हाइड्रोस्टेटिक संतुलन

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हाइड्रोस्टैटिक संतुलन की स्थिति में एक नवगठित ग्रह का आरेख।

द्रव यांत्रिकी में, हाइड्रोस्टैटिक संतुलन (हाइड्रोस्टैटिक संतुलन, हाइड्रोस्टैसी) एक तरल पदार्थ या प्लास्टिसिटी (भौतिकी) ठोस की स्थिति है, जो तब होता है जब बाहरी बल, जैसे गुरुत्वाकर्षण, दबाव-ढाल बल द्वारा संतुलित होते हैं। पृथ्वी की ग्रहीय भौतिकी में, दबाव-ढाल बल गुरुत्वाकर्षण को पृथ्वी के वायुमंडल को एक पतले, घने आवरण में ढहने से रोकता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण दबाव-ढाल बल को वायुमंडल को बाहरी अंतरिक्ष में फैलने से रोकता है।

हाइड्रोस्टैटिक संतुलन बौने ग्रहों और छोटे सौर मंडल निकाय के बीच विशिष्ट मानदंड है, और खगोल भौतिकी और ग्रहीय भूविज्ञान में इसकी विशेषता है। संतुलन की उक्त योग्यता इंगित करती है कि वस्तु का आकार सममित रूप से गोल है, ज्यादातर घूर्णन के कारण, एक दीर्घवृत्ताभ में, जहां कोई भी अनियमित सतह की विशेषताएं अपेक्षाकृत पतली ठोस क्रस्ट (भूविज्ञान) के परिणामस्वरूप होती हैं। सूर्य के अलावा, सौर मंडल की गुरुत्वाकर्षण से गोल वस्तुओं की सूची है | लगभग एक दर्जन संतुलन वस्तुओं की पुष्टि की गई है सौरमंडल में अस्तित्व में रहना।

गणितीय विचार

यदि तरल पदार्थ की हाइलाइट की गई मात्रा में तेजी नहीं आ रही है, तो उस पर ऊपर की ओर लगने वाला बल नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए।

पृथ्वी पर हाइड्रोस्टेटिक द्रव के लिए:

$dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh$

बल योग से व्युत्पत्ति

Further information: Mechanical equilibrium

न्यूटन के गति के नियम कहते हैं कि एक तरल पदार्थ का आयतन जो गति में नहीं है या जो स्थिर वेग की स्थिति में है, उस पर शून्य शुद्ध बल होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए दिशा में बलों के योग का विपरीत दिशा में बलों के बराबर योग द्वारा विरोध किया जाना चाहिए। इस बल संतुलन को हाइड्रोस्टैटिक संतुलन कहा जाता है।

द्रव को बड़ी संख्या में घनाकार आयतन तत्वों में विभाजित किया जा सकता है; किसी एक तत्व पर विचार करके द्रव की क्रिया का पता लगाया जा सकता है।

तीन बल हैं: दबाव से घनाभ के शीर्ष पर नीचे की ओर बल, इसके ऊपर तरल पदार्थ का पी, दबाव की परिभाषा से है,

$F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}\cdot A$

इसी प्रकार नीचे से ऊपर की ओर धकेलने वाले द्रव के दबाव से आयतन तत्व पर बल लगता है

$F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}\cdot A$

अंत में, आयतन तत्व का भार नीचे की ओर एक बल का कारण बनता है। यदि घनत्व ρ है, आयतन V है और g मानक गुरुत्व है, तो:

$F_{\text{weight}}=-\rho \cdot g\cdot V$

इस घनाभ का आयतन ऊपर या नीचे के क्षेत्रफल, ऊंचाई के गुना के बराबर है—घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र।

$F_{\text{weight}}=-\rho \cdot g\cdot A\cdot h$

इन बलों को संतुलित करने से द्रव पर कुल बल होता है

$\sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}\cdot A-P_{\text{top}}\cdot A-\rho \cdot g\cdot A\cdot h$

यदि द्रव का वेग स्थिर है तो यह योग शून्य के बराबर है। ए से विभाजित करना,

$0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho \cdot g\cdot h$

या,

$P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho \cdot g\cdot h$

P_top − पी_bottom दबाव में परिवर्तन है, और h आयतन तत्व की ऊंचाई है - जमीन के ऊपर की दूरी में परिवर्तन। यह कहकर कि ये परिवर्तन अत्यंत छोटे हैं, समीकरण को अवकल समीकरण रूप में लिखा जा सकता है।

$dP=-\rho \cdot g\cdot dh$

घनत्व दबाव के साथ बदलता है, और गुरुत्वाकर्षण ऊंचाई के साथ बदलता है, इसलिए समीकरण होगा:

$dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh$

नेवियर-स्टोक्स समीकरणों से व्युत्पत्ति

अंत में ध्यान दें कि यह अंतिम समीकरण संतुलन की स्थिति के लिए त्रि-आयामी नेवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल करके प्राप्त किया जा सकता है जहां

$u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0$

तब एकमात्र गैर-तुच्छ समीकरण है $z$-समीकरण, जो अब पढ़ता है

${\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0$

इस प्रकार, हाइड्रोस्टैटिक संतुलन को नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का एक विशेष रूप से सरल संतुलन समाधान माना जा सकता है।

सामान्य सापेक्षता से व्युत्पत्ति

एक आदर्श तरल पदार्थ के लिए ऊर्जा-संवेग टेंसर को प्लग करके

$T^{\mu \nu }=(\rho c^{-2}+P)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }$

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में

$R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)$

और संरक्षण शर्त का उपयोग कर रहे हैं

$\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0$

आइसोट्रोपिक निर्देशांक में एक स्थिर, गोलाकार सममित सापेक्षतावादी तारे की संरचना के लिए कोई टॉल्मन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ़ समीकरण प्राप्त कर सकता है:

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}$

व्यवहार में, Ρ और ρ, f(Ρ,ρ)=0 के रूप की स्थिति के समीकरण से संबंधित हैं, जिसमें f तारे की संरचना के लिए विशिष्ट है। एम(आर) द्रव्यमान घनत्व ρ(आर) द्वारा भारित गोले का एक पर्ण है, जिसमें सबसे बड़ा गोला त्रिज्या आर वाला है:

$M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'r'^{2}\rho (r').$

गैर-सापेक्षतावादी सीमा लेने में मानक प्रक्रिया के अनुसार, हम c→∞ देते हैं, ताकि कारक

$\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1$

इसलिए, गैर-सापेक्षतावादी सीमा में टॉल्मन-ओपेनहाइमर-वोल्कॉफ समीकरण न्यूटन के हाइड्रोस्टैटिक संतुलन को कम कर देता है:

${\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh$

(हमने तुच्छ संकेतन परिवर्तन h = r किया है और ρ को P के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए f(Ρ,ρ) = 0 का उपयोग किया है)। घूमते हुए, अक्षीय रूप से सममित तारों के लिए एक समान समीकरण की गणना की जा सकती है, जो अपने गेज स्वतंत्र रूप में पढ़ता है:

${\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0$ टीओवी संतुलन समीकरण के विपरीत, ये दो समीकरण हैं (उदाहरण के लिए, यदि तारों का इलाज करते समय हमेशा की तरह, कोई गोलाकार निर्देशांक को आधार निर्देशांक के रूप में चुनता है $(t,r,\theta ,\varphi )$, सूचकांक i निर्देशांक r और के लिए चलता है $\theta$).

अनुप्रयोग

तरल पदार्थ

हाइड्रोस्टैटिक संतुलन हीड्रास्टाटिक्स और तरल पदार्थों के संतुलन के सिद्धांतों से संबंधित है। हाइड्रोस्टैटिक संतुलन पानी में पदार्थों को तौलने के लिए एक विशेष संतुलन है। हाइड्रोस्टैटिक संतुलन उनके विशिष्ट गुरुत्व की खोज (अवलोकन) की अनुमति देता है। यह संतुलन तब सख्ती से लागू होता है जब एक आदर्श तरल पदार्थ स्थिर क्षैतिज लामिना प्रवाह में होता है, और जब कोई तरल स्थिर गति से स्थिर या ऊर्ध्वाधर गति में होता है। यह एक संतोषजनक अनुमान भी हो सकता है जब प्रवाह की गति इतनी कम हो कि त्वरण नगण्य हो।

खगोलभौतिकी

किसी तारे की किसी भी परत में, नीचे से बाहर की ओर निकलने वाले तापीय दबाव और ऊपर से अंदर की ओर दबने वाले पदार्थ के भार के बीच एक हाइड्रोस्टेटिक संतुलन होता है। समदैशिक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र तारे को यथासंभव सबसे सघन आकार में संपीड़ित करता है। हाइड्रोस्टैटिक संतुलन में घूमने वाला तारा एक निश्चित (महत्वपूर्ण) कोणीय वेग तक एक चपटा गोलाकार होता है। इस घटना का एक चरम उदाहरण तारा वेगा है, जिसकी घूर्णन अवधि 12.5 घंटे है। नतीजतन, वेगा ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर लगभग 20% बड़ा है। क्रांतिक कोणीय वेग से ऊपर कोणीय वेग वाला एक तारा जैकोबी दीर्घवृत्ताभ बन जाता है|जैकोबी (स्केलीन) दीर्घवृत्ताभ, और इससे भी तेज घूर्णन पर यह दीर्घवृत्ताकार नहीं रह जाता है, बल्कि पाइरीफॉर्म या अंडाकार के समान हो जाता है, इसके अलावा अन्य आकार भी होते हैं, हालांकि स्केलीन से परे आकार होते हैं स्थिर नहीं हैं. यदि तारे के पास कोई विशाल साथी वस्तु है तो ज्वारीय बल भी काम में आते हैं, जो तारे को स्केलीन आकार में विकृत कर देते हैं, जब अकेले घूमने पर यह एक गोलाकार बन जाता है। इसका एक उदाहरण बीटा लाइरे है।

हाइड्रोस्टैटिक संतुलन इंट्राक्लस्टर माध्यम के लिए भी महत्वपूर्ण है, जहां यह आकाशगंगाओं के समूह के मूल में मौजूद तरल पदार्थ की मात्रा को प्रतिबंधित करता है।

हम आकाशगंगाओं के समूहों में काले पदार्थ के वेग फैलाव का अनुमान लगाने के लिए हाइड्रोस्टैटिक संतुलन के सिद्धांत का भी उपयोग कर सकते हैं। केवल बेरियोनिक पदार्थ (या, बल्कि, उसके टकराव) ही एक्स-रे विकिरण उत्सर्जित करते हैं। प्रति इकाई आयतन में पूर्ण एक्स-रे चमक का रूप ले लेता है ${\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}$ कहाँ $T_{B}$ और $\rho _{B}$ बैरोनिक पदार्थ का तापमान और घनत्व हैं, और $\Lambda (T)$ तापमान और मूलभूत स्थिरांक का कुछ कार्य है। बैरोनिक घनत्व उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करता है $dP=-\rho gdr$:

$p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.$

इंटीग्रल, क्लस्टर के कुल द्रव्यमान का एक माप है $r$ क्लस्टर के केंद्र से उचित दूरी होना। आदर्श गैस नियम का उपयोग करना $p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}$ ($k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और $m_{B}$ बैरोनिक गैस कणों का एक विशिष्ट द्रव्यमान है) और पुनर्व्यवस्थित करते हुए, हम पहुंचते हैं

${\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.$

से गुणा करना $r^{2}/\rho _{B}(r)$ और के संबंध में अंतर करना $r$ पैदावार

${\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).$

यदि हम यह धारणा बनाते हैं कि ठंडे डार्क मैटर कणों में आइसोट्रोपिक वेग वितरण होता है, तो वही व्युत्पत्ति इन कणों और उनके घनत्व पर लागू होती है $\rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}$ गैर-रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है

${\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).$

सही एक्स-रे और दूरी डेटा के साथ, हम क्लस्टर में प्रत्येक बिंदु पर बैरियन घनत्व और इस प्रकार डार्क मैटर घनत्व की गणना कर सकते हैं। फिर हम वेग फैलाव की गणना कर सकते हैं $\sigma _{D}^{2}$ डार्क मैटर का, जो द्वारा दिया गया है

$\sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.$ केंद्रीय घनत्व अनुपात $\rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)$ लाल शिफ्ट पर निर्भर है $z$ क्लस्टर का और द्वारा दिया गया है

$\rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}$ कहाँ $\theta$ क्लस्टर की कोणीय चौड़ाई है और $s$ क्लस्टर से उचित दूरी. विभिन्न सर्वेक्षणों के लिए अनुपात का मान .11 से .14 तक होता है।

ग्रहीय भूविज्ञान

See also: List of gravitationally rounded objects of the Solar System

Further information: Clairaut's theorem (gravity)

हाइड्रोस्टेटिक संतुलन की अवधारणा यह निर्धारित करने में भी महत्वपूर्ण हो गई है कि कोई खगोलीय वस्तु एक ग्रह है, बौना ग्रह है, या छोटा सौर मंडल पिंड है। 2006 में अंतर्राष्ट्रीय खगोलीय संघ द्वारा अपनाई गई ग्रह की परिभाषा के अनुसार, ग्रहों और बौने ग्रहों की एक परिभाषित विशेषता यह है कि वे ऐसी वस्तुएं हैं जिनमें अपनी कठोरता को दूर करने और हाइड्रोस्टेटिक संतुलन ग्रहण करने के लिए पर्याप्त गुरुत्वाकर्षण होता है। इस तरह के शरीर में अक्सर दुनिया के विभेदित आंतरिक और भूविज्ञान (एक विमान) होंगे, हालांकि निकट-हाइड्रोस्टैटिक या पूर्व हाइड्रोस्टैटिक निकायों जैसे कि प्रोटो-प्लैनेट 4 वेस्टा को भी विभेदित किया जा सकता है और कुछ हाइड्रोस्टैटिक निकायों (विशेष रूप से कैलिस्टो (चंद्रमा)) को भी विभेदित किया जा सकता है। अपने गठन के बाद से पूरी तरह से विभेदित नहीं हुए हैं। अक्सर संतुलन का आकार एक चपटा गोलाकार होता है, जैसा कि पृथ्वी के मामले में है। हालाँकि, समकालिक कक्षा में चंद्रमाओं के मामलों में, लगभग यूनिडायरेक्शनल ज्वारीय बल एक स्केलीन दीर्घवृत्त बनाते हैं। इसके अलावा, कथित बौना ग्रह Haumea अपने तीव्र घूर्णन के कारण स्केलीन है, हालाँकि यह वर्तमान में संतुलन में नहीं हो सकता है।

पहले माना जाता था कि बर्फीली वस्तुओं को चट्टानी वस्तुओं की तुलना में हाइड्रोस्टेटिक संतुलन प्राप्त करने के लिए कम द्रव्यमान की आवश्यकता होती है। संतुलन आकार वाली सबसे छोटी वस्तु 396 किमी दूर बर्फीला चंद्रमा मीमास (चंद्रमा)चंद्रमा) है, जबकि स्पष्ट रूप से गैर-संतुलन आकार वाली सबसे बड़ी बर्फीली वस्तु 420 किमी दूर बर्फीला चंद्रमा प्रोटियस (चंद्रमा) है, और स्पष्ट रूप से गैर-संतुलन आकार में सबसे बड़े चट्टानी पिंड क्षुद्रग्रह 2 पलास और 4 वेस्टा हैं जो लगभग 520 किमी की दूरी पर हैं। हालाँकि, मीमास वास्तव में अपने वर्तमान घूर्णन के लिए हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में नहीं है। हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में होने की पुष्टि की गई सबसे छोटा पिंड बौना ग्रह सेरेस (बौना ग्रह) है, जो 945 किमी पर बर्फीला है, जबकि हाइड्रोस्टैटिक संतुलन से ध्यान देने योग्य विचलन वाला सबसे बड़ा ज्ञात पिंड इपेटस (चंद्रमा) है जो ज्यादातर पारगम्य से बना है। बर्फ और लगभग कोई चट्टान नहीं। 1,469 किमी पर इपेटस न तो गोलाकार है और न ही दीर्घवृत्ताकार। इसके बजाय, इपेटस पर अपनी अनूठी भूमध्यरेखीय कटक के कारण इसका आकार अजीब अखरोट जैसा है। कुछ बर्फीले पिंड कम से कम आंशिक रूप से उपसतह महासागर के कारण संतुलन में हो सकते हैं, जो IAU (आंतरिक कठोर-शरीर बलों पर काबू पाने वाला गुरुत्वाकर्षण) द्वारा उपयोग की जाने वाली संतुलन की परिभाषा नहीं है। यहां तक ​​कि बड़े पिंड भी हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से विचलित हो जाते हैं, हालांकि वे दीर्घवृत्ताकार होते हैं: उदाहरण हैं पृथ्वी का चंद्रमा 3,474 किमी (ज्यादातर चट्टान) पर, और बुध ग्रह (ग्रह) 4,880 किमी (अधिकतर धातु) पर। ठोस निकायों में अनियमित सतहें होती हैं, लेकिन स्थानीय अनियमितताएं वैश्विक संतुलन के अनुरूप हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, सबसे ऊंचे का विशाल आधार पृथ्वी पर पर्वत, मौना केआ, ने आसपास की पपड़ी के स्तर को विकृत और दबा दिया है, जिससे द्रव्यमान का समग्र वितरण संतुलन के करीब पहुंच गया है।

वायुमंडलीय मॉडलिंग

Further information: Atmospheric model

वायुमंडल में ऊंचाई बढ़ने के साथ हवा का दबाव कम होता जाता है। यह दबाव अंतर एक ऊपर की ओर बल का कारण बनता है जिसे दबाव-प्रवण बल कहा जाता है। गुरुत्वाकर्षण बल इसे संतुलित करता है, वायुमंडल को पृथ्वी से बांधे रखता है और ऊंचाई के साथ दबाव के अंतर को बनाए रखता है।

रत्न विज्ञान

रत्नविज्ञानी रत्नों के विशिष्ट गुरुत्व को निर्धारित करने के लिए हाइड्रोस्टैटिक संतुलन का उपयोग करते हैं। एक रत्नविज्ञानी हाइड्रोस्टैटिक संतुलन के साथ देखे गए विशिष्ट गुरुत्व की तुलना रत्नों के लिए जानकारी की एक मानकीकृत सूची के साथ कर सकता है, जिससे उन्हें जांच के तहत रत्न की पहचान या प्रकार को कम करने में मदद मिलती है।

यह भी देखें

• सौर मंडल की गुरुत्वाकर्षण से गोल वस्तुओं की सूची; उन वस्तुओं की सूची जिनकी गुरुत्वाकर्षण के कारण गोल, दीर्घवृत्ताकार आकृति होती है (लेकिन जरूरी नहीं कि वे हाइड्रोस्टेटिक संतुलन में हों)
• स्थिति-विज्ञान
• दो गुब्बारे वाला प्रयोग

संदर्भ

• White, Frank M. (2008). "Pressure Distribution in a Fluid". Fluid Mechanics. New York: McGraw-Hill. pp. 63–107. ISBN 978-0-07-128645-9.

बाहरी संबंध

• Strobel, Nick. (May, 2001). Nick Strobel's Astronomy Notes.
• Demonstration on YouTube by Richard Pogge, Ohio State University, Department of Astronomy