स्टेला ऑक्टांगुला संख्या

124 नियोडिमियम चुंबक खिलौने अष्टकोणीय तारा के आकार में व्यवस्थित हैं

गणित में, एक स्टेला ऑक्टांगुला संख्या, स्टेला ऑक्टांगुला के रूप पर आधारित एक आलंकारिक संख्या है $n (2 n 2 - 1)$ .^[1]^[2]

स्टेला ऑक्टांगुला संख्या का क्रम है

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, ... (sequence A007588 in the OEIS)^[1]

इनमें से केवल दो संख्याएँ वर्ग संख्याएँ हैं।

लजंगग्रेन का समीकरण

केवल दो धनात्मक वर्ग संख्या स्टेला ऑक्टांगुला संख्याएँ हैं, $1$ और $9653449 = 3107 2 = (13 \times 239) 2$ , तदनुसार $n = 1$ और $n = 169$ क्रमश।^[1]^[3] स्क्वायर स्टेला ऑक्टांगुला संख्या का वर्णन करने वाला अण्डाकार वक्र,

m^{2}=n(2n^{2}-1)

समतुल्य वीयरस्ट्रैस रूप में रखा जा सकता है

x^{2}=y^{3}-2y

चर के परिवर्तन से $x = 2 m$ , $y = 2 n$ . क्योंकि दो कारक $n$ और $2 n 2 - 1$ वर्ग संख्या का $m 2$ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, उनमें से प्रत्येक को स्वयं वर्ग होना चाहिए, और चर का दूसरा परिवर्तन $X=m/{\sqrt {n}}$ और $Y={\sqrt {n}}$ जुंगग्रेन के समीकरण की ओर जाता है

X^{2}=2Y^{4}-1

^[3]

कार्ल लुडविग सीगल के एक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक अण्डाकार वक्र में केवल बहुत से पूर्णांक समाधान होते हैं, और Wilhelm Ljunggren (1942) को एक कठिन प्रमाण मिला कि उसके समीकरण का एकमात्र पूर्णांक समाधान था $(1,1)$ और $(239,13)$ , दो वर्ग स्टेला ऑक्टांगुला संख्याओं के अनुरूप।^[4] लुइस जे. मोर्डेल ने अनुमान लगाया कि प्रमाण को सरल बनाया जा सकता है, और बाद के कई लेखकों ने सरलीकरण प्रकाशित किए।^[3]^[5]^[6]

अतिरिक्त अनुप्रयोग

स्टेला ऑक्टांगुला संख्या पार सीढ़ी समस्या के उदाहरणों के पैरामीट्रिक परिवार में उत्पन्न होती है जिसमें सीढ़ी की लंबाई और ऊंचाई और उनके क्रॉसिंग बिंदु की ऊंचाई सभी पूर्णांक होती है। इन उदाहरणों में, दो सीढ़ियों की ऊंचाई के बीच का अनुपात स्टेला ऑक्टांगुला संख्या है।^[7]

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A007588 (Stella octangula numbers: n*(2*n^2 - 1))", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.
↑ Conway, John; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus I (PDF), Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17^{[permanent dead link]}.
↑ Ljunggren, Wilhelm (1942), "Zur Theorie der Gleichung x² + 1 = Dy⁴", Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., 1942 (5): 27, MR 0016375.
↑ Steiner, Ray; Tzanakis, Nikos (1991), "Simplifying the solution of Ljunggren's equation $X 2 + 1 = 2 Y 4$ [[Category: Templates Vigyan Ready]]" (PDF), Journal of Number Theory, 37 (2): 123–132, doi:10.1016/S0022-314X(05)80029-0, MR 1092598 {{citation}}: URL–wikilink conflict (help).
↑ Draziotis, Konstantinos A. (2007), "The Ljunggren equation revisited", Colloquium Mathematicum, 109 (1): 9–11, doi:10.4064/cm109-1-2, MR 2308822.
↑ Bremner, A.; Høibakk, R.; Lukkassen, D. (2009), "Crossed ladders and Euler's quartic" (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 36: 29–41, MR 2580898.

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W., "Stella Octangula Number", MathWorld

[A007588-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Sloane, N. J. A. (ed.), "Sequence A007588 (Stella octangula numbers: n*(2*n^2 - 1))", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

[2] Conway, John; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9.

[Siksek-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus I (PDF), Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17^{[permanent dead link]}.

[4] Ljunggren, Wilhelm (1942), "Zur Theorie der Gleichung x² + 1 = Dy⁴", Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I., 1942 (5): 27, MR 0016375.

[5] Steiner, Ray; Tzanakis, Nikos (1991), "Simplifying the solution of Ljunggren's equation $X 2 + 1 = 2 Y 4$ [[Category: Templates Vigyan Ready]]" (PDF), Journal of Number Theory, 37 (2): 123–132, doi:10.1016/S0022-314X(05)80029-0, MR 1092598 {{citation}}: URL–wikilink conflict (help).

[6] Draziotis, Konstantinos A. (2007), "The Ljunggren equation revisited", Colloquium Mathematicum, 109 (1): 9–11, doi:10.4064/cm109-1-2, MR 2308822.

[7] Bremner, A.; Høibakk, R.; Lukkassen, D. (2009), "Crossed ladders and Euler's quartic" (PDF), Annales Mathematicae et Informaticae, 36: 29–41, MR 2580898.

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स्टेला ऑक्टांगुला संख्या

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संदर्भ

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