स्यूडोकोन्वेक्सिटी

This article is about the notion in several complex variables. For the notion in convex analysis, see pseudoconvex function.

गणित में, कई जटिल चरों के कार्य के सिद्धांत में अधिक सटीक रूप से, एक स्यूडोकोनवेक्स सेट 'एन'-आयामी जटिल अंतरिक्ष सी में एक विशेष प्रकार का खुला सेट है।^एन. स्यूडोकोनवेक्स सेट महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि वे होलोमॉर्फी के डोमेन के वर्गीकरण की अनुमति देते हैं।

होने देना

$G\subset {\mathbb {C} }^{n}$

एक डोमेन हो, यानी एक ओपन सेट जुड़ा हुआ स्थान सबसेट हो। एक कहता है $G$ स्यूडोकोनवेक्स (या फ्रेडरिक हार्टोग्स स्यूडोकोनवेक्स) है यदि कोई निरंतर कार्य प्लुरिसुबर्मोनिक फ़ंक्शन मौजूद है $\varphi$ पर $G$ ऐसा सेट

$\{z\in G\mid \varphi (z)<x\}$

का एक अपेक्षाकृत सघन उपसमुच्चय है $G$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $x.$ दूसरे शब्दों में, एक डोमेन स्यूडोकॉन्वेक्स है यदि $G$ एक निरंतर प्लुरिसुब्रमोनिक बाध्य थकावट समारोह है। प्रत्येक (ज्यामितीय रूप से) उत्तल सेट स्यूडोकोनवेक्स है। हालाँकि, ऐसे स्यूडोकॉन्वेक्स डोमेन हैं जो ज्यामितीय रूप से उत्तल नहीं हैं।

कब $G$ एक $C^{2}$ (दो बार सुचारू कार्य) सीमा (टोपोलॉजी), यह धारणा लेवी स्यूडोकोनवेक्सिटी के समान है, जिसके साथ काम करना आसान है। अधिक विशेष रूप से, ए के साथ $C^{2}$ सीमा, यह दिखाया जा सकता है $G$ एक परिभाषित कार्य है, यानी, मौजूद है $\rho :\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {R}$ जो है $C^{2}$ ताकि $G=\{\rho <0\}$, और $\partial G=\{\rho =0\}$. अब, $G$ प्रत्येक के लिए स्यूडोकॉन्वेक्स आईएफ़ है $p\in \partial G$ और $w$ पी पर जटिल स्पर्शरेखा स्थान में, अर्थात

$\nabla \rho (p)w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \rho (p)}{\partial z_{j}}}w_{j}=0$, अपने पास

$\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho (p)}{\partial z_{i}\partial {\bar {z_{j}}}}}w_{i}{\bar {w_{j}}}\geq 0.$

उपरोक्त परिभाषा वास्तविक विश्लेषण में उत्तलता की परिभाषाओं के अनुरूप है।

अगर $G$ एक नहीं है $C^{2}$ सीमा, निम्नलिखित सन्निकटन परिणाम उपयोगी हो सकता है।

प्रस्ताव 1 यदि $G$ स्यूडोकोनवेक्स है, तो वहाँ बंधे हुए सेट मौजूद हैं, दृढ़ता से लेवी स्यूडोकोनवेक्स डोमेन $G_{k}\subset G$ साथ $C^{\infty }$ (सुचारू कार्य) सीमा जो अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होती है $G$, ऐसा है कि

$G=\bigcup _{k=1}^{\infty }G_{k}.$

ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बार हमारे पास $\varphi$ जैसा कि परिभाषा में हम वास्तव में एक सी पा सकते हैं^∞ थकावट कार्य।

मामला एन = 1

एक जटिल आयाम में, प्रत्येक खुला डोमेन स्यूडोकॉन्वेक्स है। स्यूडोकोनवेक्सिटी की अवधारणा इस प्रकार 1 से अधिक आयामों में अधिक उपयोगी है।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक पॉलीहेड्रॉन
• यूजेनियो एलिया लेवी
• Holomorphically उत्तल पतवार
• स्टीन कई गुना

संदर्भ

• Bremermann, H. J. (1956). "Complex Convexity". Transactions of the American Mathematical Society. 82 (1): 17–51. doi:10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2. JSTOR 1992976.
• Lars Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. (ISBN 0-444-88446-7).
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Siu, Yum-Tong (1978). "Pseudoconvexity and the problem of Levi". Bulletin of the American Mathematical Society. 84 (4): 481–513. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14483-8. MR 0477104.
• Catlin, David (1983). "Necessary Conditions for Subellipticity of the ${\bar {\partial }}$-Neumann Problem". Annals of Mathematics. 117 (1): 147–171. doi:10.2307/2006974. JSTOR 2006974.

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बाहरी संबंध

• Range, R. Michael (February 2012), "WHAT IS...a Pseudoconvex Domain?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 59 (2): 301–303, doi:10.1090/noti798
• "Pseudo-convex and pseudo-concave", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]