सुविधाजनक वेक्टर स्थान

गणित में, सुविधाजनक सदिश स्थल स्थानीय रूप से उत्तल वेक्टर स्थान होते हैं जो एक बहुत ही हल्के समान स्थान#पूर्णता को संतुष्ट करते हैं।

पारंपरिक बहुचरीय कलन परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान और बानाच रिक्त स्थान के विश्लेषण में प्रभावी है। बानाच स्थानों से परे, कठिनाइयाँ उत्पन्न होने लगती हैं; विशेष रूप से, सतत रैखिक ऑपरेटर की संरचना बानाच रिक्त स्थान के स्तर पर संयुक्त रूप से निरंतर होना बंद कर देती है, निरंतर रैखिक मैपिंग के स्थानों पर किसी भी संगत टोपोलॉजी के लिए।

सुविधाजनक वेक्टर स्थानों के बीच मैपिंग सुचारू है या $C^{\infty }$ यदि वे चिकने वक्रों को चिकने वक्रों में मैप करते हैं। इससे बीच में सुचारु मानचित्रण की कार्टेशियन बंद श्रेणी बनती है $c^{\infty }$-सुविधाजनक वेक्टर रिक्त स्थान के खुले उपसमुच्चय (नीचे संपत्ति 6 ​​देखें)। सुचारु मानचित्रण की संगत गणना को सुविधाजनक गणना कहा जाता है। यह भिन्नता की किसी भी अन्य उचित धारणा से कमजोर है, इसे लागू करना आसान है, लेकिन इसमें सहज मैपिंग हैं जो निरंतर नहीं हैं (नोट 1 देखें)। इस प्रकार का कैलकुलस अकेले समीकरणों को हल करने में उपयोगी नहीं है.

सी^∞-टोपोलॉजी

See also: Differentiable vector-valued functions from Euclidean space and Differentiation in Fréchet spaces

होने देना $E$ स्थानीय रूप से उत्तल सदिश समष्टि बनें। एक वक्र $c:\mathbb {R} \to E$ चिकना या कहा जाता है $C^{\infty }$ यदि सभी व्युत्पन्न मौजूद हैं और निरंतर हैं। होने देना $C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ चिकने वक्रों का स्थान बनें। यह दिखाया जा सकता है कि चिकने वक्रों का सेट पूरी तरह से स्थानीय उत्तल पर निर्भर नहीं करता है की टोपोलॉजी $E,$ केवल इसके संबद्ध बोर्नोलॉजिकल स्पेस (सीमाबद्ध सेटों की प्रणाली) पर; देखें [केएम], 2.11. मैपिंग के निम्नलिखित सेटों के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी $E$ संयोग; देखें [केएम], 2.13.

• $C^{\infty }(\mathbb {R} ,E).$
• सभी लिप्सचिट्ज़ वक्रों का सेट (ताकि $\left\{{\dfrac {c(t)-c(s)}{t-s}}:t\neq s{,}|t|,|s|\leq C\right\}$ में घिरा हुआ है $E,$ प्रत्येक के लिए $C$).
• इंजेक्शन का सेट $E_{B}\to E$ कहाँ $B$ सभी परिबद्ध बिल्कुल उत्तल सेट उपसमुच्चय से होकर गुजरता है $E,$ और कहाँ $E_{B}$ का रैखिक विस्तार है $B$ मिन्कोव्स्की कार्यात्मकता से सुसज्जित $\|x\|_{B}:=\inf\{\lambda >0:x\in \lambda B\}.$
• सभी मैके अभिसरण अनुक्रमों का सेट $x_{n}\to x$ (वहां एक क्रम मौजूद है $0<\lambda _{n}\to \infty$ साथ $\lambda _{n}\left(x_{n}-x\right)$ घिरा हुआ)।

इस टोपोलॉजी को कहा जाता है $c^{\infty }$-टोपोलॉजी चालू $E$ और हम लिखते हैं $c^{\infty }E$ परिणामी टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए। सामान्य तौर पर (अंतरिक्ष पर $D$ वास्तविक रेखा पर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्यों का, उदाहरण के लिए) यह दिए गए स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी से बेहतर है, यह एक वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी नहीं है, क्योंकि जोड़ अब संयुक्त रूप से निरंतर नहीं है। अर्थात्, यहां तक ​​कि $c^{\infty }(D\times D)\neq \left(c^{\infty }D\right)\times \left(c^{\infty }D\right).$ सभी स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी में सबसे बढ़िया $E$ जो की तुलना में मोटे हैं $c^{\infty }E$ दिए गए स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी का जन्मस्थान है। अगर $E$ तो फिर, यह एक फ़्रेचेट स्थान है $c^{\infty }E=E.$

सुविधाजनक वेक्टर रिक्त स्थान

एक स्थानीय रूप से उत्तल वेक्टर स्थान $E$ इसे एक सुविधाजनक सदिश समष्टि कहा जाता है यदि निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से कोई एक शर्त लागू होती है (कहा जाता है)। $c^{\infty }$-पूर्णता); देखें [केएम], 2.14.

• किसी के लिए $c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ (रीमैन-) अभिन्न $\int _{0}^{1}c(t)\,dt$ में मौजूद है $E$.
• कोई भी लिप्सचिट्ज़ वक्र $E$ स्थानीय रूप से रीमैन एकीकृत है।
• कोई भी अदिश वार $C^{\infty }$ वक्र है $C^{\infty }$: एक वक्र $c:\mathbb {R} \to E$ चिकनी है अगर और केवल अगर रचना $\lambda \circ c:t\mapsto \lambda (c(t))$ में है $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ सभी के लिए $\lambda \in E^{*}$ कहाँ $E^{*}$ सभी सतत रैखिक कार्यात्मकताओं का द्वैत है $E$.
  • समान रूप से, सभी के लिए $\lambda \in E'$, सभी परिबद्ध रैखिक कार्यात्मकताओं का द्वैत।
  • समान रूप से, सभी के लिए $\lambda \in V$, कहाँ $V$ का एक उपसमुच्चय है $E'$ जो परिबद्ध उपसमुच्चय को पहचानता है $E$; देखें [केएम], 5.22.
• कोई भी मैके-कॉची-अनुक्रम (अर्थात्, $t_{nm}(x-x_{m})\to 0$ कुछ के लिए $t_{nm}\to \infty$ में $\mathbb {R}$ में एकत्रित हो जाता है $E$. यह स्पष्टतः एक हल्की पूर्णता आवश्यकता है।
• अगर $B$ तब, पूर्णतया उत्तल रूप से बंद होता है $E_{B}$ एक बानाच स्थान है।
• अगर $f:\mathbb {R} \to E$ अदिश बुद्धिमान है ${\text{Lip}}^{k}$, तब $f$ है ${\text{Lip}}^{k}$, के लिए $k>1$.
• अगर $f:\mathbb {R} \to E$ अदिश बुद्धिमान है $C^{\infty }$ तब $f$ पर भिन्न है $0$.

यहाँ एक मानचित्रण है $f:\mathbb {R} \to E$ कहा जाता है ${\text{Lip}}^{k}$ मैं गिरा ऑर्डर तक डेरिवेटिव $k$ मौजूद हैं और स्थानीय स्तर पर लिप्सचिट्ज़ हैं $\mathbb {R}$.

सुचारू मैपिंग

होने देना $E$ और $F$ सुविधाजनक वेक्टर स्थान बनें, और जाने $U\subseteq E$ होना $c^{\infty }$-खुला। एक मानचित्रण $f:U\to F$ चिकना या कहा जाता है

$C^{\infty }$, यदि रचना $f\circ c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,F)$ सभी के लिए $c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U)$. देखें [केएम], 3.11.

चिकने कलन के मुख्य गुण

1. फ़्रेचेट स्थानों पर मानचित्रों के लिए चिकनाई की यह धारणा अन्य सभी उचित परिभाषाओं से मेल खाती है। पर $\mathbb {R} ^{2}$ यह एक गैर-तुच्छ प्रमेय है, जिसे बोमन, 1967 द्वारा सिद्ध किया गया है। [केएम], 3.4 भी देखें।

2. बहुरेखीय मानचित्रण सुचारू होते हैं यदि और केवल यदि वे परिबद्ध हों ([KM], 5.5)।

3. यदि $f:E\supseteq U\to F$ व्युत्पन्न के बाद चिकनी है $df:U\times E\to F$ चिकना है, और भी $df:U\to L(E,F)$ जहां चिकनी है $L(E,F)$ परिबद्ध उपसमुच्चय पर समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ सभी परिबद्ध रैखिक मानचित्रणों के स्थान को दर्शाता है; देखें [केएम], 3.18.

4. श्रृंखला नियम धारण करता है ([KM], 3.18)।

5. अंतरिक्ष $C^{\infty }(U,F)$ सभी सुचारु मानचित्रणों का $U\to F$ यह फिर से एक सुविधाजनक वेक्टर स्थान है जहां संरचना निम्नलिखित इंजेक्शन द्वारा दी गई है, जहां $C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ प्रत्येक व्युत्पन्न में कॉम्पैक्ट अभिसरण की टोपोलॉजी को अलग से रखता है; [केएम], 3.11 और 3.7 देखें।

$C^{\infty }(U,F)\to \prod _{c\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,U),\ell \in F^{*}}C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ),\quad f\mapsto (\ell \circ f\circ c)_{c,\ell }\,.$

6. घातांकीय नियम ([KM], 3.12) रखता है: के लिए $c^{\infty }$-खुला $V\subseteq F$ निम्नलिखित मानचित्रण सुविधाजनक वेक्टर स्थानों का एक रैखिक भिन्नता है।

$C^{\infty }(U,C^{\infty }(V,G))\cong C^{\infty }(U\times V,G),\qquad f\mapsto g,\qquad f(u)(v)=g(u,v).$

यह वैरिएबल कैलकुलस की मुख्य धारणा है। यहाँ यह एक प्रमेय है. यह संपत्ति सुविधाजनक नाम का स्रोत है, जिसे (स्टीनरोड 1967) से उधार लिया गया था।

7. चिकनी एकसमान सीमा प्रमेय ([केएम], प्रमेय 5.26)। एक रेखीय मानचित्रण $f:E\to C^{\infty }(V,G)$ चिकना है ((2) बाउंडेड के बराबर) यदि और केवल यदि $\operatorname {ev} _{v}\circ f:V\to G$ प्रत्येक के लिए सहज है $v\in V$.

8. निम्नलिखित कैनोनिकल मैपिंग सुचारू हैं। यह सरल श्रेणीगत तर्कों द्वारा घातांकीय नियम का अनुसरण करता है, देखें [केएम], 3.13।

${\begin{aligned}&\operatorname {ev} :C^{\infty }(E,F)\times E\to F,\quad {\text{ev}}(f,x)=f(x)\\[6pt]&\operatorname {ins} :E\to C^{\infty }(F,E\times F),\quad {\text{ins}}(x)(y)=(x,y)\\[6pt]&(\quad )^{\wedge }:C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\to C^{\infty }(E\times F,G)\\[6pt]&(\quad )^{\vee }:C^{\infty }(E\times F,G)\to C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))\\[6pt]&\operatorname {comp} :C^{\infty }(F,G)\times C^{\infty }(E,F)\to C^{\infty }(E,G)\\[6pt]&C^{\infty }(\quad ,\quad ):C^{\infty }(F,F_{1})\times C^{\infty }(E_{1},E)\to C^{\infty }(C^{\infty }(E,F),C^{\infty }(E_{1},F_{1})),\quad (f,g)\mapsto (h\mapsto f\circ h\circ g)\\[6pt]&\prod :\prod C^{\infty }(E_{i},F_{i})\to C^{\infty }\left(\prod E_{i},\prod F_{i}\right)\end{aligned}}$

संबंधित सुविधाजनक गणना

चिकनी मैपिंग का सुविधाजनक कैलकुलस पहली बार [फ्रोलिचर, 1981], [क्रिगल 1982, 1983] में दिखाई दिया। सुविधाजनक कैलकुलस (गुण 6 और 7 वाले) इसके लिए भी मौजूद हैं:

• वास्तविक विश्लेषणात्मक मैपिंग (क्रिगल, मिचोर, 1990; यह भी देखें [केएम], अध्याय II)।
• होलोमोर्फिक मैपिंग (क्रिग्ल, नेल, 1985; यह भी देखें [केएम], अध्याय 2)। होलोमोर्फी की धारणा [फ़ैंटापी, 1930-33] की है।
• डेनजॉय कार्लेमैन अल्ट्राडिफरेंशियल फ़ंक्शंस के कई वर्ग, बर्लिंग प्रकार और रूमियू-प्रकार दोनों के [क्रिगल, मिचोर, रेनर, 2009, 2011, 2015]।
• कुछ अनुकूलन के साथ, $\operatorname {Lip} ^{k}$, [एफके]।
• अधिक अनुकूलन के साथ भी $C^{k,\alpha }$ (अर्थात, $k$-वां व्युत्पन्न सूचकांक के साथ धारक-निरंतर है $\alpha$) ([फौरे, 1989], [फौरे, दिस जिनेवे, 1991])।

इन सभी सिद्धांतों के लिए सुविधाजनक वेक्टर स्पेस की संबंधित धारणा समान है (जटिल मामले में उनके अंतर्निहित वास्तविक वेक्टर स्पेस के लिए)।

अनुप्रयोग: परिमित आयामी मैनिफोल्ड्स के बीच मैपिंग के मैनिफोल्ड्स

सुविधाजनक कैलकुलस का घातीय नियम 6 मैपिंग के कई गुना के बारे में बुनियादी तथ्यों के बहुत सरल प्रमाण की अनुमति देता है। होने देना $M$ और $N$ जहां परिमित आयामी विभेदक कई गुना हो $M$ सघन स्थान है. हम एक का उपयोग करते हैं सहायक रीमैनियन मैनिफोल्ड ${\bar {g}}$ पर $N$. का घातीय मानचित्र (रीमानियन ज्यामिति)। ${\bar {g}}$ निम्नलिखित चित्र में वर्णित है:

यह अंतरिक्ष पर चार्ट का एक एटलस उत्पन्न करता है $C^{\infty }(M,N)$ सभी सुचारु मानचित्रणों का $M\to N$ निम्नलिखित नुसार।

एक चार्ट केन्द्रित है $f\in C^{\infty }(M,N)$, है:

$u_{f}:C^{\infty }(M,N)\supset U_{f}=\{g:(f,g)(M)\subset V^{N\times N}\}\to {\tilde {U}}_{f}\subset \Gamma (f^{*}TN),$

$u_{f}(g)=(\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})^{-1}\circ (f,g),\quad u_{f}(g)(x)=(\exp _{f(x)}^{\bar {g}})^{-1}(g(x)),$

$(u_{f})^{-1}(s)=\exp _{f}^{\bar {g}}\circ s,\qquad \quad (u_{f})^{-1}(s)(x)=\exp _{f(x)}^{\bar {g}}(s(x)).$

अब बुनियादी तथ्य आसानी से सामने आ जाते हैं। पुल बैक वेक्टर बंडल को तुच्छ बनाना $f^{*}TN$ और घातांकीय नियम 6 को लागू करने से भिन्नता उत्पन्न होती है

$C^{\infty }(\mathbb {R} ,\Gamma (M;f^{*}TN))=\Gamma (\mathbb {R} \times M;\operatorname {pr_{2}} ^{*}f^{*}TN).$ सभी चार्ट परिवर्तन मैपिंग सुचारू हैं ($C^{\infty }$) चूँकि मानचित्र चिकने वक्र से चिकने वक्र तक जाता है:

${\tilde {U}}_{f_{1}}\ni s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ s\mapsto (\pi _{N},\exp ^{\bar {g}})\circ (f_{2},\exp _{f_{1}}^{\bar {g}}\circ s).$

इस प्रकार $C^{\infty }(M,N)$फ़्रेचेट रिक्त स्थान पर तैयार किया गया एक स्मूथ मैनिफोल्ड है। इस मैनिफ़ोल्ड में सभी चिकने वक्रों का स्थान किसके द्वारा दिया गया है

$C^{\infty }(\mathbb {R} ,C^{\infty }(M,N))\cong C^{\infty }(\mathbb {R} \times M,N).$

चूँकि यह स्पष्ट रूप से चिकने वक्रों से चिकने वक्रों, रचना का मानचित्रण करता है

$C^{\infty }(P,M)\times C^{\infty }(M,N)\to C^{\infty }(P,N),\qquad (f,g)\mapsto g\circ f,$ चिकना है. चार्ट संरचना के परिणामस्वरूप, मैपिंग के मैनिफोल्ड का स्पर्शरेखा बंडल दिया गया है

$\pi _{C^{\infty }(M,N)}=C^{\infty }(M,\pi _{N}):TC^{\infty }(M,N)=C^{\infty }(M,TN)\to C^{\infty }(M,N).$

नियमित झूठ समूह

होने देना $G$ लाई बीजगणित के साथ सुविधाजनक वेक्टर स्थानों पर आधारित एक जुड़ा हुआ सहज लाई समूह बनें

${\mathfrak {g}}=T_{e}G$. गुणन और व्युत्क्रम को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है:

$\mu :G\times G\to G,\quad \mu (x,y)=x.y=\mu _{x}(y)=\mu ^{y}(x),\qquad \nu :G\to G,\nu (x)=x^{-1}.$

नियमित लाई समूह की धारणा मूल रूप से ओमोरी एट अल के कारण है। फ़्रेचेट लाई समूहों के लिए, जे. मिल्नोर द्वारा कमजोर कर दिया गया और अधिक पारदर्शी बना दिया गया, और फिर इसे सुविधाजनक लाई समूहों में ले जाया गया; देखें [केएम], 38.4.

एक झूठ समूह $G$ यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं तो इसे नियमित कहा जाता है:

• प्रत्येक चिकने वक्र के लिए $X\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})$ लाई बीजगणित में एक चिकना वक्र मौजूद होता है $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,G)$ लाई समूह में जिसका सही लघुगणकीय व्युत्पन्न है $X$. यह वैसा ही निकला $g$ इसके आरंभिक मूल्य से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है $g(0)$, यदि यह मौजूद है। वह है,

$g(0)=e,\qquad \partial _{t}g(t)=T_{e}(\mu ^{g(t)})X(t)=X(t).g(t).$

अगर $g$ वक्र के लिए अद्वितीय समाधान है $X$ ऊपर आवश्यक है, हम निरूपित करते हैं

$\operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=g(1),\quad \operatorname {Evol} _{G}^{r}(X)(t):=g(t)=\operatorname {evol} _{G}^{r}(tX).$ * निम्नलिखित मैपिंग का सुचारू होना आवश्यक है:

$\operatorname {evol} _{G}^{r}:C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {g}})\to G.$

अगर $X$ तो, लाई बीजगणित में एक स्थिर वक्र है $\operatorname {evol} _{G}^{r}(X)=\exp ^{G}(X)$ समूह घातीय मानचित्रण है.

प्रमेय. प्रत्येक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के लिए $M$, भिन्नता समूह $\operatorname {Diff} (M)$ एक नियमित झूठ समूह है. इसका झूठ बीजगणित ही स्थान है ${\mathfrak {X}}(M)$ सभी चिकने सदिश क्षेत्रों पर $M$, सामान्य ब्रैकेट के नकारात्मक को लाई ब्रैकेट के रूप में।

प्रमाण: भिन्नता समूह $\operatorname {Diff} (M)$ यह एक सहज मैनिफोल्ड है क्योंकि यह एक खुला उपसमुच्चय है $C^{\infty }(M,M)$. प्रतिबंध से रचना सहज होती है। उलटा चिकनी है: यदि $t\to f(t,\ )$ में एक चिकना वक्र है $\operatorname {Diff} (M)$, तब f(t,  )⁻¹
$f(t,\ )^{-1}(x)$ निहित समीकरण को संतुष्ट करता है

$f(t,f(t,\quad )^{-1}(x))=x$, इसलिए परिमित आयामी अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा, $(t,x)\mapsto f(t,\ )^{-1}(x)$ चिकना है. इसलिए व्युत्क्रम चिकने वक्रों को चिकने वक्रों में मैप करता है, और इस प्रकार व्युत्क्रम सुचारू होता है।

होने देना $X(t,x)$ एक समय पर निर्भर वेक्टर फ़ील्ड बनें $M$ (में $C^{\infty }(\mathbb {R} ,{\mathfrak {X}}(M))$). फिर प्रवाह संचालक $\operatorname {Fl}$ संबंधित स्वायत्त वेक्टर क्षेत्र का $\partial _{t}\times X$ पर $\mathbb {R} \times M$ के माध्यम से विकास संचालक को प्रेरित करता है

$\operatorname {Fl} _{s}(t,x)=(t+s,\operatorname {Evol} (X)(t,x))$ जो साधारण अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है

$\partial _{t}\operatorname {Evol} (X)(t,x)=X(t,\operatorname {Evol} (X)(t,x)).$

लाई बीजगणित में एक चिकने वक्र को देखते हुए, $X(s,t,x)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2},{\mathfrak {X}}(M))$, तब साधारण अवकल समीकरण का समाधान आगे के चर पर भी सुचारू रूप से निर्भर करता है $s$, इस प्रकार $\operatorname {evol} _{\operatorname {Diff} (M)}^{r}$ समय पर निर्भर सदिश क्षेत्रों के चिकने वक्रों को चिकने वक्रों में मैप करता है भिन्नता. QED.

एंबेडिंग का प्रमुख बंडल

परिमित आयामी अनेक गुनाओं के लिए $M$ और $N$ साथ $M$ कॉम्पैक्ट, अंतरिक्ष $\operatorname {Emb} (M,N)$ के सभी चिकनी एम्बेडिंग की $M$ में $N$, में खुला है $C^{\infty }(M,N)$, तो यह एक सहज विविधता है। भिन्नता समूह $\operatorname {Diff} (M)$ दाईं ओर से स्वतंत्र और सुचारू रूप से कार्य करता है $\operatorname {Emb} (M,N)$.

प्रमेय: $\operatorname {Emb} (M,N)\to \operatorname {Emb} (M,N)/\operatorname {Diff} (M)$ संरचना समूह के साथ एक प्रमुख फाइबर बंडल है $\operatorname {Diff} (M)$.

प्रमाण: एक बार फिर एक सहायक रीमैनियन मीट्रिक का उपयोग किया जाता है ${\bar {g}}$ पर $N$. दिया गया $f\in \operatorname {Emb} (M,N)$, देखना $f(M)$ के उपमान के रूप में $N$, और स्पर्शरेखा बंडल के प्रतिबंध को विभाजित करें $TN$ को $f(M)$ सामान्य रूप से सबबंडल में $f(M)$ और स्पर्शरेखीय $f(M)$ जैसा $TN|_{f(M)}=\operatorname {Nor} (f(M))\oplus Tf(M)$. एक ट्यूबलर पड़ोस चुनें

$p_{f(M)}:\operatorname {Nor} (f(M))\supset W_{f(M)}\to f(M).$

अगर $g:M\to N$ है $C^{1}$-के नजदीक $f$, तब

$\phi (g):=f^{-1}\circ \,p_{f(M)}\circ \,g\in \operatorname {Diff} (M)\quad {\text{and}}\quad g\circ \,\phi (g)^{-1}\in \Gamma (f^{*}W_{f(M)})\subset \Gamma (f^{*}\operatorname {Nor} (f(M))).$

यह आवश्यक स्थानीय विभाजन है. QED

आगे के अनुप्रयोग

आकार स्थानों और भिन्नरूपता समूहों की ज्यामिति का उपयोग करने वाले अनुप्रयोगों का अवलोकन [बाउर, ब्रुवेरिस, मिचोर, 2014] में पाया जा सकता है।

संदर्भ

• Bauer, M., Bruveris, M., Michor, P.W.: Overview of the Geometries of Shape Spaces and Diffeomorphism Groups. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 50, 1-2, 60-97, 2014. (arXiv:1305.11500)
• Boman, J.: Differentiability of a function and of its composition with a function of one variable, Mathematica Scandinavia vol. 20 (1967), 249–268.
• Faure, C.-A.: Sur un théorème de Boman, C. R. Acad. Sci., Paris}, vol. 309 (1989), 1003–1006.
• Faure, C.-A.: Théorie de la différentiation dans les espaces convenables, These, Université de Genève, 1991.
• Frölicher, A.: Applications lisses entre espaces et variétés de Fréchet, C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 293 (1981), 125–127.
• [FK] Frölicher, A., Kriegl, A.: Linear spaces and differentiation theory. Pure and Applied Mathematics, J. Wiley, Chichester, 1988.
• Kriegl, A.: Die richtigen Räume für Analysis im Unendlich – Dimensionalen, Monatshefte für Mathematik vol. 94 (1982) 109–124.
• Kriegl, A.: Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie glatter Abbildungen zwischen beliebigen lokalkonvexen Vektorräumen, Monatshefte für Mathematik vol. 95 (1983) 287–309.
• [KM] Kriegl, A., Michor, P.W.: The Convenient Setting of Global Analysis. Mathematical Surveys and Monographs, Volume: 53, American Mathematical Society, Providence, 1997. (pdf)
• Kriegl, A., Michor, P. W., Rainer, A.: The convenient setting for non-quasianalytic Denjoy–Carleman differentiable mappings, Journal of Functional Analysis, vol. 256 (2009), 3510–3544. (arXiv:0804.2995)
• Kriegl, A., Michor, P. W., Rainer, A.: The convenient setting for quasianalytic Denjoy–Carleman differentiable mappings, Journal of Functional Analysis, vol. 261 (2011), 1799–1834. (arXiv:0909.5632)
• Kriegl, A., Michor, P. W., Rainer, A.: The convenient setting for Denjoy-Carleman differentiable mappings of Beurling and Roumieu type. Revista Matemática Complutense (2015). doi:10.1007/s13163-014-0167-1. (arXiv:1111.1819)
• Michor, P.W.: Manifolds of mappings and shapes. (arXiv:1505.02359)
• Steenrod, N. E.: A convenient category for topological spaces, Michigan Mathematical Journal, vol. 14 (1967), 133–152.