हस्ताक्षरित दूरी समारोह

एक निश्चित डिस्क (शीर्ष, ग्रे में) और डिस्क वाले विमान के एक बिंदु (नीले रंग में दिखाया गया xy विमान) के बीच हस्ताक्षरित दूरी के एक फ़ंक्शन (नीचे, लाल रंग में) का ग्राफ

एक अधिक जटिल सेट (शीर्ष) और इसके हस्ताक्षरित दूरी समारोह का ग्राफ (नीचे, लाल रंग में)।

गणित और इसके अनुप्रयोगों में, हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन (या उन्मुख दूरी फ़ंक्शन) एक मीट्रिक स्थान में एक सेट (गणित) Ω की सीमा (टोपोलॉजी) के लिए दिए गए बिंदु x की ओर्थोगोनल दूरी है, साइन के साथ (गणित) इस बात से निर्धारित होता है कि x Ω के अभ्यंतर (टोपोलॉजी) में है या नहीं। फ़ंक्शन (गणित) में Ω के अंदर बिंदु 'x' पर धनात्मक मान होते हैं, यह मान में घट जाता है क्योंकि x Ω की सीमा तक पहुंचता है जहां हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन शून्य होता है, और यह Ω के बाहर नकारात्मक मान लेता है। हालांकि, इसके बजाय कभी-कभी वैकल्पिक सम्मेलन भी लिया जाता है (यानी, Ω के अंदर नकारात्मक और बाहर सकारात्मक)।

परिभाषा

यदि Ω मेट्रिक स्पेस X का मेट्रिक (गणित) d के साथ एक सबसेट है, तो हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन f द्वारा परिभाषित किया गया है

$f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\mbox{if }}\,x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\mbox{if }}\,x\in \Omega ^{c}\end{cases}}$

कहाँ $\partial \Omega$ की सीमा (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $\Omega$. किसी के लिए $x\in X$,

$d(x,\partial \Omega ):=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y)$

कहाँ inf सबसे कम दर्शाता है

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गुण

यदि Ω यूक्लिडियन समष्टि R का एक उपसमुच्चय हैⁿ टुकड़े की तरह चिकनी फ़ंक्शन सीमा के साथ, फिर हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन लगभग हर जगह अलग-अलग होता है, और इसकी ढाल इकोनल समीकरण को संतुष्ट करती है

$|\nabla f|=1.$

यदि Ω की सीमा C है^k k ≥ 2 के लिए (अवकलनीयता वर्ग देखें) तो d, C है^k उन बिंदुओं पर जो Ω की सीमा के काफी करीब हैं। विशेष रूप से, ऑन सीमा एफ संतुष्ट करती है

$\nabla f(x)=N(x),$

जहाँ N आवक सामान्य सदिश क्षेत्र है। हस्ताक्षरित दूरी समारोह इस प्रकार सामान्य वेक्टर क्षेत्र का एक अलग-अलग विस्तार है। विशेष रूप से, Ω की सीमा पर हस्ताक्षरित दूरी समारोह का हेसियन मैट्रिक्स सतहों # आकार ऑपरेटर की विभेदक ज्यामिति देता है।

यदि, आगे, Γ एक ऐसा क्षेत्र है जो Ω की सीमा के काफी करीब है कि f उस पर लगातार दो बार अवकलनीय है, तो Weingarten मानचित्र W को शामिल करने वाला एक स्पष्ट सूत्र है_x हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन और निकटतम सीमा बिंदु के संदर्भ में बदलते चर के जैकोबियन के लिए। विशेष रूप से, यदि T(∂Ω, μ) Ω की सीमा (अर्थात् त्रिज्या μ का ट्यूबलर पड़ोस) की दूरी μ के भीतर बिंदुओं का समूह है, और g Γ पर एक पूर्णतः समाकलनीय फलन है, तो

$\int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u},$

कहाँ det निर्धारक और dS को दर्शाता है_u इंगित करता है कि हम सतह अभिन्न ले रहे हैं।

कलन विधि

हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शन की गणना के लिए एल्गोरिदम में कुशल तेज़ मार्चिंग विधि, तेज़ स्वीपिंग विधि शामिल है और अधिक सामान्य स्तर-सेट विधि।

वॉक्सेल रेंडरिंग के लिए, टैक्सीकैब ज्यामिति में एसडीएफ की गणना के लिए एक तेज एल्गोरिदम सारांशित क्षेत्र तालिका|सम्मेड-एरिया टेबल का उपयोग करता है।

अनुप्रयोग

रेखापुंज छवियों के रूप में संग्रहीत हस्ताक्षरित दूरी फ़ील्ड का उपयोग आकृतियों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

हस्ताक्षरित दूरी फ़ंक्शंस लागू होते हैं, उदाहरण के लिए, वास्तविक समय प्रतिपादन में, उदाहरण के लिए रे मार्चिंग # स्फीयर-असिस्टेड और कंप्यूटर दृष्टि की विधि। रेफरी>Perera, S.; Barnes, N.; He, X.; Izadi, S.; Kohli, P.; Glocker, B. (January 2015). "ट्रंकेटेड साइन्ड डिस्टेंस फंक्शन आधारित वॉल्यूमेट्रिक सतहों का मोशन सेगमेंटेशन". 2015 IEEE Winter Conference on Applications of Computer Vision: 1046–1053. doi:10.1109/WACV.2015.144. ISBN 978-1-4799-6683-7. S2CID 16811314.</ref>

एसडीएफ का उपयोग रीयल-टाइम प्रतिपादन में वस्तु ज्यामिति का वर्णन करने के लिए किया गया है, आमतौर पर एक रेमार्चिंग संदर्भ में, 2000 के दशक के मध्य से शुरू होता है। 2007 तक, वाल्व निगम एसडीएफ का उपयोग बड़े पिक्सेल-आकार (या पिक्सेल घनत्व # नामित पिक्सेल घनत्व) को अपने खेलों में जीपीयू त्वरण के साथ चिकनी फोंट प्रस्तुत करने के लिए कर रहा है। वाल्व की विधि सही नहीं है क्योंकि यह (निरंतर) वेक्टर अंतरिक्ष में समस्या को हल करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता से बचने के लिए रेखापुंज ग्राफिक्स में चलता है। प्रस्तुत पाठ अक्सर तेज कोनों को खो देता है। 2014 में, हद्दाद इस्फ़हाबद द्वारा एक बेहतर पद्धति प्रस्तुत की गई थी। बेहदाद की ग्लाइफी वास्तविक समय में चलने के लिए ग्रिड-आधारित विवेचन तकनीकों (जो बहुत दूर-दूर के बिंदुओं को कम करती है) द्वारा त्वरित चाप स्प्लिन के साथ फॉन्ट के बेज़ियर कर्व्स का अनुमान लगाती है। एसडीएफ का एक संशोधित संस्करण एक नुकसान समारोह के रूप में पेश किया गया था ताकि कई वस्तुओं को प्रस्तुत करते समय पिक्सल के अंतःक्रिया में त्रुटि को कम किया जा सके। विशेष रूप से, किसी भी पिक्सेल के लिए जो किसी वस्तु से संबंधित नहीं है, यदि यह प्रतिपादन में वस्तु के बाहर स्थित है, तो कोई जुर्माना नहीं लगाया जाता है; यदि ऐसा होता है, तो वस्तु के अंदर इसकी दूरी के अनुपात में एक सकारात्मक मान लगाया जाता है।

$f(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}\,x\in \Omega ^{c}\\d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\in \Omega \end{cases}}$ 2020 में, फ्री और ओपन-सोर्स सॉफ्टवेयर गेम इंजन गोडोट (गेम इंजन)| गोडोट 4.0 को एसडीएफ-आधारित रीयल-टाइम वैश्विक चमक (एसडीएफजीआई) प्राप्त हुआ, जो अधिक यथार्थवादी स्वर-आधारित जीआई और बेक किए गए जीआई के बीच एक समझौता बन गया। इसका मुख्य लाभ यह है कि इसे अनंत स्थान पर लागू किया जा सकता है, जो डेवलपर्स को इसे ओपन-वर्ल्ड गेम्स के लिए उपयोग करने की अनुमति देता है। 2023 में, GPU का उपयोग करके सभी UI तत्वों, SDF का उपयोग करने वाले कई भागों को आकर्षित करने के लिए एक GPUI UI फ्रेमवर्क जारी किया गया था। लेखक का दावा है कि उसने एक जेड कोड संपादक तैयार किया है जो 120 एफपीएस पर प्रस्तुत करता है। यह काम एसडीएफ में इनिगो क्विलेज़ की ज्यामितीय प्राइमेटिव्स की सूची, इवान वालेस (फिग्मा (सॉफ्टवेयर) के सह-संस्थापक) के एसडीएफ में अनुमानित गौस्सियन धुंधलापन और एक नए गोलाकार आयत एसडीएफ का उपयोग करता है।

यह भी देखें

• दूरी समारोह
• स्तर-सेट विधि
• इकोनल समीकरण
• समानांतर वक्र|समानांतर (उर्फ ऑफ़सेट) वक्र
• हस्ताक्षरित चाप की लंबाई

संदर्भ

• Stanley J. Osher and Ronald P. Fedkiw (2003). Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer. ISBN 9780387227467.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. S. (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 224 (2nd ed.). Springer-Verlag. (or the Appendix of the 1977 1st ed.)