स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह का समूह बीजगणित

फलनात्मक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, समूह बीजगणित विभिन्न निर्माणों में से एक है जो एक स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह को एक प्रचालक बीजगणित (या अधिक सामान्यतः एक बनच बीजगणित) प्रदान करने के लिए है, जैसे कि बीजगणित का प्रतिनिधित्व समूह के प्रतिनिधित्व से संबंधित है। जैसे, वे असतत समूह से जुड़े समूह वलय के समान हैं।

बीजगणित C_c(G) संक्षिप्त समर्थन के साथ निरंतर फलन

यदि G एक स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह है, तो G एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय बायां-अपरिवर्तनीय गणन योगात्मक बोरेल माप μ को एक हार(Haar) उपाय कहा जाता है। हार माप का उपयोग करके, कोई समतल C_c(G) पर एक कनवल्शन संचालन को परिभाषित कर सकता है संक्षिप्त समर्थन के साथ G पर जटिल-मूल्यवान निरंतर फलनों C_c(G) को विभिन्न मानदंडों (गणित) में से कोई भी दिया जा सकता है और पूर्णता (आदेश सिद्धांत) एक बीजगणित समूह का निर्धारण करता है।

कनवल्शन संचालन को परिभाषित करने के लिए, f और g को C_c(G) में दो फलन होने दें। G में t के लिए, इस प्रकार परिभाषित करें

$[f*g](t)=\int _{G}f(s)g\left(s^{-1}t\right)\,d\mu (s).$

यह तथ्य कि $f*g$ वर्चस्व वाले अभिसरण प्रमेय से तत्काल निरंतर है।

$\operatorname {Support} (f*g)\subseteq \operatorname {Support} (f)\cdot \operatorname {Support} (g)$

जहां डॉट G, C_c(G) में गुणनफल के लिए संरक्षित है जिसमे एक प्राकृतिक समावेशन (गणित) भी है जिसे परिभाषित किया गया है:

$f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}\,\Delta (s^{-1})$

जहां Δ हार उपाय है जो G पर मॉड्यूलर फलन इस समावेशन के साथ एक *-बीजगणित प्रमेय है।

'प्रमेय'। मानदंड के साथ:

$\|f\|_{1}:=\int _{G}|f(s)|\,d\mu (s),$

C_c(G) एक अनुमानित पहचान के साथ एक समावेशी आदर्श बीजगणित बन जाता है।

संक्षिप्त समूह से युक्त पहचान के निकट के आधार पर अनुमानित पहचान को अनुक्रमित किया जा सकता है। वास्तव में, यदि V पहचान का एक सघन निकट है, तो f_V में समर्थित एक गैर-नकारात्मक निरंतर फलन हो जैसे कि

$\int _{V}f_{V}(g)\,d\mu (g)=1.$

तब {f_V}_V एक अनुमानित पहचान है। एक समूह बीजगणित की एक पहचान होती है, केवल एक अनुमानित पहचान के विपरीत, सिर्फ समूह पर टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी निहित होती है।

ध्यान दें कि असतत समूहों के लिए, C_c(G) जटिल समूह वलय 'C' [G] जैसा ही है।

समूह बीजगणित का महत्व यह है कि यह G के एकात्मक प्रतिनिधित्व सिद्धांत को दर्शाता है जैसा कि निम्नलिखित में दिखाया गया है

'प्रमेय' संदर्भित करता है कि G स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह है। यदि U एक हिल्बर्ट स्पेस H पर G का दृढ़ता से निरंतर एकात्मक प्रतिनिधित्व है, तो

$\pi _{U}(f)=\int _{G}f(g)U(g)\,d\mu (g)$

मानक बीजगणित C_c(G) का एक गैर-पतित परिबद्ध प्रतिनिधित्व है।

$U\mapsto \pi _{U}$

G के दृढ़ता से निरंतर एकात्मक प्रतिनिधित्व के समूह और C_c(G) के गैर-पतित बाध्य * -प्रतिनिधियों के बीच एक आक्षेप है। यह आपत्ति एकात्मक तुल्यता और मजबूत नियंत्रण का सम्मान करती है। विशेष रूप से, π_U अलघुकरणीय है अर्थात U अलघुकरणीय है।

एक प्रतिनिधित्व की गैर अध:पतन π C_c(G) का हिल्बर्ट स्पेस H_π पर निगमन

$\left\{\pi (f)\xi :f\in \operatorname {C} _{c}(G),\xi \in H_{\pi }\right\}$

H_π में सघन है।

कनवल्शन बीजगणित L¹(G)

यह माप सिद्धांत का एक मानक प्रमेय है कि C_c(G) का पूरा होना L¹(G) में मानक समतल LP समतल के लिए आइसोमोर्फिक है। L¹(G) फलनों के समतुल्य वर्ग जो हार माप के संबंध में पूर्णांक हैं, जहां, सदैव की तरह, दो फलनों को समतुल्य माना जाता है यदि वे हार माप शून्य के एक समूह पर भिन्न होते हैं।

प्रमेय. L¹(G) एक बनच *-बीजगणित है, जो ऊपर बताए गए कनवल्शन प्रोडक्ट और इनवोल्यूशन के साथ है और L¹ मानदंड के साथ L¹(G) की भी एक सीमित अनुमानित पहचान है।

समूह C * - बीजगणित C * (G)

माना कि 'C' [G] असतत समूह G की समूह वलय निर्धारण करता है।

स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह G के लिए, G का समूह C*-बीजगणित C*(G) L के C*-आवरण बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात C¹(G) का पूरा होना C_c(G) के सबसे बड़े C*-मानदंड के संबंध में:

$\|f\|_{C^{*}}:=\sup _{\pi }\|\pi (f)\|,$

जहाँ π C_c(G) के सभी गैर-पतित *-निरूपणों की सीमाएँ हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर, जब G असतत है, तो यह त्रिभुज असमानता से अनुसरण करता है कि किसी भी तरह के लिए π, C_c(G) के समक्ष:

$\|\pi (f)\|\leq \|f\|_{1},$

इसलिए मानदंड अच्छी तरह से परिभाषित है।

यह परिभाषा से यह संदर्भित होता है कि, जब G एक असतत समूह है, तो C*(G) में निम्नलिखित सार्वभौमिक विशेषता है: 'C'[G] से कुछ 'B'(H) तक कोई भी *-समरूपता (C*-बीजगणित) समावेशन मानचित्र के माध्यम से कुछ हिल्बर्ट समतल H) गुणनखंडों पर बाध्य प्रचालकों की संख्या:

$\mathbf {C} [G]\hookrightarrow C_{\max }^{*}(G).$

घटते क्रम का समूह C*-बीजगणित C_r*(G)

घटा हुआ समूह C*-बीजगणित C_r*(G) C_c(G) की पूर्णता है, आदर्श C_c(G) के संबंध में

$\|f\|_{C_{r}^{*}}:=\sup \left\{\|f*g\|_{2}:\|g\|_{2}=1\right\},$

जहाँ

$\|f\|_{2}={\sqrt {\int _{G}|f|^{2}\,d\mu }}$

L² मानदंड है। चूंकि C_c(G) का पूरा होना L² मानदंड के संबंध में एक हिल्बर्ट स्पेस है, C_r* मानदंड L²(G) पर f के साथ कनवल्शन द्वारा अभिनय करने वाले बाउंडेड ऑपरेटर का मानदंड है और इस प्रकार एक C*-मानदंड अनुकूल समूह है।

समान रूप से, C_r*(G) ℓ पर बाएं नियमित प्रतिनिधित्व की छवि द्वारा उत्पन्न C²*(G)-बीजगणित है।

सामान्य तौर पर, C_r*(G) C*(G) का भागफल है। कम किया गया समूह C*-बीजगणित ऊपर परिभाषित गैर-कम किए गए समूह C*-बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है यदि G अनुकूल समूह है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित समूह

G का समूह वॉन न्यूमैन बीजगणित W*(G) C*(G) का वॉन न्यूमैन बीजगणित है।

असतत समूह G² के लिए, हम हिल्बर्ट स्पेस ℓ पर विचार कर सकते हैं, (G) जिसके लिए G² एक अलौकिक आधार है। चूँकि G ℓ(G) पर फलन करता है, आधार सदिशों की अनुमति देकर, हम जटिल समूह वलय 'C'[G]² की पहचान ℓ पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित के एक उप-लजेब्रा (G) के साथ कर सकते हैं, इस सबलजेब्रा, NG का संक्षिप्तीकरण वॉन न्यूमैन बीजगणित है।

फलनात्मक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, समूह बीजगणित विभिन्न निर्माणों में से एक है जो एक स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह को एक प्रचालक बीजगणित (या अधिक सामान्यतः एक बनच बीजगणित) प्रदान करने के लिए है, जैसे कि बीजगणित का प्रतिनिधित्व समूह के प्रतिनिधित्व से संबंधित है। जैसे, वे असतत समूह से जुड़े समूह वलय के समान हैं।

NG के केंद्र को G के उन तत्वों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है जिनके संयुग्मन वर्ग परिमित हैं। विशेष रूप से, यदि G का पहचान तत्व उस विशेषता के साथ एकमात्र समूह तत्व है (अर्थात, G में अनंत संयुग्मन वर्ग गुण है), तो NG के केंद्र में केवल पहचान के जटिल गुणक होते हैं।

NG हाइपरफिनिट टाइप II-1 गुणनखंड के लिए आइसोमॉर्फिक है। हाइपरफिनिट टाइप II₁ गुणनखंड G गणनीय, उत्तरदायी समूह है, और अनंत संयुग्मन वर्ग की विशेषता है।

यह भी देखें

• ग्राफ बीजगणित
• घटना बीजगणित
• स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह का हेके बीजगणित
• पथ बीजगणित
• ग्रुपॉयड बीजगणित
• स्टीरियोटाइप बीजगणित
• स्टीरियोटाइप समूह बीजगणित
• हॉफ बीजगणित

संदर्भ

• Lang, S. (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.
• Vinberg, E.B. (2003). A Course in Algebra. Graduate Studies in Mathematics. Vol. 56. doi:10.1090/gsm/056. ISBN 978-0-8218-3318-6.
• Dixmier, J. (2003). C*-algebras. North Holland. ISBN 978-0444557476.
• Kirillov, A.A. (1976). Elements of the theory of representations. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer. ISBN 978-3-642-66243-0.
• Loomis, L.H. (2011). Introduction to Abstract Harmonic Analysis. Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0486481234.
• A.I. Shtern (2001) [1994], "Group algebra of a locally compact group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press This article incorporates material from Group $C^*$-algebra on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.