सुपरपरम्यूटेशन

संयोजी गणित में, n प्रतीकों पर एक सुपरपरम्यूटेशन एक शृंखला है जिसमें एक उपशृंखला के रूप में n प्रतीकों के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन होते हैं। जबकि साधारण सुपरपरमुटेशन को एक साथ जोड़े गए प्रत्येक क्रमपरिवर्तन से बनाया जा सकता है, सुपरपरमुटेशन भी छोटा हो सकता है (n = 1 के साधारण स्थितियो को छोड़कर) क्योंकि अतिव्यापन की अनुमति है। उदाहरण के लिए, n = 2 के स्थिति में, सुपरपरमुटेशन 1221 में सभी संभावित क्रमपरिवर्तन 12 और 21 सम्मिलित हैं,परंतु छोटी शृंखला 121 में दोनों क्रमपरिवर्तन सम्मिलित हैं।

यह दिखाया गया है कि 1 ≤ n ≤ 5 के लिए, n प्रतीकों पर सबसे छोटे सुपरपरमुटेशन की लंबाई है 1! + 2! + … + n! ओईआईएस में अनुक्रम A180632 है। पहले चार सबसे छोटे सुपरपरम्यूटेशन की लंबाई 1, 3, 9 और 33 होती है, जिससे शृंखला 1, 121, 123121321, और 123412314231243121342132413214321 बनते हैं। यद्यपि, n = 5 के लिए, 153 की लंबाई वाले कई छोटे सुपरपरमुटेशन होता हैं। ऐसा एक सुपरपरमुटेशन नीचे दिखाया गया है, जबकि शृंखला के दूसरे भाग में सभी चौथे और पांचवे को स्विचन करके समान लंबाई का एक और शृंखला प्राप्त किया जा सकता है।

:^[1]1234512341523412534123541231452314253142351423154231245312435124315243125431213452134251342153421354213

n > 5 केस्थिति के लिए, सबसे छोटा सुपरपरमुटेशन अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है और न ही उन्हें खोजने के लिए कोई पैटर्न है, लेकिन उनके लिए निचली और ऊपरी सीमाएं पाई गई हैं

सुपरपरमुटेशन ढूँढना

2 प्रतीकों वाले सुपरपरमुटेशन से 3 प्रतीकों के साथ एक सुपरपरमुटेशन के निर्माण का आरेख।

क्रम n का सुपरपरमुटेशन बनाने के लिए सबसे सरल कलन विधियो में से एक पुनरावर्ती कलन विधि है। पहले, क्रम $n-1$ सुपरपरमुटेशन को,अलग-अलग क्रमपरिवर्तन में विभाजित करके देखा जाता है कि यह सुपरपरमुटेशन में कैसे दिखाई देता है। उनमें से प्रत्येक क्रमचय को तब स्वयं की एक प्रति के साथ रखा जाता है जिसमें दो प्रतियों के मध्य एक nth प्रतीक जोड़ा जाता है। अंत में, प्रत्येक परिणामी संरचना को एक दूसरे के बगल में रखा जाता है और सभी आसन्न समान प्रतीकों को मिला दिया जाता है।^[2]

उदाहरण के लिए, क्रम 3 का एक सुपरपरमुटेशन 2 प्रतीकों वाले से एक बनाया जा सकता है; सुपरपरमुटेशन 121 से प्रारंभ होकर इसे क्रमचय 12 और 21 में विभाजित करते हुए, क्रमचय को कॉपी किया जाता है और 12312 और 21321 के रूप में रखा जाता है। उन्हें 1231221321 बनाने के लिए एक साथ रखा जाता है, और मध्य में समान आसन्न 2s को 123121321 बनाने के लिए विलय कर दिया जाता है, जो वास्तव में क्रम 3 का एक सुपरपरमुटेशन है। यह कलन विधि 5 से कम या 5 के बराबर सभी n के लिए सबसे कम संभव सुपरपरम्यूटेशन का परिणाम देता है, लेकिन सबसे कम संभव से अधिक लंबा हो जाता है क्योंकि n इससे आगे बढ़ जाता है

सुपरपरमुटेशन खोजने का एक अन्य विधि एक ग्राफ बनाने में निहित है जहां प्रत्येक क्रमचय एक शीर्ष होता है और प्रत्येक क्रमचय एक किनारे से जुड़ा हुआ होता है। प्रत्येक किनारे के साथ एक भार जुड़ा होता है; तथा वजन की गणना यह देखकर की जाती है कि एक क्रमचय के अंत में कितने वर्ण जोड़े जा सकते हैं दूसरे क्रमपरिवर्तन के परिणामस्वरूप।, उदाहरण के लिए 123 से 312 के किनारे का वजन 2 है क्योंकि 123 + 12 = 12312 = 312 बनाए गए ग्राफ के माध्यम से कोई भी हैमिल्टनियन पथ एक सुपरपरमुटेशन है, और सबसे कम वजन वाले पथ को खोजने की समस्या यात्रा विक्रेता का एक रूप बन जाती है। लंबाई से छोटे सुपरपरमुटेशन का पहला उदाहरण $1!+2!+\ldots +n!$ रॉबिन ह्यूस्टन द्वारा इस पद्धति पर एक कंप्यूटर खोज का उपयोग करते हुए पाया गया।

निचली सीमा, या हारुही समस्या

सितंबर 2011 में, 4चान के विज्ञान और गणित बोर्ड पर एक अज्ञात पोस्टर ने सिद्ध कर दिया कि n प्रतीकों (n ≥ 2) पर सबसे छोटा सुपरपरमुटेशन कम से कम लंबाई n! + (n−1)! + (n−2)! + n − 3 है।^[3]जापानी एनिमेए श्रृंखला हारुही सुजुमिया के संदर्भ में, समस्या को द हारुही प्रॉब्लम के रूप में इमेजबोर्ड पर प्रस्तुत किया गया था:^[4] यदि आप श्रृंखला के पहले सीज़न के 14 एपिसोड हर संभव क्रम में देखना चाहते हैं, तो आपको एपिसोड की सबसे छोटी कड़ी क्या देखनी होगी?^[5] इस निचली सीमा का प्रमाण अक्टूबर 2018 में आम जनता के हित मे आया जब गणितज्ञ और कंप्यूटर वैज्ञानिक रॉबिन ह्यूस्टन द्वारा इसके बारे में ट्वीट किया ।^[3] तो 25 अक्टूबर 2018 को, रॉबिन ह्यूस्टन, जे पैनटोन, और विंस वैटर ने इस प्रमाण का एक परिष्कृत संस्करण इंटेगर अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश (ओईआईएस) में प्रकाशित किया।^[5]^[6] इस प्रमाण का एक प्रकाशित संस्करण, लिए एंगेन और वैटर 2019 में दिखाई देता है, जिसका श्रेय अज्ञात 4चान पोस्टर को दिया जाता है, विशेष रूप से "द हारुही प्रॉब्लम" के लिए(14 प्रतीकों के स्थिति) ^[7]वर्तमान निचली और ऊपरी सीमा क्रमशः 93,884,313,611 और 93,924,230,411 है।।^[3]इसका अर्थ है कि श्रृंखला को हर संभव क्रम में देखने में लगभग 4 मिलियन वर्ष लगेंगे।

ऊपरी सीमा

20 अक्टूबर 2018 को, सममित समूह के केली ग्राफ के माध्यम से हैमिल्टनियन पथ के निर्माण के लिए हारून विलियम्स द्वारा एक निर्माण को अपनाने तथा ,^[8] विज्ञान परिकलन लेखक और गणितज्ञ ग्रेग एगन ने लंबाई के सुपरपरमुटेशन का उत्पादन करने के लिए n! + (n−1)! + (n−2)! + (n−3)! + n − 3 एक कलन विधि तैयार किया। 2018 तक, ये n ≥ 7 के लिए जाने जाने वाले सबसे छोटे सुपरपरम्यूटेशन थे। यद्यपि, 1 फरवरी 2019 को, बोगडान कोंडा ने घोषणा की कि उन्होंने एक सुपरपरम्यूटेशन पाया है जिसकी लंबाई 5907, या (n! + (n−1)! + (n−2)! + (n−3)! + n − 3) − 1, है जो एक नया रिकॉर्ड था^[2]27 फरवरी 2019 को, रॉबिन ह्यूस्टन द्वारा विकसित विचारों का उपयोग करते हुए, ईगन ने लंबाई 5906 के n = 7 के लिए एक सुपरपरमुटेशन का उत्पादन किया ^[2] क्या n> 7 के मानों के लिए समान छोटे सुपरपरम्यूटेशन भी उपलब्ध हैं, यह एक खुला प्रश्न है। n = 7 के लिए वर्तमान सर्वोत्तम निचली सीमा अभी भी 5884 है।

यह भी देखें

सुपरपैटर्न, एक क्रमचय जिसमें क्रमचय पैटर्न के रूप में n प्रतीकों का प्रत्येक क्रमचय सम्मिलित है।
डी ब्रुजन अनुक्रम, चक्रीय अनुक्रमों के साथ एक समान समस्या है।

अग्रिम पठन

Ashlock, Daniel A.; Tillotson, Jenett (1993), "Construction of small superpermutations and minimal injective superstrings", Congressus Numerantium, 93: 91–98, Zbl 0801.05004
Anonymous 4chan Poster; Houston, Robin; Pantone, Jay; Vatter, Vince (October 25, 2018). "A lower bound on the length of the shortest superpattern" (PDF). On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

संदर्भ

↑ Johnston, Nathaniel (July 28, 2013). "न्यूनतम सुपरपरमुटेशन की गैर-विशिष्टता". Discrete Mathematics. 313 (14): 1553–1557. arXiv:1303.4150. Bibcode:2013arXiv1303.4150J. doi:10.1016/j.disc.2013.03.024. S2CID 12018639. Zbl 1368.05004. Retrieved March 16, 2014.
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↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Griggs, Mary Beth. "An anonymous 4chan post could help solve a 25-year-old math mystery". The Verge.
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↑ Anonymous 4chan poster; Houston, Robin; Pantone, Jay; Vatter, Vince (October 25, 2018). "सबसे छोटे सुपरपैटर्न की लंबाई पर एक निचली सीमा" (PDF). OEIS. Retrieved 27 October 2018.
↑ Engen, Michael; Vatter, Vincent (2021), "Containing all permutations", American Mathematical Monthly, 128 (1): 4–24, doi:10.1080/00029890.2021.1835384
↑ Aaron, Williams (2013). "Hamiltonicity of the Cayley Digraph on the Symmetric Group Generated by σ = (1 2 ... n) and τ = (1 2)". arXiv:1307.2549v3 [math.CO].

बाहरी संबंध

The Minimal Superpermutation Problem - Nathaniel Johnston's blog
Grime, James. "Superpermutations - Numberphile" (video). YouTube. Brady Haran. Retrieved 1 February 2018.
The 4chan post on /sci/, archived on warosu.org
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[1] Johnston, Nathaniel (July 28, 2013). "न्यूनतम सुपरपरमुटेशन की गैर-विशिष्टता". Discrete Mathematics. 313 (14): 1553–1557. arXiv:1303.4150. Bibcode:2013arXiv1303.4150J. doi:10.1016/j.disc.2013.03.024. S2CID 12018639. Zbl 1368.05004. Retrieved March 16, 2014.

[Greg_Egan-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Egan, Greg (20 October 2018). "सुपरपरम्यूटेशन". gregegan.net. Retrieved 15 January 2020.

[:0-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Griggs, Mary Beth. "An anonymous 4chan post could help solve a 25-year-old math mystery". The Verge.

[4] Anon, - San (September 17, 2011). "Permutations Thread III ニア愛". Warosu.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[:1-5] 5.0 ^5.1 Klarreich, Erica (November 5, 2018). "विज्ञान कथा लेखक ग्रेग एगन और बेनामी मठ विशेषज्ञ अग्रिम क्रमचय समस्या". Quanta Magazine. Retrieved June 21, 2020.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[6] Anonymous 4chan poster; Houston, Robin; Pantone, Jay; Vatter, Vince (October 25, 2018). "सबसे छोटे सुपरपैटर्न की लंबाई पर एक निचली सीमा" (PDF). OEIS. Retrieved 27 October 2018.

[engenvatter-7] Engen, Michael; Vatter, Vincent (2021), "Containing all permutations", American Mathematical Monthly, 128 (1): 4–24, doi:10.1080/00029890.2021.1835384

[8] Aaron, Williams (2013). "Hamiltonicity of the Cayley Digraph on the Symmetric Group Generated by σ = (1 2 ... n) and τ = (1 2)". arXiv:1307.2549v3 [math.CO].

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