सूचना बीजगणित

शब्द ''सूचना बीजगणित'' इनफार्मेशन प्रोसेसिंग की गणितीय तकनीकों को संदर्भित करता है। मौलिक सूचना सिद्धांत क्लाउड शैनन पर वापस जाता है। यह संचार और संचय को देखते हुए सूचना प्रसारण का सिद्धांत है। चूंकि, अब तक इस तथ्य पर विचार नहीं किया गया है कि जानकारी विभिन्न स्रोतों से आती है और इसलिए यह सामान्यतः संयुक्त होती है। मौलिक सूचना सिद्धांत में इसकी भी उपेक्षा की गई है कि कोई व्यक्ति सूचना के भाग से उन भागो को निकालना चाहता है जो विशिष्ट प्रश्नों के लिए प्रासंगिक हैं।

इन परिचालनों का गणितीय वाक्यांशीकरण सूचना के बीजगणित की ओर ले जाता है, जो इनफार्मेशन प्रोसेसिंग के मूलभूत विधियो का वर्णन करता है। इस प्रकार के बीजगणित में कंप्यूटर विज्ञान की कई औपचारिकताएँ सम्मिलित होती हैं, जो सतह पर भिन्न प्रतीत होती हैं: संबंधपरक डेटाबेस, औपचारिक तर्क की कई प्रणालियाँ या रैखिक बीजगणित की संख्यात्मक समस्याएं है। यह इनफार्मेशन प्रोसेसिंग की सामान्य प्रक्रियाओं के विकास की अनुमति देता है और इस प्रकार विशेष रूप से डिस्ट्रिब्यूटेड इनफार्मेशन प्रोसेसिंग के कंप्यूटर विज्ञान के मूलभूत विधियो के एकीकरण की अनुमति देता है।

जानकारी स्पष्ट प्रश्नों से संबंधित है, विभिन्न स्रोतों से आती है, एकत्रित की जानी चाहिए, और रुचि के प्रश्नों पर ध्यान केंद्रित किया जा सकता है। इन विचारों से प्रारंभ होकर, सूचना बीजगणित (कोहलास 2003) संरचना (गणितीय तर्क) दो-क्रमबद्ध बीजगणित $(\Phi ,D)$, जहां $\Phi$ अर्धसमूह है, जो सूचना $D$ के संयोजन या एकत्रीकरण का प्रतिनिधित्व करता है, डोमेन सिद्धांतो (प्रश्नों से संबंधित) का जालक (क्रम) है जिसका आंशिक क्रम डोमेन या प्रश्न की ग्रैन्युलैरिटी को दर्शाता है, और मिश्रित ऑपरेशन जानकारी के फोकस या निष्कर्षण का प्रतिनिधित्व करता है।

सूचना और उसके संचालन

अधिक स्पष्ट रूप से, दो-क्रम वाले बीजगणित में $(\Phi ,D)$, निम्नलिखित परिचालन परिभाषित हैं

संयोजन $\otimes :\Phi \otimes \Phi \rightarrow \Phi ,~(\phi ,\psi )\mapsto \phi \otimes \psi$ ध्यान केंद्रित $\Rightarrow :\Phi \otimes D\rightarrow \Phi ,~(\phi ,x)\mapsto \phi ^{\Rightarrow x}$

इसके अतिरिक्त, में $D$ सामान्य जालक संचालन (मिलना और जुड़ना) परिभाषित हैं।

अभिगृहीत और परिभाषा

जालक $D$ के स्वयंसिद्धों के अतिरिक्त दो क्रमबद्ध बीजगणित $(\Phi ,D)$ के स्वयंसिद्ध

अर्धसमूह एक तटस्थ तत्व (रिक्त जानकारी का प्रतिनिधित्व) $\Phi$ के साथ संयोजन के अधीन एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह है संयोजन पर ध्यान केंद्रित करने का वितरण $(\phi ^{\Rightarrow x}\otimes \psi )^{\Rightarrow x}=\phi ^{\Rightarrow x}\otimes \psi ^{\Rightarrow x}$ डोमेन $x$ पर एक अन्य जानकारी के साथ संयुक्त रूप से $x$ पर ध्यान केंद्रित करने के लिए, पहले दूसरी जानकारी को $x$ पर केंद्रित किया जा सकता है और फिर संयोजित किया जा सकता है। ध्यान केंद्रित परिवर्तनशीलता $(\phi ^{\Rightarrow x})^{\Rightarrow y}=\phi ^{\Rightarrow x\wedge y}$ किसी सूचना को $x$ और $y$ पर केंद्रित करने के लिए उसे $x\wedge y$ पर केंद्रित किया जा सकता है निरर्थकता $\phi \otimes \phi ^{\Rightarrow x}=\phi$ कोई भी जानकारी अपने ही एक भाग के साथ मिलकर कुछ नया नहीं देती। सहायता $\forall \phi \in \Phi ,~\exists x\in D$ such that $\phi =\phi ^{\Rightarrow x}$ प्रत्येक जानकारी कम से कम एक डोमेन (प्रश्न) को संदर्भित करती है।

दो प्रकार का बीजगणित $(\Phi ,D)$ इन सिद्धांतों को संतुष्ट करना सूचना बीजगणित कहलाता है।

जानकारी का क्रम

सूचना का आंशिक क्रम परिभाषित करके प्रस्तुत किया जा सकता है $\phi \leq \psi$ यदि $\phi \otimes \psi =\psi$. इस का अर्थ है कि $\phi$ ,$\psi$ की तुलना में कम जानकारीपूर्ण है यदि यह $\psi$ में कोई नई जानकारी नहीं जोड़ी जाती है . अर्धसमूह $\Phi$ इस आदेश के सापेक्ष अर्धजाल है, अर्थात $\phi \otimes \psi =\phi \vee \psi$. किसी भी डोमेन से संबंधित (प्रश्न) $x\in D$ परिभाषित $\phi \leq _{x}\psi$ यदि $\phi ^{\Rightarrow x}\leq \psi ^{\Rightarrow x}$ करके आंशिक आदेश प्रस्तुत किया जा सकता है. यह डोमेन (प्रश्न) $x$ के सापेक्ष $\phi$ और $\psi$ की सूचना सामग्री के क्रम का प्रतिनिधित्व करता है

लेबल की गई जानकारी बीजगणित

जोड़े $(\phi ,x)\$, जहां $\phi \in \Phi$ और $x\in D$ ऐसा है कि $\phi ^{\Rightarrow x}=\phi$ लेबल सूचना बीजगणित बनाएं। अधिक स्पष्ट रूप से, दो-क्रम वाले बीजगणित में $(\Phi ,D)\$, निम्नलिखित परिचालन परिभाषित हैं

लेबलिंग $d(\phi ,x)=x\$ संयोजन $(\phi ,x)\otimes (\psi ,y)=(\phi \otimes \psi ,x\vee y)~~~~$ प्रक्षेपण $(\phi ,x)^{\downarrow y}=(\phi ^{\Rightarrow y},y){\text{ for }}y\leq x$

सूचना बीजगणित के मॉडल

यहां सूचना बीजगणित के उदाहरणों की अधूरी सूची दी गई है:

• संबंधपरक बीजगणित: संयोजन और सामान्य प्रक्षेपण के रूप में प्राकृतिक जुड़ाव के साथ एक संबंधपरक बीजगणित का घटाव एक लेबल सूचना बीजगणित है, उदाहरण देखें।।
• बाध्य प्रणालियाँ: बाधाएँ सूचना बीजगणित बनाती हैं (जाफर & माहेर 1994).
• सेमिरिंग मूल्यवान बीजगणित: सी-सेमिरिंग सूचना बीजगणित को प्रेरित करता है (बिस्टारेली, मोंटानारी & Rossi1997);(बिस्टारेली et al. 1999);(कोहलास & विल्सन 2006).
• तर्क: कई तर्क प्रणालियाँ सूचना बीजगणित को प्रेरित करती हैं (विल्सन & मेंगिन 1999). बेलनाकार बीजगणित का घटाव (Henkin, Monk & टार्स्की 1971) या पॉलीएडिक बीजगणित विधेय तर्क (हेल्मोस 2000) से संबंधित सूचना बीजगणित हैं।
• मॉड्यूल (गणित): (बर्गस्ट्रा, हीरिंग & क्लिंट 1990);(डे लावलेट 1992).
• रैखिक प्रणालियाँ: रैखिक समीकरणों या रैखिक असमानताओं की प्रणालियाँ सूचना बीजगणित (कोहलास 2003) को प्रेरित करती हैं.

कार्यान्वित उदाहरण: संबंधपरक बीजगणित

मान लीजिए ${\mathcal {A}}$ प्रतीकों का एक समूह है, जिसे विशेषताएँ (या स्तंभ नाम) कहा जाता है। प्रत्येक $\alpha \in {\mathcal {A}}$ के लिए $U_{\alpha }$ को एक गैर-रिक्त सेट होने दें, विशेषता $\alpha$ के सभी संभावित मानों का सेट उदाहरण के लिए, यदि ${\mathcal {A}}=\{{\texttt {name}},{\texttt {age}},{\texttt {income}}\}$ है तो $U_{\texttt {name}}$ जबकि, स्ट्रिंग्स का सेट हो $U_{\texttt {age}}$ और $U_{\texttt {income}}$ दोनों गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय हैं।

मान लीजिए $x\subseteq {\mathcal {A}}$ . एक $x$ टुपल एक फलन $f$ है जिससे प्रत्येक $x$-टुपल्स के लिए ${\hbox{dom}}(f)=x$ और $f(\alpha )\in U_{\alpha }$ हो। सभी $E_{x}$ टुपल्स का सेट $x$-टुपल द्वारा दर्शाया गया है। $f$ टुपल $y\subseteq x$ और एक उपसमुच्चय $f[y]$ के लिए प्रतिबंध $y$-टुपल को $g$ जिससे $g(\alpha )=f(\alpha )$ सभी के लिए $\alpha \in y$ में परिभाषित किया गया है.

एक संबंध $R$ पर $x$, $x$-ट्यूपल्स, का एक सेट है, अर्थात $E_{x}$ का एक उपसमुच्चय गुण $x$ के सेट को $R$ का डोमेन कहा जाता है और $d(R)$ द्वारा दर्शाया जाता है $y\subseteq d(R)$ के लिए $R$ से $y$ का प्रक्षेपण निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$\pi _{y}(R):=\{f[y]\mid f\in R\}.$

संबंध $R$ पर $x$ और संबंध $S$ पर $y$ का जोड़ इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$R\bowtie S:=\{f\mid f\quad (x\cup y){\hbox{-tuple}},\quad f[x]\in R,\;f[y]\in S\}.$

उदाहरण के रूप पर, मान लीजिए कि $R$ और $S$ निम्नलिखित संबंध हैं:

$R={\begin{matrix}{\texttt {name}}&{\texttt {age}}\\{\texttt {A}}&{\texttt {34}}\\{\texttt {B}}&{\texttt {47}}\\\end{matrix}}\qquad S={\begin{matrix}{\texttt {name}}&{\texttt {income}}\\{\texttt {A}}&{\texttt {20'000}}\\{\texttt {B}}&{\texttt {32'000}}\\\end{matrix}}$

फिर $R$ और $S$ का जोड़ है:

$R\bowtie S={\begin{matrix}{\texttt {name}}&{\texttt {age}}&{\texttt {income}}\\{\texttt {A}}&{\texttt {34}}&{\texttt {20'000}}\\{\texttt {B}}&{\texttt {47}}&{\texttt {32'000}}\\\end{matrix}}$

संयोजन के रूप में प्राकृतिक जुड़ाव $\bowtie$ और सामान्य प्रक्षेपण $\pi$ के साथ एक संबंधपरक डेटाबेस एक सूचना बीजगणित है।.तब से संचालन उचित प्रकार से परिभाषित हैं:

• $d(R\bowtie S)=d(R)\cup d(S)$
• यदि $x\subseteq d(R)$, तब $d(\pi _{x}(R))=x$.

यह देखना सरल है कि रिलेशनल डेटाबेस किसी लेबल के सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं

सूचना बीजगणित:

अर्धसमूह

$(R_{1}\bowtie R_{2})\bowtie R_{3}=R_{1}\bowtie (R_{2}\bowtie R_{3})$ और $R\bowtie S=S\bowtie R$

परिवर्तनशीलता

यदि $x\subseteq y\subseteq d(R)$, तब $\pi _{x}(\pi _{y}(R))=\pi _{x}(R)$.

संयोजन

यदि $d(R)=x$ और $d(S)=y$, तब $\pi _{x}(R\bowtie S)=R\bowtie \pi _{x\cap y}(S)$.

निष्क्रियता

यदि $x\subseteq d(R)$, तब $R\bowtie \pi _{x}(R)=R$.

समर्थन

यदि $x=d(R)$, तब $\pi _{x}(R)=R$.

सम्बन्ध

मूल्यांकन बीजगणित

निष्क्रियता सिद्धांत को छोड़ने से मूल्यांकन बीजगणित होता है। इन सिद्धांतों का परिचय किसके द्वारा दिया गया है? (शेनॉय & शेफर 1990) स्थानीय संगणना योजनाओं को सामान्य बनाने के लिए (लॉरिटज़ेन & स्पीगेलहाल्टर 1988) बायेसियन नेटवर्क से लेकर अधिक सामान्य औपचारिकताओं तक, जिसमें विश्वास कार्य, संभावना क्षमताएं आदि सम्मिलित हैं। (कोहलास & शेनॉय 2000). विषय पर पुस्तक-लंबाई प्रदर्शनी के लिए देखें पॉली & कोहलास (2011).

डोमेन और सूचना प्रणाली

संक्षिप्त सूचना बीजगणित (कोहलास 2003) स्कॉट डोमेन और स्कॉट सूचना प्रणाली से संबंधित हैं (Scott 1970);(Scott 1982);(Larsen & Winskel 1984).

अनिश्चित जानकारी

सूचना बीजगणित में मूल्यों के साथ यादृच्छिक चर संभाव्य तर्क प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करते हैं (हेनी, कोहलास & लेहमेन 2000).

अर्थ संबंधी जानकारी

सूचना बीजगणित फोकस और संयोजन के माध्यम से जानकारी को प्रश्नों से जोड़कर शब्दार्थ का परिचय देते हैं (ग्रोएनेंडिज्क & स्टॉकहोफ़ 1984);(Floridi 2004).

सूचना प्रवाह

सूचना बीजगणित, विशेष वर्गीकरण में, सूचना प्रवाह से संबंधित हैं (बारवाइज़ & सेलिग्मैन 1997).

ट्री अपघटन

सूचना बीजगणित को पदानुक्रमित ट्री संरचना में व्यवस्थित किया जाता है, और छोटी समस्याओं में विघटित किया जाता है।

अर्धसमूह सिद्धांत

...

संरचनागत मॉडल

ऐसे मॉडल को सूचना बीजगणित के स्वरुप के अन्दर परिभाषित किया जा सकता है: https://arxiv.org/abs/1612.02587

सूचना और मूल्यांकन बीजगणित की विस्तारित स्वयंसिद्ध नींव

सशर्त स्वतंत्रता की अवधारणा सूचना बीजगणित के लिए मूलभूत है और सशर्त स्वतंत्रता के आधार पर सूचना बीजगणित की नई स्वयंसिद्ध नींव, पुराने का विस्तार (ऊपर देखें) उपलब्ध है: https://arxiv। org/abs/1701.02658

ऐतिहासिक रूट

सूचना बीजगणित के लिए अभिगृहीत प्राप्त होते हैं

(शेनॉय और शैफर, 1990) में प्रस्तावित स्वयंसिद्ध प्रणाली, यह भी देखें (शेफर, 1991)।

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