साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके

फ़ाइल:संख्यात्मक एकीकरण चित्रण, चरण=1.svg|right|180px|thumb|अंतर समीकरण के लिए संख्यात्मक एकीकरण का चित्रण $y'=y,y(0)=1.$ नीला: यूलर विधि, हरा: मध्यबिंदु विधि, लाल: सटीक समाधान, ${\textstyle y=e^{t}}$. स्टेप साइज है $h=1.0$.फ़ाइल:संख्यात्मक एकीकरण उदाहरण चरण=0.25.svg|right|180px|thumb|के लिए एक ही दृष्टांत $h=0.25.$ मिडपॉइंट विधि यूलर विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण करती है, जैसे $h\to 0$.

साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ साधारण अवकल समीकरणों (ODEs) के समाधान के लिए संख्यात्मक विश्लेषण सन्निकटन खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं। उनके उपयोग को संख्यात्मक एकीकरण के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि यह शब्द इंटीग्रल की गणना को भी संदर्भित कर सकता है।

कई अवकल समीकरणों को ठीक-ठीक हल नहीं किया जा सकता है। हालांकि व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए - जैसे इंजीनियरिंग में - समाधान के लिए एक संख्यात्मक सन्निकटन अक्सर पर्याप्त होता है। इस तरह के सन्निकटन की गणना करने के लिए यहां अध्ययन किए गए एल्गोरिदम का उपयोग किया जा सकता है। समाधान का एक श्रृंखला विस्तार प्राप्त करने के लिए कलन से तकनीकों का उपयोग करना एक वैकल्पिक तरीका है।

भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र सहित कई वैज्ञानिक विषयों में साधारण अंतर समीकरण पाए जाते हैं। इसके अलावा, संख्यात्मक आंशिक अवकल समीकरणों में कुछ विधियाँ आंशिक अवकल समीकरण को साधारण अवकल समीकरण में बदल देती हैं, जिसे तब हल किया जाना चाहिए।

समस्या

एक प्रथम-क्रम अवकल समीकरण फॉर्म की प्रारंभिक मूल्य समस्या (IVP) है,

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0},$

(1)

कहां $f$ एक कार्य है $f:[t_{0},\infty )\times \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}$, और प्रारंभिक स्थिति $y_{0}\in \mathbb {R} ^{d}$ एक दिया गया वेक्टर है। प्रथम-क्रम का अर्थ है कि केवल y का पहला व्युत्पन्न समीकरण में प्रकट होता है, और उच्च डेरिवेटिव अनुपस्थित हैं।

उच्च-क्रम प्रणालियों के लिए व्यापकता के नुकसान के बिना, हम स्वयं को प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों तक सीमित रखते हैं, क्योंकि एक उच्च-क्रम ODE को अतिरिक्त चरों को प्रस्तुत करके प्रथम-क्रम समीकरणों की एक बड़ी प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम का समीकरण y′′ = −y दो प्रथम-क्रम समीकरणों के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: y′ = z और z′ = −y. इस खंड में, हम IVPs के लिए संख्यात्मक विधियों का वर्णन करते हैं, और टिप्पणी करते हैं कि सीमा मान समस्याओं (BVPs) के लिए उपकरणों के एक अलग सेट की आवश्यकता होती है। एक बीवीपी में, एक से अधिक बिंदुओं पर मूल्यों, या समाधान y के घटकों को परिभाषित करता है। इस वजह से, बीवीपी को हल करने के लिए अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल करने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, शूटिंग विधि (और इसके प्रकार) या वैश्विक तरीके जैसे परिमित अंतर, गैलेरकिन के तरीके, या सहस्थापन विधियाँ उस वर्ग की समस्याओं के लिए उपयुक्त हैं।

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय कहता है कि एक अनूठा समाधान है, बशर्ते f लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है। लिप्सचिट्ज़-निरंतर।

तरीके

पहले क्रम के आईवीपी को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके अक्सर दो बड़ी श्रेणियों में से एक में आते हैं: लीनियर मल्टीस्टेप मेथड्स, या रनगे-कुट्टा मेथड्स। एक और विभाजन को उन विधियों में विभाजित करके महसूस किया जा सकता है जो स्पष्ट हैं और जो अंतर्निहित हैं। उदाहरण के लिए, अन्तर्निहित रेखीय बहुचरण विधियों में रेखीय बहुचरण विधि#Adams-Moulton विधियाँ|Adams-Moulton विधियाँ, और पिछड़े विभेदन सूत्र (BDF) शामिल हैं, जबकि निहित रनगे-कुट्टा विधियाँ तिरछे अंतर्निहित रंज-कुट्टा (डीआईआरके) शामिल करें, अकेले तिरछे निहित रनगे-कुट्टा (एसडीआईआरके), और गॉस-राडो (गाऊसी चतुर्भुज पर आधारित) संख्यात्मक तरीके। लीनियर मल्टीस्टेप विधि के स्पष्ट उदाहरणों में एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ शामिल हैं, और कम विकर्ण बुचर झांकी के साथ कोई भी रनगे-कुट्टा विधि स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियाँ हैं। अंगूठे का एक ढीला नियम यह निर्धारित करता है कि कठोर समीकरण अंतर समीकरणों के लिए अंतर्निहित योजनाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, जबकि स्पष्ट योजनाओं के साथ गैर-कठोर समस्याओं को अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है।

तथाकथित सामान्य रेखीय विधियाँ (जीएलएम) विधियों के उपरोक्त दो बड़े वर्गों का एक सामान्यीकरण हैं।

यूलर विधि

Further information: Euler method

किसी वक्र पर किसी भी बिंदु से, आप वक्र पर स्पर्श रेखा के साथ थोड़ी दूरी पर जाकर वक्र के पास के बिंदु का अनुमान लगा सकते हैं।

अंतर समीकरण से शुरू (1), हम व्युत्पन्न y′ को परिमित अंतर सन्निकटन द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं

$y'(t)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}},$

(2)

जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर निम्न सूत्र प्राप्त होता है

$y(t+h)\approx y(t)+hy'(t)$

और का उपयोग कर (1) देता है:

$y(t+h)\approx y(t)+hf(t,y(t)).$

(3)

यह सूत्र आमतौर पर निम्नलिखित तरीके से लागू किया जाता है। हम एक चरण आकार h चुनते हैं, और हम अनुक्रम का निर्माण करते हैं $t_{0},t_{1}=t_{0}+h,t_{2}=t_{0}+2h,...$ हम द्वारा निरूपित करते हैं $y_{n}$ सटीक समाधान का एक संख्यात्मक अनुमान $y(t_{n})$. द्वारा प्रेरित (3), हम निम्नलिखित पुनरावर्तन योजना द्वारा इन अनुमानों की गणना करते हैं

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).$

(4)

यह यूलर विधि है (या फॉरवर्ड यूलर विधि, बैकवर्ड यूलर विधि के विपरीत, जिसका वर्णन नीचे किया जाएगा)। विधि का नाम लिओनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है जिसने 1768 में इसका वर्णन किया था।

यूलर विधि स्पष्ट और अंतर्निहित विधियों का एक उदाहरण है। इसका मतलब है कि नया मान y_n+1 उन चीजों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जो पहले से ही ज्ञात हैं, जैसे कि y_n.

पश्च यूलर विधि

Further information: Backward Euler method

अगर, के बजाय (2), हम सन्निकटन का उपयोग करते हैं

$y'(t)\approx {\frac {y(t)-y(t-h)}{h}},$

(5)

हमें बैकवर्ड यूलर विधि मिलती है:

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1}).$

(6)

बैकवर्ड यूलर विधि एक स्पष्ट और निहित विधि विधि है, जिसका अर्थ है कि हमें y खोजने के लिए एक समीकरण को हल करना होगा_n+1. इसे प्राप्त करने के लिए अक्सर न्यूटन की विधि|न्यूटन-राफसन विधि का निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति या (कुछ संशोधन) का उपयोग किया जाता है।

स्पष्ट विधियों की तुलना में इस समीकरण को हल करने में अधिक समय लगता है; इस लागत को ध्यान में रखा जाना चाहिए जब कोई उपयोग करने की विधि का चयन करता है। निहित तरीकों का लाभ जैसे (6) यह है कि वे आमतौर पर एक कठोर समीकरण को हल करने के लिए अधिक स्थिर होते हैं, जिसका अर्थ है कि बड़े चरण आकार h का उपयोग किया जा सकता है।

प्रथम क्रम घातीय इंटीग्रेटर विधि

Further information: Exponential integrator

घातीय इंटीग्रेटर्स इंटीग्रेटर्स के एक बड़े वर्ग का वर्णन करते हैं जिन्होंने हाल ही में बहुत विकास देखा है। वे कम से कम 1960 के दशक के हैं।

की जगह (1), हम मानते हैं कि अवकल समीकरण या तो रूप का है

$y'(t)=-A\,y+{\mathcal {N}}(y),$

(7)

या इसे एक रैखिक शब्द उत्पन्न करने के लिए एक पृष्ठभूमि राज्य के बारे में स्थानीय रूप से रेखीयकृत किया गया है $-Ay$ और एक अरेखीय शब्द ${\mathcal {N}}(y)$.

घातीय इंटीग्रेटर्स का निर्माण गुणा करके किया जाता है (7) द्वारा ${\textstyle e^{At}}$, और परिणाम को ठीक से एकीकृत करना एक समय अंतराल $[t_{n},t_{n+1}=t_{n}+h]$:

$y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+\int _{0}^{h}e^{-(h-\tau )A}{\mathcal {N}}\left(y\left(t_{n}+\tau \right)\right)\,d\tau .$

यह समाकल समीकरण सटीक है, लेकिन यह समाकल को परिभाषित नहीं करता है।

पहले क्रम के घातीय इंटीग्रेटर को धारण करके महसूस किया जा सकता है ${\mathcal {N}}(y(t_{n}+\tau ))$ पूर्ण अंतराल पर स्थिर:

$y_{n+1}=e^{-Ah}y_{n}+A^{-1}(1-e^{-Ah}){\mathcal {N}}(y(t_{n}))\ .$

(8)

सामान्यीकरण

यूलर विधि अक्सर पर्याप्त सटीक नहीं होती है। अधिक सटीक शब्दों में, इसमें केवल एक क्रम होता है (आदेश की अवधारणा को नीचे समझाया गया है)। इसने गणितज्ञों को उच्च-क्रम विधियों की तलाश करने के लिए प्रेरित किया।

एक संभावना न केवल पहले से गणना किए गए मान y का उपयोग करना है_n वाई निर्धारित करने के लिए_n+1, लेकिन समाधान बनाने के लिए अधिक पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है। यह एक तथाकथित मल्टीस्टेप विधि उत्पन्न करता है। शायद सबसे सरल लीपफ्रॉग विधि है जो दूसरा क्रम है और (मोटे तौर पर बोलना) दो समय मूल्यों पर निर्भर करता है।

लगभग सभी व्यावहारिक मल्टीस्टेप विधियां लीनियर मल्टीस्टेप विधियों के परिवार के भीतर आती हैं, जिनका रूप है

${\begin{aligned}&{}\alpha _{k}y_{n+k}+\alpha _{k-1}y_{n+k-1}+\cdots +\alpha _{0}y_{n}\\&{}\quad =h\left[\beta _{k}f(t_{n+k},y_{n+k})+\beta _{k-1}f(t_{n+k-1},y_{n+k-1})+\cdots +\beta _{0}f(t_{n},y_{n})\right].\end{aligned}}$

एक अन्य संभावना अंतराल में अधिक बिंदुओं का उपयोग करने की है $[t_{n},t_{n+1}]$. यह रनगे-कुट्टा विधियों के परिवार की ओर जाता है, जिसका नाम कार्ल डेविड टोल्मे रनगे और मार्टिन कुट्टा के नाम पर रखा गया है। उनके चौथे क्रम के तरीकों में से एक विशेष रूप से लोकप्रिय है।

उन्नत सुविधाएँ

मुक्त एवं दूरस्थ शिक्षा को हल करने के लिए इन विधियों में से किसी एक के अच्छे कार्यान्वयन के लिए समयबद्ध सूत्र से अधिक की आवश्यकता होती है।

हर समय एक ही चरण आकार का उपयोग करना अक्सर अक्षम होता है, इसलिए चर चरण-आकार के तरीके विकसित किए गए हैं। आमतौर पर, चरण का आकार इस तरह चुना जाता है कि प्रति चरण (स्थानीय) त्रुटि कुछ सहनशीलता स्तर से नीचे है। इसका मतलब यह है कि विधियों को एक त्रुटि सूचक की गणना भी करनी चाहिए, जो स्थानीय त्रुटि का अनुमान है।

इस विचार का एक विस्तार विभिन्न आदेशों के विभिन्न तरीकों के बीच गतिशील रूप से चयन करना है (इसे चर आदेश विधि कहा जाता है)। रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन पर आधारित तरीके, जैसे कि बुलिरश-स्टोयर एल्गोरिथम, अक्सर विभिन्न आदेशों के विभिन्न तरीकों का निर्माण करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अन्य वांछनीय विशेषताओं में शामिल हैं:

• सघन आउटपुट: पूरे एकीकरण अंतराल के लिए सस्ते संख्यात्मक सन्निकटन, और न केवल बिंदु टी पर₀, टी₁, टी₂, ...
• घटना का स्थान: उस समय का पता लगाना जहाँ, कहते हैं, एक विशेष समारोह गायब हो जाता है। इसके लिए आमतौर पर रूट-फाइंडिंग एल्गोरिथम के उपयोग की आवश्यकता होती है।
• समानांतर कंप्यूटिंग के लिए समर्थन।
• जब समय, समय प्रतिवर्तीता के संबंध में एकीकरण के लिए उपयोग किया जाता है

वैकल्पिक तरीके

कई तरीके यहां चर्चा की गई रूपरेखा के अंतर्गत नहीं आते हैं। वैकल्पिक तरीकों के कुछ वर्ग हैं:

• बहु-व्युत्पन्न विधियाँ, जो न केवल फ़ंक्शन f का उपयोग करती हैं, बल्कि इसके डेरिवेटिव का भी उपयोग करती हैं। इस वर्ग में हर्मिट-ओब्रेशकोफ़ विधियाँ और रनगे-कुट्टा-फ़ेहलबर्ग विधि शामिल हैं, साथ ही पार्कर-सोचाकी विधि जैसी विधियाँ भी शामिल हैं। या Bychkov-Scherbakov विधि, जो पुनरावर्ती रूप से समाधान y की टेलर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करती है।
• दूसरे क्रम के ODE के तरीके। हमने कहा कि सभी उच्च-क्रम ODE को फॉर्म के प्रथम-क्रम ODE में रूपांतरित किया जा सकता है (1)। हालांकि यह निश्चित रूप से सच है, यह आगे बढ़ने का सबसे अच्छा तरीका नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, Nyström विधियाँ दूसरे क्रम के समीकरणों के साथ सीधे काम करती हैं।
• ज्यामितीय इंटीग्रेटर विशेष रूप से ओडीई के विशेष वर्गों के लिए डिज़ाइन किया गया है (उदाहरण के लिए, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समाधान के लिए सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर्स)। वे ध्यान रखते हैं कि संख्यात्मक समाधान इन वर्गों की अंतर्निहित संरचना या ज्यामिति का सम्मान करता है।
• क्वांटाइज़्ड स्टेट सिस्टम्स मेथड्स ODE इंटीग्रेशन मेथड्स का एक परिवार है जो स्टेट क्वांटिज़ेशन के विचार पर आधारित है। बार-बार बंद होने के साथ विरल प्रणालियों का अनुकरण करते समय वे कुशल होते हैं।

समानांतर-इन-टाइम तरीके

उन अनुप्रयोगों के लिए जिन्हें सुपरकंप्यूटर पर समांतर कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती है, संख्यात्मक विधि द्वारा प्रदान की जाने वाली समवर्ती की डिग्री प्रासंगिक हो जाती है। एक्सास्केल कंप्यूटिंग सिस्टम की चुनौतियों को ध्यान में रखते हुए प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के लिए संख्यात्मक तरीकों का अध्ययन किया जा रहा है जो अस्थायी दिशा में समवर्ती प्रदान कर सकते हैं। Parareal इस तरह के समानांतर-इन-टाइम एकीकरण पद्धति का एक अपेक्षाकृत प्रसिद्ध उदाहरण है, लेकिन शुरुआती विचार 1960 के दशक में वापस आ गए। एक्सास्केल कंप्यूटिंग के आगमन में, समय-समानांतर एकीकरण विधियों पर फिर से अधिक ध्यान दिया जाता है। एक्सपोनेंशियल इंटीग्रेटर्स के लिए एल्गोरिदम का लाभ उठाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, मानकीकृत बैच किए गए BLAS फ़ंक्शंस जो समानांतर इंटीग्रेटर्स के आसान और कुशल कार्यान्वयन की अनुमति देते हैं।

विश्लेषण

संख्यात्मक विश्लेषण न केवल संख्यात्मक विधियों का डिज़ाइन है, बल्कि उनका विश्लेषण भी है। इस विश्लेषण में तीन केंद्रीय अवधारणाएँ हैं:

• अभिसरण: क्या विधि समाधान का अनुमान लगाती है,
• आदेश: यह कितनी अच्छी तरह समाधान का अनुमान लगाता है, और
• संख्यात्मक स्थिरता: क्या त्रुटियां कम हो गई हैं।

अभिसरण

Main articles: Sequence, Limit (mathematics), and Limit of a sequence

एक संख्यात्मक विधि को अभिसारी कहा जाता है यदि संख्यात्मक समाधान सटीक समाधान तक पहुंचता है क्योंकि चरण आकार h 0 पर जाता है। अधिक सटीक रूप से, हमें आवश्यकता है कि प्रत्येक ODE (1) के लिए लिप्सचिट्ज़ निरंतर फ़ंक्शन f और प्रत्येक t के साथ^* > 0,

$\lim _{h\to 0^{+}}\max _{n=0,1,\dots ,\lfloor t^{*}/h\rfloor }\left\|y_{n,h}-y(t_{n})\right\|=0.$

ऊपर बताई गई सभी विधियाँ अभिसारी हैं।

संगति और व्यवस्था

Further information: Truncation error (numerical integration)

मान लीजिए संख्यात्मक विधि है

$y_{n+k}=\Psi (t_{n+k};y_{n},y_{n+1},\dots ,y_{n+k-1};h).\,$

विधि की स्थानीय (ट्रंकेशन) त्रुटि विधि के एक चरण द्वारा की गई त्रुटि है। यही है, यह विधि द्वारा दिए गए परिणाम के बीच का अंतर है, यह मानते हुए कि पिछले चरणों में कोई त्रुटि नहीं हुई थी, और सटीक समाधान:

$\delta _{n+k}^{h}=\Psi \left(t_{n+k};y(t_{n}),y(t_{n+1}),\dots ,y(t_{n+k-1});h\right)-y(t_{n+k}).$

कहा जाता है कि विधि सुसंगत है

$\lim _{h\to 0}{\frac {\delta _{n+k}^{h}}{h}}=0.$

विधि में क्रम है $p$ यदि

$\delta _{n+k}^{h}=O(h^{p+1})\quad {\mbox{as }}h\to 0.$

इसलिए एक विधि सुसंगत है यदि इसका क्रम 0 से अधिक है। (आगे) यूलर विधि (4) और ऊपर दी गई पिछड़ी यूलर विधि (6) दोनों का क्रम 1 है, इसलिए वे संगत हैं। व्यवहार में उपयोग की जाने वाली अधिकांश विधियाँ उच्च क्रम प्राप्त करती हैं। संगति अभिसरण के लिए एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं; अभिसरण होने के लिए एक विधि के लिए, यह संगत और शून्य-स्थिर दोनों होना चाहिए।

एक संबंधित अवधारणा वैश्विक (ट्रंकेशन) त्रुटि है, एक निश्चित समय तक पहुंचने के लिए आवश्यक सभी चरणों में त्रुटि बनी रहती है $t$. स्पष्ट रूप से, समय पर वैश्विक त्रुटि $t$है $y_{N}-y(t)$ कहां $N=(t-t_{0})/h$. ए की वैश्विक त्रुटि $p$ऑर्डर वन-स्टेप विधि है $O(h^{p})$; विशेष रूप से, ऐसी विधि अभिसारी है। बहु-चरण विधियों के लिए यह कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

स्थिरता और कठोरता

Further information: Stiff equation

कुछ विभेदक समीकरणों के लिए, मानक विधियों का अनुप्रयोग- जैसे कि यूलर विधि, स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियाँ, या मल्टीस्टेप विधियाँ (उदाहरण के लिए, एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ) - समाधान में अस्थिरता प्रदर्शित करती हैं, हालाँकि अन्य विधियाँ स्थिर समाधान उत्पन्न कर सकती हैं। समीकरण में यह कठिन व्यवहार (जो स्वयं जटिल नहीं हो सकता है) को कठोरता के रूप में वर्णित किया गया है, और अक्सर अंतर्निहित समस्या में अलग-अलग समय के पैमाने की उपस्थिति के कारण होता है। उदाहरण के लिए, एक यांत्रिक प्रणाली में टकराव जैसे एक प्रभाव दोलक में आम तौर पर वस्तुओं की गति के समय की तुलना में बहुत छोटे समय के पैमाने पर होता है; यह विसंगति राज्य के मापदंडों के घटता में बहुत तीखे मोड़ बनाती है।

कठोर समस्याएं रासायनिक कैनेटीक्स, नियंत्रण सिद्धांत, ठोस यांत्रिकी, मौसम पूर्वानुमान, जीव विज्ञान, प्लाज्मा भौतिकी और इलेक्ट्रॉनिक्स में सर्वव्यापी हैं। कठोरता पर काबू पाने का एक तरीका अंतर समीकरण की धारणा को अंतर समावेशन के लिए विस्तारित करना है, जो गैर-चिकनीता के लिए और मॉडल की अनुमति देता है।

इतिहास

नीचे इस क्षेत्र में कुछ महत्वपूर्ण विकासों का कालक्रम दिया गया है।

• 1768 - लियोनहार्ड यूलर ने अपनी पद्धति प्रकाशित की।
• 1824 - ऑगस्टिन लुइस कॉची ने यूलर विधि के अभिसरण को सिद्ध किया। इस प्रमाण में, कॉची निहित यूलर विधि का उपयोग करता है।
• 1855 - फ्रांसिस बैशफोर्थ द्वारा लिखे गए एक पत्र में जॉन काउच एडम्स की मल्टीस्टेप विधियों का पहला उल्लेख।
• 1895 - कार्ल डेविड टोल्मे रनगे ने पहली रनगे-कुट्टा पद्धति प्रकाशित की।
• 1901 - मार्टिन कुट्टा ने लोकप्रिय चौथे क्रम के रनगे-कुट्टा पद्धति का वर्णन किया।
• 1910 - लुईस फ्राई रिचर्डसन ने अपनी एक्सट्रपलेशन विधि, रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन की घोषणा की।
• 1952 - चार्ल्स एफ. कर्टिस और जोसेफ ओकलैंड हिर्शफेल्डर ने कठोर समीकरण शब्द गढ़ा।
• 1963 - जरमुंड डाहलक्विस्ट ने कठोर समीकरण#ए-स्थिरता|ए-एकीकरण विधियों की स्थिरता पेश की।

दूसरे क्रम की एक-आयामी सीमा मूल्य समस्याओं के लिए संख्यात्मक समाधान

मूल बीवीपी को अलग करके प्राप्त की गई लगभग समतुल्य मैट्रिक्स समस्या को हल करके सीमा मूल्य समस्याओं (बीवीपी) को आमतौर पर संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है। एक आयाम में बीवीपी को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि को परिमित अंतर विधि कहा जाता है। यह विधि फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का वर्णन करने वाले परिमित अंतर गुणांक बनाने के लिए बिंदु मानों के रैखिक संयोजनों का लाभ उठाती है। उदाहरण के लिए, पहले डेरिवेटिव के लिए दूसरे क्रम के केंद्रीय अंतर सन्निकटन द्वारा दिया गया है:

${\frac {u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}}=u'(x_{i})+{\mathcal {O}}(h^{2}),$

और दूसरे व्युत्पन्न के लिए दूसरे क्रम का केंद्रीय अंतर निम्न द्वारा दिया गया है:

${\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}=u''(x_{i})+{\mathcal {O}}(h^{2}).$

इन दोनों सूत्रों में, $h=x_{i}-x_{i-1}$ विवेकाधीन डोमेन पर पड़ोसी x मानों के बीच की दूरी है। एक तब एक रैखिक प्रणाली का निर्माण करता है जिसे मानक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित द्वारा हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हल किया जाने वाला समीकरण है:

${\begin{aligned}&{}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-u=0,\\&{}u(0)=0,\\&{}u(1)=1.\end{aligned}}$

अगला कदम समस्या को अलग करना और रैखिक व्युत्पन्न अनुमानों का उपयोग करना होगा जैसे

$u''_{i}={\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}$

और रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें। इससे समीकरण बनेंगे जैसे:

${\frac {u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^{2}}}-u_{i}=0,\quad \forall i={1,2,3,...,n-1}.$

पहली बार देखने पर, समीकरणों की इस प्रणाली को इस तथ्य से जुड़ी कठिनाई प्रतीत होती है कि समीकरण में ऐसे कोई शब्द शामिल नहीं हैं जो चर से गुणा नहीं होते हैं, लेकिन वास्तव में यह गलत है। i = 1 और n − 1 पर एक पद है जिसमें सीमा मान शामिल है $u(0)=u_{0}$ और $u(1)=u_{n}$ और चूंकि ये दो मान ज्ञात हैं, कोई भी उन्हें इस समीकरण में आसानी से प्रतिस्थापित कर सकता है और इसके परिणामस्वरूप समीकरणों की एक गैर-सजातीय रैखिक प्रणाली होती है जिसमें गैर-तुच्छ समाधान होते हैं।

यह भी देखें

• कुरेंट-फ्रेडरिक-लेवी स्थिति
• ऊर्जा बहाव
• सामान्य रैखिक तरीके
• संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची # साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके
• प्रतिवर्ती संदर्भ प्रणाली प्रचार एल्गोरिथ्म
• मॉडलिका भाषा और ओपनमॉडलिका सॉफ्टवेयर

संदर्भ

• Bradie, Brian (2006). A Friendly Introduction to Numerical Analysis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-013054-9.
• J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0-471-96758-0
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1996. ISBN 3-540-60452-9.
  (This two-volume monograph systematically covers all aspects of the field.)
• Hochbruck, Marlis; Ostermann, Alexander (May 2010). "Exponential integrators". Acta Numerica. 19: 209–286. Bibcode:2010AcNum..19..209H. CiteSeerX 10.1.1.187.6794. doi:10.1017/S0962492910000048. S2CID 4841957.
• Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (paperback).
  (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)
• John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5.
  (Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)

बाहरी कड़ियाँ

• Joseph W. Rudmin, Application of the Parker–Sochacki Method to Celestial Mechanics, 1998.
• Dominique Tournès, L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914), thèse de doctorat de l'université Paris 7 - Denis Diderot, juin 1996. Réimp. Villeneuve d'Ascq : Presses universitaires du Septentrion, 1997, 468 p. (Extensive online material on ODE numerical analysis history, for English-language material on the history of ODE numerical analysis, see, for example, the paper books by Chabert and Goldstine quoted by him.)
• Pchelintsev, A.N. (2020). "An accurate numerical method and algorithm for constructing solutions of chaotic systems" (PDF). Journal of Applied Nonlinear Dynamics. 9 (2): 207–221. arXiv:2011.10664. doi:10.5890/JAND.2020.06.004. S2CID 225853788.
• kv on GitHub (C++ library with rigorous ODE solvers)
• INTLAB (A library made by MATLAB/GNU Octave which includes rigorous ODE solvers)

श्रेणी:साधारण अवकल समीकरण