स्वप्रतिगामी सशर्त विषमलैंगिकता

"ARCH" redirects here. For other uses, see Arch (disambiguation).

अर्थमिति में, ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (एआरसीएच) मॉडल समय श्रृंखला डेटा के लिए एक सांख्यिकीय मॉडल है जो पिछली समय अवधि की त्रुटि शर्तों के वास्तविक आकार के एक फ़ंक्शन के रूप में आंकड़ों या नवाचार (सिग्नल प्रोसेसिंग) में मौजूदा त्रुटियों और अवशेषों के भिन्नता का वर्णन करता है; अक्सर भिन्नता पिछले नवाचार (सिग्नल प्रोसेसिंग) के वर्गों से संबंधित होती है। ARCH मॉडल तब उपयुक्त होता है जब किसी समय श्रृंखला में त्रुटि भिन्नता एक स्वत:प्रतिगामी (AR) मॉडल का अनुसरण करती है; यदि त्रुटि विचरण के लिए एक ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल (एआरएमए) मॉडल माना जाता है, तो मॉडल एक सामान्यीकृत ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल है। ARCH मॉडल आमतौर पर गणितीय वित्त समय श्रृंखला के मॉडलिंग में नियोजित होते हैं जो समय-भिन्न अस्थिरता (वित्त) और अस्थिरता क्लस्टरिंग प्रदर्शित करते हैं, यानी सापेक्ष शांति की अवधि के साथ झूलों की अवधि। ARCH-प्रकार के मॉडल को कभी-कभी स्टोकेस्टिक अस्थिरता मॉडल के परिवार में माना जाता है, हालांकि यह पूरी तरह से गलत है क्योंकि उस समय पिछले मूल्यों को देखते हुए अस्थिरता पूरी तरह से पूर्व-निर्धारित (नियतात्मक) होती है।

मॉडल विशिष्टता

ARCH प्रक्रिया का उपयोग करके एक समय श्रृंखला को मॉडल करने के लिए, आइए $~\epsilon _{t}~$त्रुटि शर्तों को निरूपित करें (औसत प्रक्रिया के संबंध में अवशेष लौटाएं), यानी श्रृंखला शर्तें। इन $~\epsilon _{t}~$ एक स्टोकेस्टिक टुकड़े में विभाजित हैं $z_{t}$ और एक समय-निर्भर मानक विचलन $\sigma _{t}$ ताकि शब्दों के विशिष्ट आकार को चिह्नित किया जा सके

$~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~$

यादृच्छिक चर $z_{t}$ यह एक मजबूत श्वेत रव प्रक्रिया है। श्रृंखला $\sigma _{t}^{2}$ द्वारा प्रतिरूपित किया गया है

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}$,

कहाँ $~\alpha _{0}>0~$ और $\alpha _{i}\geq 0,~i>0$.

कम से कम वर्गों का उपयोग करके एक ARCH(q) मॉडल का अनुमान लगाया जा सकता है। यह परीक्षण करने की एक विधि कि क्या अवशेष हैं $\epsilon _{t}$ रॉबर्ट एफ. एंगल (1982) द्वारा लैग्रेंज गुणक परीक्षण का उपयोग करके समय-परिवर्तनशील विषमलैंगिकता का प्रदर्शन प्रस्तावित किया गया था। यह प्रक्रिया इस प्रकार है:

1. सर्वोत्तम फिटिंग वाले ऑटोरेग्रेसिव मॉडल AR(q) का अनुमान लगाएं $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$.
2. त्रुटि का वर्ग प्राप्त करें ${\hat {\epsilon }}^{2}$ और उन्हें स्थिर और q विलंबित मानों पर पुनः प्राप्त करें:

   ${\hat {\epsilon }}_{t}^{2}={\hat {\alpha }}_{0}+\sum _{i=1}^{q}{\hat {\alpha }}_{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}$

   जहां q ARCH लैग्स की लंबाई है।

3. शून्य परिकल्पना यह है कि, ARCH घटकों की अनुपस्थिति में, हमारे पास है $\alpha _{i}=0$ सभी के लिए $i=1,\cdots ,q$. वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि, ARCH घटकों की उपस्थिति में, अनुमानित में से कम से कम एक $\alpha _{i}$ गुणांक महत्वपूर्ण होना चाहिए. बिना ARCH त्रुटियों की शून्य परिकल्पना के तहत T अवशेषों के एक नमूने में, परीक्षण आँकड़ा T'R² निम्नानुसार है $\chi ^{2}$ स्वतंत्रता की क्यू डिग्री के साथ वितरण, जहां $T'$ मॉडल में समीकरणों की संख्या है जो अवशिष्ट बनाम अंतराल में फिट बैठती है (यानी) $T'=T-q$). यदि T'R² ची-स्क्वायर तालिका मान से अधिक है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि ऑटोरेग्रेसिव मूविंग औसत मॉडल में ARCH प्रभाव है। यदि T'R² ची-स्क्वायर तालिका मान से छोटा है, तो हम शून्य परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करते हैं।

गार्च

यदि त्रुटि विचरण के लिए एक ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल (एआरएमए) मॉडल माना जाता है, तो मॉडल एक सामान्यीकृत ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल है।

उस स्थिति में, GARCH (p, q) मॉडल (जहाँ p GARCH शर्तों का क्रम है $~\sigma ^{2}$ और q ARCH पदों का क्रम है $~\epsilon ^{2}$ ), मूल पेपर के नोटेशन के बाद, द्वारा दिया गया है

$y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}$

$\epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})$

$\sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}$ आम तौर पर, जब अर्थमितीय मॉडल में विषमलैंगिकता का परीक्षण किया जाता है, तो सबसे अच्छा परीक्षण श्वेत परीक्षण होता है। हालाँकि, समय श्रृंखला डेटा के साथ काम करते समय, इसका मतलब ARCH और GARCH त्रुटियों का परीक्षण करना है।

एक्सपोनेंशियली वेटेड मूविंग-एवरेज मॉडल (ईडब्ल्यूएमए) एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग मॉडल के एक अलग वर्ग में एक वैकल्पिक मॉडल है। GARCH मॉडलिंग के विकल्प के रूप में इसमें कुछ आकर्षक गुण हैं जैसे कि हाल की टिप्पणियों पर अधिक भार, लेकिन मनमाने ढंग से क्षय कारक जैसी कमियां भी हैं जो अनुमान में व्यक्तिपरकता का परिचय देती हैं।

GARCH(p, q) मॉडल विनिर्देश

GARCH(p, q) प्रक्रिया की अंतराल लंबाई p तीन चरणों में स्थापित की जाती है:

1. सर्वोत्तम फिटिंग वाले AR(q) मॉडल का अनुमान लगाएं

   $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$.

2. के स्वत:सहसंबंधों की गणना करें और आलेखित करें $\epsilon ^{2}$ द्वारा

   $\rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}$

3. स्पर्शोन्मुख, यानी बड़े नमूनों के लिए, मानक विचलन $\rho (i)$ है $1/{\sqrt {T}}$. इससे बड़े व्यक्तिगत मान GARCH त्रुटियों को दर्शाते हैं। लैग्स की कुल संख्या का अनुमान लगाने के लिए, लजंग-बॉक्स परीक्षण का उपयोग करें जब तक कि इनका मान, मान लीजिए, 10% से कम न हो जाए। लजंग-बॉक्स क्यू-आँकड़ा इस प्रकार है $\chi ^{2}$ यदि अवशिष्टों का वर्ग किया जाए तो स्वतंत्रता की n डिग्री के साथ वितरण $\epsilon _{t}^{2}$ असंबंधित हैं. n के T/4 मान तक पर विचार करने की अनुशंसा की जाती है। शून्य परिकल्पना बताती है कि कोई ARCH या GARCH त्रुटियाँ नहीं हैं। इस प्रकार शून्य को अस्वीकार करने का अर्थ है कि ऐसी त्रुटियाँ सशर्त भिन्नता में मौजूद हैं।

एनजीआर्च

नागार्च

नॉनलाइनियर असममित GARCH(1,1) (NAGARCH) विनिर्देशन वाला एक मॉडल है::$~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}$,

कहाँ $~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0$ और $~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1$, जो विचरण प्रक्रिया की गैर-नकारात्मकता और स्थिरता सुनिश्चित करता है।

स्टॉक रिटर्न के लिए, पैरामीटर $~\theta$ आमतौर पर सकारात्मक होने का अनुमान लगाया जाता है; इस मामले में, यह एक ऐसी घटना को दर्शाता है जिसे आमतौर पर उत्तोलन प्रभाव कहा जाता है, जो दर्शाता है कि नकारात्मक रिटर्न समान परिमाण के सकारात्मक रिटर्न की तुलना में भविष्य की अस्थिरता को बड़ी मात्रा में बढ़ाता है। इस मॉडल को 1992 में हिगिंस और बेरा द्वारा पेश किए गए NGARCH एक्सटेंशन के साथ NARCH मॉडल के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

आईगार्च

इंटीग्रेटेड जनरलाइज्ड ऑटोरेग्रेसिव कंडिशनल हेटेरोस्केडैस्टिसिटी (IGARCH) GARCH मॉडल का एक प्रतिबंधित संस्करण है, जहां लगातार मापदंडों का योग एक तक होता है, और GARCH प्रक्रिया में एक यूनिट रूट आयात करता है। इसके लिए शर्त ये है

$\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$.

ईगार्च

नेल्सन और काओ (1991) द्वारा घातीय सामान्यीकृत ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोस्केडैस्टिक (ईजीएआरसीएच) मॉडल, गारच मॉडल का दूसरा रूप है। औपचारिक रूप से, एक EGARCH(p,q):

$\log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}$ कहाँ $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$, $\sigma _{t}^{2}$ सशर्त विचरण है, $\omega$, $\beta$, $\alpha$, $\theta$ और $\lambda$ गुणांक हैं. $Z_{t}$ एक मानक सामान्य चर हो सकता है या सामान्यीकृत त्रुटि वितरण से आ सकता है। के लिए सूत्रीकरण $g(Z_{t})$ के संकेत और परिमाण की अनुमति देता है $Z_{t}$ अस्थिरता पर अलग-अलग प्रभाव डालना। यह परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण के संदर्भ में विशेष रूप से उपयोगी है। तब से $\log \sigma _{t}^{2}$ नकारात्मक हो सकता है, मापदंडों के लिए कोई संकेत प्रतिबंध नहीं हैं।

गार्च-एम

GARCH-in-mean (GARCH-M) मॉडल माध्य समीकरण में एक विषमलैंगिकता शब्द जोड़ता है। इसकी विशिष्टता है:

$y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}$ अवशिष्ट $~\epsilon _{t}$ परिभाषित किया जाता है:

$~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}$

QGARCH

सेंटाना (1995) द्वारा द्विघात गार्च (क्यूगार्च) मॉडल का उपयोग सकारात्मक और नकारात्मक झटकों के असममित प्रभावों को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

GARCH(1,1) मॉडल के उदाहरण में, अवशिष्ट प्रक्रिया $~\sigma _{t}$ है

$~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ कहाँ $z_{t}$ क्या आई.आई.डी. और

$~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}$

जीजेआर-गार्च

QGARCH के समान, ग्लोस्टेन, जगन्नाथन और रंकल (1993) का ग्लोस्टेन-जगन्नाथन-रंकल GARCH (GJR-GARCH) मॉडल भी ARCH प्रक्रिया में विषमता का मॉडल प्रस्तुत करता है। मॉडल बनाने का सुझाव है $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ कहाँ $z_{t}$ आई.आई.डी. है, और

$~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}$ कहाँ $I_{t-1}=0$ अगर $~\epsilon _{t-1}\geq 0$, और $I_{t-1}=1$ अगर $~\epsilon _{t-1}<0$.

TGARCH मॉडल

ज़कोइयन (1994) द्वारा थ्रेसहोल्ड गार्च (टीगार्च) मॉडल जीजेआर गार्च के समान है। विनिर्देश सशर्त विचरण के बजाय सशर्त मानक विचलन पर आधारित है:

$~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}$ कहाँ $~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}$ अगर $~\epsilon _{t-1}>0$, और $~\epsilon _{t-1}^{+}=0$ अगर $~\epsilon _{t-1}\leq 0$. वैसे ही, $~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}$ अगर $~\epsilon _{t-1}\leq 0$, और $~\epsilon _{t-1}^{-}=0$ अगर $~\epsilon _{t-1}>0$.

fGARCH

हेंत्शेल का fGARCH मॉडल, फ़ैमिली GARCH के रूप में भी जाना जाता है, यह एक सर्वग्राही मॉडल है जिसमें APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH, आदि सहित कई अन्य लोकप्रिय सममित और असममित GARCH मॉडल शामिल हैं।

कोगार्च

2004 में, क्लाउडिया क्लुपेलबर्ग, अलेक्जेंडर लिंडनर और रॉस मैलर ने असतत-समय GARCH(1,1) प्रक्रिया के निरंतर-समय के सामान्यीकरण का प्रस्ताव रखा। विचार GARCH(1,1) मॉडल समीकरणों से शुरू करने का है

$\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},$

$\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},$

और फिर मजबूत सफेद शोर प्रक्रिया को बदलने के लिए $z_{t}$ अत्यंत सूक्ष्म वृद्धि द्वारा $\mathrm {d} L_{t}$ लेवी प्रक्रिया का $(L_{t})_{t\geq 0}$, और चुकता शोर प्रक्रिया $z_{t}^{2}$ वेतन वृद्धि द्वारा Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "AssertionError [ERR_ASSERTION]: Incorrect argument type"): {\displaystyle \mathrm{d}[L,L]^\mathrm{d}_t } , कहाँ

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "AssertionError [ERR_ASSERTION]: Incorrect argument type"): {\displaystyle [L,L]^\mathrm{d}_t = \sum_{s\in[0,t]} (\Delta L_t)^2,\quad t\geq0, }

की द्विघात भिन्नता प्रक्रिया का विशुद्ध रूप से असंतत भाग है $L$. परिणाम स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली है:

$\mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},$

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "AssertionError [ERR_ASSERTION]: Incorrect argument type"): {\displaystyle \mathrm{d}\sigma_t^2 = (\beta - \eta \sigma^2_t)\,\mathrm{d}t + \varphi \sigma_{t-}^2 \,\mathrm{d}[L,L]^\mathrm{d}_t, }

जहां सकारात्मक पैरामीटर $\beta$, $\eta$ और $\varphi$ द्वारा निर्धारित किये जाते हैं $\alpha _{0}$, $\alpha _{1}$ और $\beta _{1}$. अब कुछ प्रारंभिक शर्त दी गई है $(G_{0},\sigma _{0}^{2})$, उपरोक्त प्रणाली में पथानुसार अद्वितीय समाधान है $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}$ जिसे तब सतत-समय गार्च (COGARCH) मॉडल कहा जाता है।

ZD-GARCH

GARCH मॉडल के विपरीत, ली, झांग, झू और लिंग द्वारा जीरो-ड्रिफ्ट GARCH (ZD-GARCH) मॉडल (2018) बहाव अवधि देता है $~\omega =0$ प्रथम क्रम में गार्च मॉडल। ZD-GARCH मॉडल मॉडल बनाना है $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$, कहाँ $z_{t}$ आई.आई.डी. है, और

$~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.$ ZD-GARCH मॉडल की आवश्यकता नहीं है $~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1$, और इसलिए यह रिस्कमेट्रिक्स में घातीय रूप से भारित चलती औसत (ईडब्ल्यूएमए) मॉडल को शामिल करता है। बहाव अवधि के बाद से $~\omega =0$, ZD-GARCH मॉडल हमेशा गैर-स्थिर होता है, और इसकी सांख्यिकीय अनुमान विधियाँ शास्त्रीय GARCH मॉडल से काफी भिन्न होती हैं। ऐतिहासिक डेटा, मापदंडों के आधार पर $~\alpha _{1}$ और $~\beta _{1}$ सामान्यीकृत QMLE विधि द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है।

स्थानिक गार्च

ओटो, श्मिट और गार्थॉफ द्वारा स्थानिक गार्च प्रक्रियाएं (2018) अस्थायी सामान्यीकृत ऑटोरेग्रेसिव कंडीशनल हेटेरोसेडैस्टिसिटी (GARCH) मॉडल के स्थानिक समकक्ष के रूप में माना जाता है। टेम्पोरल एआरसीएच मॉडल के विपरीत, जिसमें वितरण को पूर्व अवधियों के लिए सेट की गई पूरी जानकारी के आधार पर जाना जाता है, पड़ोसी स्थानिक स्थानों के बीच परस्पर निर्भरता के कारण स्थानिक और स्थानिक-अस्थायी सेटिंग में वितरण सीधा नहीं है। स्थानिक मॉडल द्वारा दिया गया है $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ और

$~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},$

कहाँ $~s_{i}$ को दर्शाता है $i$-वें स्थानिक स्थान और $~w_{iv}$ यह आपकी जानकारी के लिए है $iv$-एक स्थानिक वजन मैट्रिक्स की प्रविष्टि और $w_{ii}=0$ के लिए $~i=1,...,n$. स्थानिक भार मैट्रिक्स परिभाषित करता है कि किन स्थानों को आसन्न माना जाता है।

गाऊसी प्रक्रिया-संचालित GARCH

एक अलग तरीके से, मशीन लर्निंग समुदाय ने GARCH योजना प्राप्त करने के लिए गॉसियन प्रक्रिया प्रतिगमन मॉडल के उपयोग का प्रस्ताव दिया है। इसके परिणामस्वरूप एक गैरपैरामीट्रिक मॉडलिंग योजना बनती है, जो निम्न की अनुमति देती है: (i) ओवरफिटिंग के लिए उन्नत मजबूती, क्योंकि बायेसियन अनुमान तर्क के तहत मॉडल अनुमान लगाने के लिए अपने मापदंडों पर हाशिए पर रहता है; और (ii) मॉडल जटिलता को बढ़ाए बिना अत्यधिक-गैर-रेखीय निर्भरता को कैप्चर करना।

अग्रिम पठन

• Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (May 2010). "Chapter 8: Glossary to ARCH (GARCH)" (PDF). Volatility and Time Series Econometrics: Essays in Honor of Robert Engle (1st ed.). Oxford: Oxford University Press. pp. 137–163. ISBN 9780199549498.
• Enders, W. (2004). "Modelling Volatility". Applied Econometrics Time Series (Second ed.). John-Wiley & Sons. pp. 108–155. ISBN 978-0-471-45173-0.
• Engle, Robert F. (1982). "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation". Econometrica. 50 (4): 987–1008. doi:10.2307/1912773. JSTOR 1912773. S2CID 18673159. (the paper which sparked the general interest in ARCH models)
• Engle, Robert F. (1995). ARCH: selected readings. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-877432-7.
• Engle, Robert F. (2001). "GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics". Journal of Economic Perspectives. 15 (4): 157–168. doi:10.1257/jep.15.4.157. JSTOR 2696523. (a short, readable introduction)
• Gujarati, D. N. (2003). Basic Econometrics. pp. 856–862.
• Hacker, R. S.; Hatemi-J, A. (2005). "A Test for Multivariate ARCH Effects". Applied Economics Letters. 12 (7): 411–417. doi:10.1080/13504850500092129. S2CID 218639533.
• Nelson, D. B. (1991). "Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach". Econometrica. 59 (2): 347–370. doi:10.2307/2938260. JSTOR 2938260.