिक हैं।

पहले कुछ मामले हैं:

${\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^{2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12}(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end{aligned}}$

एक परिमित क्षेत्र पर और ऊपर साइक्लोटोमिक बहुपद p-एक पूर्णांक

See also: Finite field § Roots of unity

एक प्रमुख संख्या के साथ एक परिमित क्षेत्र पर p तत्वों के लिए, किसी भी पूर्णांक के लिए n यह कई नहीं है p, साइक्लोटोमिक बहुपद $\Phi _{n}$ में कारक ${\frac {\varphi (n)}{d}}$ डिग्री के ireducible बहुपद d, कहाँ पे $\varphi (n)$ यूलर का टोटिंट फंक्शन है और d का गुणन क्रम है p सापेक्ष n।विशेष रूप से, $\Phi _{n}$ अगर और केवल अगर और केवल अगर p एक आदिम रूट मोडुलो n | आदिम रूट मोडुलो n, वह है, p विभाजित नहीं करता है n, और इसके गुणक क्रम modulo n है $\varphi (n)$, की उपाधि $\Phi _{n}$. ये परिणाम पी-एडिक पूर्णांक पर भी सही हैं |p-एडिक इंटेगर, चूंकि हेन्सेल के लेम्मा के साथ क्षेत्र में एक कारक को उठाने की अनुमति देता है p पर एक कारक के लिए तत्व p-एक पूर्णांक।

बहुपद मान

यदि x कोई वास्तविक मूल्य लेता है, फिर $\Phi _{n}(x)>0$ हरएक के लिए n ≥ 3 (यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि एक साइक्लोटोमिक बहुपद की जड़ें सभी गैर-वास्तविक हैं, के लिए n ≥ 3)।

उन मूल्यों का अध्ययन करने के लिए जो एक साइक्लोटोमिक बहुपद कब ले सकते हैं x एक पूर्णांक मान दिया जाता है, यह केवल मामले पर विचार करने के लिए पर्याप्त है n ≥ 3मामलों के रूप में n = 1 तथा n = 2 तुच्छ हैं (एक है $\Phi _{1}(x)=x-1$ तथा $\Phi _{2}(x)=x+1$)।

के लिये n ≥ 2, किसी के पास

$\Phi _{n}(0)=1,$

$\Phi _{n}(1)=1$ यदि n एक प्रमुख शक्ति नहीं है,

$\Phi _{n}(1)=p$ यदि $n=p^{k}$ के साथ एक प्रमुख शक्ति है k ≥ 1।

मूल्य जो एक साइक्लोटोमिक बहुपद $\Phi _{n}(x)$ के अन्य पूर्णांक मूल्यों के लिए ले जा सकते हैं x गुणात्मक आदेश modulo एक प्रमुख संख्या के साथ दृढ़ता से संबंधित है।

अधिक सटीक रूप से, एक प्रमुख संख्या दी गई p और एक पूर्णांक b के साथ p, गुणात्मक क्रम b सापेक्ष p, सबसे छोटा सकारात्मक पूर्णांक है n ऐसा है कि p का भाजक है $b^{n}-1.$ के लिये b > 1, गुणात्मक क्रम b सापेक्ष p के प्रतिनिधित्व का आवधिक कार्य भी है 1/p अंक के आधार में b (अद्वितीय प्राइम देखें; यह संकेतन विकल्प बताता है)।

गुणक आदेश की परिभाषा का अर्थ है कि, अगर n का गुणन क्रम है b सापेक्ष p, फिर p का भाजक है $\Phi _{n}(b).$ यह सच नहीं है, लेकिन एक के पास निम्नलिखित है।

यदि n > 0 एक सकारात्मक पूर्णांक है और b > 1 एक पूर्णांक है, फिर (एक प्रमाण के लिए नीचे देखें)

$\Phi _{n}(b)=2^{k}gh,$

कहाँ पे

• k एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, हमेशा 0 के बराबर है b सम है।(वास्तव में, अगर n न तो 1 है और न ही 2, फिर k या तो 0 या 1 है, इसके अलावा, अगर n 2 की शक्ति नहीं है, फिर k हमेशा 0 के बराबर है)
• g 1 या सबसे बड़ा विषम प्रधान कारक है n।
• h अजीब है, के साथ कॉपीरीट n, और इसके प्रमुख कारक बिल्कुल विषम प्राइम हैं p ऐसा है कि n का गुणन क्रम है b सापेक्ष p।

इसका मतलब है कि, अगर p का एक अजीब प्रधान भुजाकार है $\Phi _{n}(b),$ तो कोई n का भाजक है p − 1 या p का भाजक है n।बाद के मामले में, $p^{2}$ विभाजित नहीं करता है $\Phi _{n}(b).$ Zsigmondy के प्रमेय का तात्पर्य है कि केवल ऐसे मामले जहां b > 1 तथा h = 1 हैं

${\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k>0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}$ यह उपरोक्त कारक से इस प्रकार है कि विषम प्रमुख कारक

${\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}$

बिल्कुल विषम प्राइम हैं p ऐसा है कि n का गुणन क्रम है b सापेक्ष p।यह अंश केवल तब भी हो सकता है जब b अजीब है।इस मामले में, गुणात्मक आदेश b सापेक्ष 2 हमेशा से रहा है 1।

कई जोड़े हैं (n, b) साथ b > 1 ऐसा है कि $\Phi _{n}(b)$ प्राइम है।वास्तव में, बन्याकोवस्की अनुमान का अर्थ है कि, हर के लिए n, असीम रूप से कई हैं b > 1 ऐसा है कि $\Phi _{n}(b)$ प्राइम है।देखना OEIS: A085398 सबसे छोटे की सूची के लिए b > 1 ऐसा है कि $\Phi _{n}(b)$ प्राइम है (सबसे छोटा b > 1 ऐसा है कि $\Phi _{n}(b)$ प्राइम के बारे में है $\lambda \cdot \varphi (n)$, कहाँ पे $\lambda$ क्या यूलर -मेसचेरोनी स्थिर है, और $\varphi$ यूलर का टोटिंट फंक्शन है)।यह सभी देखें OEIS: A206864 फॉर्म के सबसे छोटे प्राइम्स की सूची के लिए $\Phi _{n}(b)$ साथ n > 2 तथा b > 1, और, अधिक आम तौर पर, OEIS: A206942, इस रूप के सबसे छोटे सकारात्मक पूर्णांक के लिए।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:center; " | Proofs

का मान $\Phi _{n}(1).$ यदि $n=p^{k+1}$ एक प्रमुख शक्ति है, फिर $\Phi _{n}(x)=1+x^{p^{k}}+x^{2p^{k}}+\cdots +x^{(p-1)p^{k}}\qquad {\text{and}}\qquad \Phi _{n}(1)=p.$ :यदि n एक प्रमुख शक्ति नहीं है, चलो $P(x)=1+x+\cdots +x^{n-1},$ अपने पास $P(1)=n,$ तथा P का उत्पाद है $\Phi _{k}(x)$ के लिये k भाग देनेवाला n और अलग 1।यदि p बहुलता का एक प्रमुख भाजक है m में n, फिर $\Phi _{p}(x),\Phi _{p^{2}}(x),\cdots ,\Phi _{p^{m}}(x)$ विभाजित करना P(x), और उनके मूल्यों पर 1 हैं m के बराबर कारक p का $n=P(1).$ जैसा m की बहुलता है p में n, p मूल्य को विभाजित नहीं कर सकता 1 के अन्य कारकों का $P(x).$ इस प्रकार ऐसा कोई प्राइम नहीं है जो विभाजित हो $\Phi _{n}(1).$ यदि n का गुणन क्रम है b सापेक्ष p, फिर $p\mid \Phi _{n}(b).$ परिभाषा से, $p\mid b^{n}-1.$ यदि $p\nmid \Phi _{n}(b),$ फिर p दूसरे कारक को विभाजित करेगा $\Phi _{k}(b)$ का $b^{n}-1,$ और इस प्रकार विभाजित होगा $b^{k}-1,$ यह दिखाते हुए कि, अगर मामला होगा, n का गुणक आदेश नहीं होगा b सापेक्ष p। के अन्य प्रमुख विभाजक $\Phi _{n}(b)$ के विभाजक हैं n।होने देना p का एक प्रमुख भाजक हो $\Phi _{n}(b)$ ऐसा है कि n का गुणन क्रम नहीं है b सापेक्ष p।यदि k का गुणन क्रम है b सापेक्ष p, फिर p दोनों को विभाजित करता है $\Phi _{n}(b)$ तथा $\Phi _{k}(b).$ के परिणामस्वरूप $\Phi _{n}(x)$ तथा $\Phi _{k}(x)$ लिखा जा सकता है $P\Phi _{k}+Q\Phi _{n},$ कहाँ पे P तथा Q बहुपद हैं।इस प्रकार p इस परिणाम को विभाजित करता है।जैसा k विभाजित n, और दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों के किसी भी सामान्य कई के भेदभाव को विभाजित करता है, p विभेदक भी विभाजित करता है $n^{n}$ का $x^{n}-1.$ इस प्रकार p विभाजित n। g तथा h कॉपरीम हैं।दूसरे शब्दों में, अगर p का एक प्रमुख सामान्य भाजक है n तथा $\Phi _{n}(b),$ फिर n का गुणन क्रम नहीं है b सापेक्ष p।फर्मेट के छोटे प्रमेय द्वारा, गुणात्मक क्रम b का भाजक है p − 1, और इस तरह से छोटा है n। g वर्ग-मुक्त है।दूसरे शब्दों में, अगर p का एक प्रमुख सामान्य भाजक है n तथा $\Phi _{n}(b),$ फिर $p^{2}$ विभाजित नहीं करता है $\Phi _{n}(b).$ होने देना n = pm।यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $p^{2}$ विभाजित नहीं करता है S(b) कुछ बहुपद के लिए S(x), जो कई है $\Phi _{n}(x).$ हम लेते हैं $S(x)={\frac {x^{n}-1}{x^{m}-1}}=1+x^{m}+x^{2m}+\cdots +x^{(p-1)m}.$ : गुणात्मक क्रम b सापेक्ष p विभाजित gcd(n, p − 1), जो एक भाजक है m = n/p।इस प्रकार c = bm − 1 का एक बहु है p।अब, $S(b)={\frac {(1+c)^{p}-1}{c}}=p+{\binom {p}{2}}c+\cdots +{\binom {p}{p}}c^{p-1}.$ :जैसा p प्राइम है और 2 से अधिक है, सभी शर्तें लेकिन पहले एक गुणक हैं $p^{2}.$ यह साबित करता है कि $p^{2}\nmid \Phi _{n}(b).$

अनुप्रयोग

का उपयोग करते हुए $\Phi _{n}$, 1 मोडुलो एन के संबंध में प्रधान स बधाई के अनंतता के लिए एक प्राथमिक प्रमाण दे सकता है, जो अंकगणित प्रगति पर डिरिचलेट के प्रमेय का एक विशेष मामला है।

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:center; " | Proof

मान लीजिए $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}$ प्राइम्स की एक परिमित सूची है $1$ सापेक्ष $n.$ होने देना $N=np_{1}p_{2}\cdots p_{k}$ और विचार करें $\Phi _{n}(N)$।होने देना $q$ का एक प्रमुख कारक हो $\Phi _{n}(N)$ (यह देखने के लिए $\Phi _{n}(N)\neq \pm 1$ इसे रैखिक कारकों में विघटित करें और ध्यान दें कि 1 एकता की निकटतम जड़ है $N$)।तब से $\Phi _{n}(x)\equiv \pm 1{\pmod {x}},$ हम जानते हैं कि $q$ सूची में एक नया प्राइम नहीं है।हम दिखाएंगे कि $q\equiv 1{\pmod {n}}.$ होने देना $m$ का आदेश होना $N$ सापेक्ष $q.$ तब से $\Phi _{n}(N)\mid N^{n}-1$ अपने पास $N^{n}-1\equiv 0{\pmod {q}}$।इस प्रकार $m\mid n$।हम दिखाएंगे कि $m=n$। विरोधाभास के लिए मान लें कि $m<n$।तब से $\prod _{d\mid m}\Phi _{d}(N)=N^{m}-1\equiv 0{\pmod {q}}$ अपने पास $\Phi _{d}(N)\equiv 0{\pmod {q}},$ कुछ के लिए $d<n$।फिर $N$ की एक डबल रूट है $\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)\equiv x^{n}-1{\pmod {q}}.$ इस प्रकार $N$ व्युत्पन्न की जड़ होनी चाहिए $\left.{\frac {d(x^{n}-1)}{dx}}\right|_{N}\equiv nN^{n-1}\equiv 0{\pmod {q}}.$ परंतु $q\nmid N$ और इसीलिए $q\nmid n.$ यह एक विरोधाभास है $m=n$।के लिए $N{\pmod {q}},$ जो है $n$, विभाजित होना चाहिए $q-1$।इस प्रकार $q\equiv 1{\pmod {n}}.$

यह भी देखें

• साइक्लोटोमिक क्षेत्र
• अयरेफ़ुइलियन फैक्टराइजेशन
• एकता की जड़

संदर्भ

Gauss's book Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Translated into English by Clarke, Arthur A. (2nd corr. ed.). New York: Springer. ISBN 0387962549.
• Gauss, Carl Friedrich (1965) [1801]. Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory). Translated into German by Maser, H. (2nd ed.). New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.
• Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. doi:10.1007/978-3-662-12893-0. ISBN 978-3-642-08628-1.
• Maier, Helmut (2008), "Anatomy of integers and cyclotomic polynomials", in De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (eds.), Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13-17, 2006, CRM Proceedings and Lecture Notes, vol. 46, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 89–95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl 1186.11010
• Riesel, Hans (1994). Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (2nd ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5.

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• अविभाज्य बहुपद
• अंक शास्त्र
• एकता की आदिम जड़
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• गुणक आदेश
• अंक आधार
• अनोखा प्राइम
• मुख्य कारक है
• परिणामी
• विभेदक
• बधाई संबंध

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Cyclotomic polynomial". MathWorld.
• "Cyclotomic polynomials", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• OEIS sequence A013595 (Triangle of coefficients of cyclotomic polynomial Phi_n(x) (exponents in increasing order))
• OEIS sequence A013594 (Smallest order of cyclotomic polynomial containing n or −n as a coefficient)]