स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट कहा जाता है, अगर मोटे तौर पर कहा जाए तो स्पेस का प्रत्येक छोटा हिस्सा कॉम्पैक्ट स्पेस के एक छोटे हिस्से की तरह दिखता है। अधिक सटीक रूप से, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें हर बिंदु का एक कॉम्पैक्ट नेबरहुड (गणित) होता है।

गणितीय विश्लेषण में स्थानीय रूप से सघन स्थान जो हॉसडॉर्फ स्थान हैं, विशेष रुचि रखते हैं; उन्हें LCH रिक्त स्थान के रूप में संक्षिप्त किया गया है।^[1]

औपचारिक परिभाषा

एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। आमतौर पर X को 'स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु x का एक कॉम्पैक्ट पड़ोस (टोपोलॉजी) है, यानी, एक खुला सेट U और एक कॉम्पैक्ट सेट K मौजूद है, जैसे कि $x\in U\subseteq K$ .

अन्य सामान्य परिभाषाएँ हैं: यदि X हॉउसडॉर्फ स्पेस (या प्रीरेगुलर) है तो वे सभी समतुल्य हैं। लेकिन वे सामान्य रूप से समतुल्य नहीं हैं:

1. X के हर बिंदु का एक कॉम्पैक्ट पड़ोस (टोपोलॉजी) है।

2. X के हर बिंदु का एक बंद सेट कॉम्पैक्ट पड़ोस है।

2'। X के हर बिंदु का एक अपेक्षाकृत सघन पड़ोस है।

2″. X के हर बिंदु में अपेक्षाकृत सघन पड़ोस का एक स्थानीय आधार है।

3. X के हर बिंदु के पास सघन पड़ोस का एक स्थानीय आधार है।

4. X के हर बिंदु के पास बंद कॉम्पैक्ट पड़ोस का स्थानीय आधार है।

5. X हौसडॉर्फ है और पिछली शर्तों में से किसी (या समतुल्य, सभी) को संतुष्ट करता है।

शर्तों के बीच तार्किक संबंध:

प्रत्येक स्थिति का तात्पर्य (1) है।
स्थितियाँ (2), (2′), (2″) समतुल्य हैं।
कोई भी स्थिति (2), (3) अन्य का तात्पर्य नहीं है।
स्थिति (4) का तात्पर्य (2) और (3) से है।
कॉम्पैक्टनेस का तात्पर्य स्थिति (1) और (2) से है, लेकिन (3) या (4) से नहीं।

स्थिति (1) शायद सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा है, क्योंकि यह सबसे कम प्रतिबंधात्मक है और अन्य इसके समतुल्य हैं जब X हौसडॉर्फ स्थान है। यह समानता इस तथ्य का परिणाम है कि हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय बंद हैं, और कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के बंद उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट हैं। संतोषजनक स्थान (1) को भी कभी-कभी कहा जाता हैweakly locally compact,^[2] क्योंकि वे यहां की सबसे कमजोर परिस्थितियों को संतुष्ट करते हैं।

जैसा कि उन्हें अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, संतोषजनक स्थान (2), (2'), (2) को विशेष रूप से स्थानीय रूप से अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट कहा जा सकता है।^[3]^[4] स्टीन एंड सीबैक^[5] कॉल (2), (2'), (2) संपत्ति (1) के विपरीत स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, जिसे वे 'स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट' कहते हैं।

संतोषजनक स्थिति वाले स्थान (4) बिल्कुल ठीक हैंlocally compact regularरिक्त स्थान।^[6]^[7] दरअसल, ऐसा स्थान नियमित है, क्योंकि हर बिंदु पर बंद पड़ोस का स्थानीय आधार होता है। इसके विपरीत, नियमित रूप से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस में एक बिंदु मान लिया जाता है $x$ एक कॉम्पैक्ट पड़ोस है $K$ . नियमितता से, एक मनमाना पड़ोस दिया $U$ का $x$ , एक बंद पड़ोस है $V$ का $x$ में निहित $K\cap U$ और $V$ एक कॉम्पैक्ट सेट में एक बंद सेट के रूप में कॉम्पैक्ट है।

स्थिति (5) का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, बॉरबाकी में।^[8] कोई भी स्थान जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है (शर्त (1) के अर्थ में) और हौसडॉर्फ स्वचालित रूप से उपरोक्त सभी शर्तों को पूरा करता है। चूंकि अधिकांश अनुप्रयोगों में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस भी हॉसडॉर्फ होते हैं, इसलिए ये स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ (एलसीएच) स्पेस ऐसे स्थान होंगे जिनसे यह लेख मुख्य रूप से संबंधित है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस

प्रत्येक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट स्पेस के कई उदाहरण लेख कॉम्पैक्ट स्पेस में पाए जा सकते हैं। यहाँ हम केवल उल्लेख करते हैं:

इकाई अंतराल [0,1];
कैंटर सेट;
हिल्बर्ट क्यूब।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान जो कॉम्पैक्ट नहीं हैं

यूक्लिडियन रिक्त स्थान आरⁿ (और विशेष रूप से वास्तविक रेखा R) हेइन-बोरेल प्रमेय के परिणामस्वरूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं।
टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स यूक्लिडियन रिक्त स्थान के स्थानीय गुणों को साझा करते हैं और इसलिए सभी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट भी हैं। इसमें लंबी लाइन (टोपोलॉजी) जैसे पैराकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड भी शामिल हैं।
सभी असतत स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और हौसडॉर्फ हैं (वे सिर्फ 0 (संख्या) -आयामी कई गुना हैं)। ये सघन तभी होते हैं जब वे परिमित हों।
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ अंतरिक्ष के सभी खुले उपसमुच्चय या बंद उपसमुच्चय स्थानीय रूप से उप-स्थान टोपोलॉजी में कॉम्पैक्ट हैं। यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान के स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सबसेट के कई उदाहरण प्रदान करता है, जैसे यूनिट डिस्क (या तो खुला या बंद संस्करण)।
अंतरिक्ष Q_p पी-एडिक नंबर का | पी-एडिक नंबर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, क्योंकि यह कैंटर सेट माइनस वन पॉइंट के लिए होमियोमॉर्फिक है। इस प्रकार स्थानीय रूप से सघन स्थान p-adic विश्लेषण|p-adic विश्लेषण में उतना ही उपयोगी है जितना शास्त्रीय गणितीय विश्लेषण में।

हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं

जैसा कि निम्नलिखित खंड में उल्लेख किया गया है, यदि हॉसडॉर्फ स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, तो यह टाइकोनॉफ़ स्थान भी है। इस कारण से, हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान के उदाहरण जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने में विफल रहते हैं क्योंकि वे टाइकोनॉफ़ स्थान नहीं हैं, टाइकोनॉफ़ स्थान को समर्पित लेख में पाए जा सकते हैं। लेकिन टाइकोनॉफ़ रिक्त स्थान के उदाहरण भी हैं जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने में विफल होते हैं, जैसे:

तर्कसंगत संख्याओं का स्थान क्यू (आर से टोपोलॉजी के साथ संपन्न), क्योंकि किसी भी पड़ोस में एक अपरिमेय संख्या के अनुरूप कॉची अनुक्रम होता है, जिसका क्यू में कोई अभिसरण नहीं होता है;
उपस्थान $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ का $\mathbf {R} ^{2}$ , चूंकि मूल में एक सघन पड़ोस नहीं है;
वास्तविक संख्या के सेट आर पर निचली सीमा टोपोलॉजी या ऊपरी सीमा टोपोलॉजी (एक तरफा सीमा के अध्ययन में उपयोगी);
कोई भी T0 स्पेस|T₀, इसलिए हॉसडॉर्फ, टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस जो कि इन्फिनिटी-डायमेंशनल है, जैसे कि एक अनंत-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस।

पहले दो उदाहरण दिखाते हैं कि स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस के एक सबसेट को स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होने की आवश्यकता नहीं है, जो कि पिछले अनुभाग में खुले और बंद सबसेट के विपरीत है। अंतिम उदाहरण पिछले अनुभाग में यूक्लिडियन रिक्त स्थान के विपरीत है; अधिक विशिष्ट होने के लिए, हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर यह परिमित-आयामी है (जिस स्थिति में यह यूक्लिडियन स्पेस है)। यह उदाहरण कॉम्पैक्ट स्पेस के उदाहरण के रूप में हिल्बर्ट क्यूब के विपरीत भी है; कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि घन हिल्बर्ट अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु का पड़ोस नहीं हो सकता।

गैर-हॉउसडॉर्फ उदाहरण

परिमेय संख्या Q का एक-बिंदु संघनन कॉम्पैक्ट है और इसलिए इंद्रियों (1) और (2) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, लेकिन यह इंद्रियों (3) या (4) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।
किसी भी अनंत सेट पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी इंद्रियों (1) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, लेकिन इंद्रियों (2) या (4) में नहीं है, क्योंकि किसी भी पड़ोस का बंद होना संपूर्ण स्थान है, जो गैर-कॉम्पैक्ट है।
उपरोक्त दो उदाहरणों का असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी) स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है (1) लेकिन इंद्रियों में नहीं (2), (3) या (4)।
वास्तविक रेखा पर सही क्रम की टोपोलॉजी स्थानीय रूप से इंद्रियों (1) और (3) में कॉम्पैक्ट है, लेकिन इंद्रियों (2) या (4) में नहीं, क्योंकि किसी भी पड़ोस का बंद होना संपूर्ण गैर-कॉम्पैक्ट स्थान है।
सिएरपिन्स्की स्थान इंद्रियों (1), (2) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट भी है, लेकिन यह हौसडॉर्फ या नियमित (या यहां तक कि पूर्व-नियमित) नहीं है, इसलिए यह इंद्रियों में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है (4) या (5)। Sierpinski अंतरिक्ष (Hjalmar Ekdal टोपोलॉजी के लिए होमोमोर्फिक) की अनगिनत प्रतियों का असंबद्ध संघ एक गैर-कॉम्पैक्ट स्थान है जो अभी भी इंद्रियों (1), (2) और (3) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, लेकिन नहीं (4) या ( 5).
अधिक आम तौर पर, बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी स्थानीय रूप से (1), (2) और (3) में कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट है, लेकिन इंद्रियों (4) या (5) में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।
एक अनंत सेट पर सहसंबद्ध टोपोलॉजी स्थानीय रूप से इंद्रियों (1), (2), और (3) में कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट भी है, लेकिन यह हौसडॉर्फ या नियमित नहीं है, इसलिए यह इंद्रियों में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है (4) या (5)।
कम से कम दो तत्वों के साथ एक सेट पर अंधाधुंध टोपोलॉजी स्थानीय रूप से इंद्रियों (1), (2), (3), और (4) में कॉम्पैक्ट है, और कॉम्पैक्ट भी है, लेकिन यह हॉसडॉर्फ नहीं है, इसलिए यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है अर्थ में (5)।

उदाहरणों के सामान्य वर्ग

अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी वाला हर स्थान स्थानीय रूप से इंद्रियों (1) और (3) में कॉम्पैक्ट है।^[9]

गुण

प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट प्रीरेगुलर स्पेस, वास्तव में, पूरी तरह से नियमित स्पेस है।^[10]^[11] यह इस प्रकार है कि हर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस एक टाइकोनॉफ़ स्पेस है।^[12] चूंकि सीधे नियमितता पूर्व नियमितता (जो आमतौर पर कमजोर होती है) या पूर्ण नियमितता (जो आमतौर पर मजबूत होती है) की तुलना में अधिक परिचित स्थिति है, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट प्रीरेगुलर रिक्त स्थान सामान्यतः गणितीय साहित्य में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित रिक्त स्थान के रूप में संदर्भित होते हैं। इसी तरह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट टाइकोनॉफ़ रिक्त स्थान को आमतौर पर केवल स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के रूप में संदर्भित किया जाता है।

प्रत्येक स्थानीय कॉम्पैक्ट नियमित स्थान, विशेष रूप से प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस, एक बायर स्पेस है।^[13]^[14] यही है, बायर श्रेणी प्रमेय का निष्कर्ष है: घने उपसमुच्चय के प्रत्येक गणनीय संघ का आंतरिक (टोपोलॉजी) खाली है।

एक स्थानीय कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस वाई का एक सबस्पेस (टोपोलॉजी) एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर एक्स को पूरक (सेट सिद्धांत) के रूप में लिखा जा सकता है। वाई के दो बंद उपसमुच्चयों का सेट-सैद्धांतिक अंतर। एक परिणाम के रूप में, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस वाई का एक घने (टोपोलॉजी) उप-स्थान एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होता है और केवल अगर एक्स वाई का एक खुला उपसमुच्चय है। इसके अलावा, अगर किसी हॉउसडॉर्फ स्पेस वाई का एक सबस्पेस एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, तो एक्स अभी भी वाई के दो बंद उपसमुच्चयों का अंतर होना चाहिए, हालांकि इस मामले में बातचीत (तर्क) की आवश्यकता नहीं है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक सघन रूप से उत्पन्न हॉउसडॉर्फ स्थान कुछ स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ स्थान का भागफल होता है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर परिभाषित कार्यों के लिए, स्थानीय वर्दी अभिसरण कॉम्पैक्ट अभिसरण के समान है।

अनंत पर बिंदु

चूंकि प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस एक्स टाइकोनॉफ़ है, यह एक कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस में एम्बेडिंग (टोपोलॉजी) हो सकता है $b(X)$ स्टोन-चेक कॉम्पैक्टिफिकेशन का उपयोग करना। लेकिन वास्तव में, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट मामले में एक आसान तरीका उपलब्ध है; वन-पॉइंट कॉम्पैक्टिफिकेशन एक्स को कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस में एम्बेड करेगा $a(X)$ केवल एक अतिरिक्त बिंदु के साथ। (वन-पॉइंट कॉम्पैक्टिफिकेशन को अन्य स्थानों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन $a(X)$ हॉसडॉर्फ होगा अगर और केवल अगर एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ है।) स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान इस प्रकार कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के खुले उपसमुच्चय के रूप में वर्णित किए जा सकते हैं।

सहज रूप से, अतिरिक्त बिंदु $a(X)$ अनंत पर एक बिंदु के रूप में सोचा जा सकता है। अनंत के बिंदु को 'X' के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के बाहर स्थित माना जाना चाहिए। इस विचार का उपयोग करके स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में अनंतता की ओर प्रवृत्ति के बारे में कई सहज विचार तैयार किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, डोमेन (फ़ंक्शन) X के साथ एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) f को अनंत पर गायब कहा जाता है, यदि कोई सकारात्मक संख्या दी गई हो e, X का एक संहत उपसमुच्चय K ऐसा है कि $|f(x)|<e$ जब भी बिंदु (ज्यामिति) x K के बाहर स्थित होता है। यह परिभाषा किसी भी स्थलीय स्थान X के लिए समझ में आती है। यदि X स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ है, तो इस तरह के कार्य ठीक वही हैं जो इसके एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन पर निरंतर फ़ंक्शन g के लिए विस्तार योग्य हैं। $a(X)=X\cup \{\infty \}$ कहां $g(\infty )=0.$

गेलफैंड प्रतिनिधित्व

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस एक्स के लिए, सेट $C_{0}(X)$ एक्स पर सभी निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों में से जो अनंत पर गायब हो जाते हैं, एक कम्यूटेटिव सी-स्टार बीजगणित है|सी*-बीजगणित। वास्तव में, प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित तुल्याकारी है $C_{0}(X)$ कुछ अनूठे (गणित) के लिए (होमियोमोर्फिज्म तक) स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस एक्स। यह गेलफैंड प्रतिनिधित्व का उपयोग करके दिखाया गया है।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह

टोपोलॉजिकल समूहों के अध्ययन में स्थानीय कॉम्पैक्टनेस की धारणा मुख्य रूप से महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रत्येक हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट ग्रुप जी में प्राकृतिक माप सिद्धांत होता है जिसे हार उपायों कहा जाता है जो जी पर परिभाषित अभिन्न मापने योग्य कार्यों की अनुमति देता है। लेबेस्ग वास्तविक रेखा पर मापता है $\mathbb {R}$ इसका एक विशेष मामला है।

एक टोपोलॉजिकल एबेलियन ग्रुप ए का पोंट्रीगिन डुअल स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर ए स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। अधिक सटीक रूप से, पोंट्रीगिन द्वैत स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों के श्रेणी सिद्धांत के एक आत्म-द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) को परिभाषित करता है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूहों का अध्ययन हार्मोनिक विश्लेषण की नींव है, एक ऐसा क्षेत्र जो गैर-अबेलियन स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों में फैल गया है।

यह भी देखें

उद्धरण

↑ Folland 1999, p. 131, Sec. 4.5.
↑ Breuckmann, Tomas; Kudri, Soraya; Aygün, Halis (2004). "About Weakly Locally Compact Spaces". सॉफ्ट मेथोडोलॉजी और रैंडम सूचना प्रणाली. Springer. pp. 638–644. doi:10.1007/978-3-540-44465-7_79. ISBN 978-3-540-22264-4.
↑ Lowen-Colebunders, Eva (1983), "On the convergence of closed and compact sets", Pacific Journal of Mathematics, 108 (1): 133–140, doi:10.2140/pjm.1983.108.133, MR 0709705, S2CID 55084221, Zbl 0522.54003
↑ Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław (2020). "सेमिलैटिस सबबेस के लिए वॉलमैन द्वैत". arXiv:2002.05943 [math.GN].
↑ Steen & Seebach, p. 20
↑ Kelley 1975, ch. 5, Theorem 17, p. 146.
↑ Gompa, Raghu (Spring 1992). ""स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट" क्या है?" (PDF). Pi Mu Epsilon Journal. 9 (6): 390–392. JSTOR 24340250. Archived (PDF) from the original on 2015-09-10.
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↑ Speer, Timothy (16 August 2007). "एलेक्जेंड्रॉफ़ स्पेस का एक लघु अध्ययन". arXiv:0708.2136 [math.GN].Theorem 5
↑ Schechter 1996, 17.14(d), p. 460.
↑ "सामान्य टोपोलॉजी - स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान पूरी तरह नियमित है". Mathematics Stack Exchange.
↑ Willard 1970, theorem 19.3, p.136.
↑ Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.
↑ Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.

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संदर्भ

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Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0131816299.
Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 978-0486434797.

श्रेणी: सघनता (गणित) श्रेणी: स्थलाकृतिक स्थानों के गुण

[FOOTNOTEFolland1999131Sec._4.5-1] Folland 1999, p. 131, Sec. 4.5.

[2] Breuckmann, Tomas; Kudri, Soraya; Aygün, Halis (2004). "About Weakly Locally Compact Spaces". सॉफ्ट मेथोडोलॉजी और रैंडम सूचना प्रणाली. Springer. pp. 638–644. doi:10.1007/978-3-540-44465-7_79. ISBN 978-3-540-22264-4.

[3] Lowen-Colebunders, Eva (1983), "On the convergence of closed and compact sets", Pacific Journal of Mathematics, 108 (1): 133–140, doi:10.2140/pjm.1983.108.133, MR 0709705, S2CID 55084221, Zbl 0522.54003

[4] Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław (2020). "सेमिलैटिस सबबेस के लिए वॉलमैन द्वैत". arXiv:2002.05943 [math.GN].

[5] Steen & Seebach, p. 20

[FOOTNOTEKelley1975ch._5.2C_Theorem_17.2C_p._146-6] Kelley 1975, ch. 5, Theorem 17, p. 146.

[7] Gompa, Raghu (Spring 1992). ""स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट" क्या है?" (PDF). Pi Mu Epsilon Journal. 9 (6): 390–392. JSTOR 24340250. Archived (PDF) from the original on 2015-09-10.

[8] Bourbaki, Nicolas (1989). सामान्य टोपोलॉजी, भाग I (reprint of the 1966 ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.

[9] Speer, Timothy (16 August 2007). "एलेक्जेंड्रॉफ़ स्पेस का एक लघु अध्ययन". arXiv:0708.2136 [math.GN].Theorem 5

[FOOTNOTESchechter199617.14.28d.29.2C_p._460-10] Schechter 1996, 17.14(d), p. 460.

[11] "सामान्य टोपोलॉजी - स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित स्थान पूरी तरह नियमित है". Mathematics Stack Exchange.

[FOOTNOTEWillard1970theorem_19.3.2C_p.136-12] Willard 1970, theorem 19.3, p.136.

[FOOTNOTEKelley1975Theorem_34.2C_p._200-13] Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.18.2C_p._538-14] Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.

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