हाइपरलिप्टिक वक्र

चित्र 1: हाइपरलिप्टिक वक्र का ग्राफ़ $C:y^{2}=f(x)$ कहाँ

$$f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2).$$

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक हाइपरलिप्टिक वक्र जीनस (गणित) g > 1 का एक बीजगणितीय वक्र होता है, जो फॉर्म के समीकरण द्वारा दिया जाता है

$$y^{2}+h(x)y=f(x)$$

जहाँ f(x) घात n = 2g + 1 > 4 या n = 2g + 2 > 4 का n भिन्न मूलों वाला एक बहुपद है, और h(x) घात < g + 2 का एक बहुपद है (यदि की विशेषता जमीनी क्षेत्र 2 नहीं है, कोई h(x) = 0) ले सकता है।

एक 'हाइपरेलिप्टिक फ़ंक्शन' ऐसे वक्र की बीजगणितीय विविधता या वक्र पर जैकोबियन विविधता के फ़ंक्शन फ़ील्ड का एक तत्व है; ये दोनों अवधारणाएँ अण्डाकार कार्यों के लिए समान हैं, लेकिन हाइपरलिप्टिक कार्यों के लिए भिन्न हैं।

जीनस

बहुपद की डिग्री वक्र के जीनस को निर्धारित करती है: 2g + 1 या 2g + 2 की डिग्री वाला एक बहुपद जीनस g का एक वक्र देता है। जब डिग्री 2g + 1 के बराबर होती है, तो वक्र को काल्पनिक हाइपरलिप्टिक वक्र कहा जाता है। इस बीच, डिग्री 2g + 2 के वक्र को वास्तविक हाइपरलिप्टिक वक्र कहा जाता है। जीनस के बारे में यह कथन g = 0 या 1 के लिए सत्य रहता है, लेकिन उन विशेष मामलों को हाइपरलिप्टिक नहीं कहा जाता है। मामले में g = 1 (यदि कोई एक विशिष्ट बिंदु चुनता है), तो ऐसे वक्र को अण्डाकार वक्र कहा जाता है।

मॉडल का निरूपण और चयन

जबकि यह मॉडल हाइपरलिप्टिक वक्रों का वर्णन करने का सबसे सरल तरीका है, ऐसे समीकरण में प्रक्षेप्य तल में अनंत पर गणितीय विलक्षणता होगी। यह सुविधा मामले n > 3 के लिए विशिष्ट है। इसलिए, एक गैर-एकवचन वक्र को निर्दिष्ट करने के लिए ऐसा समीकरण देते समय, यह लगभग हमेशा माना जाता है कि एक गैर-एकवचन मॉडल (जिसे एक सहज समापन भी कहा जाता है), के अर्थ में समतुल्य है द्विवार्षिक ज्यामिति, का तात्पर्य है।

अधिक सटीक होने के लिए, समीकरण 'सी' (एक्स) के द्विघात विस्तार को परिभाषित करता है, और यह फ़ंक्शन फ़ील्ड है जिसका अर्थ है। अनंत पर एकवचन बिंदु को सामान्यीकरण (अभिन्न समापन) प्रक्रिया द्वारा हटाया जा सकता है (क्योंकि यह एक वक्र है)। यह पता चला है कि ऐसा करने के बाद, दो एफ़िन चार्ट द्वारा वक्र का एक खुला कवर होता है: एक पहले से ही दिया गया है

$$y^{2}=f(x)$$

और दूसरा द्वारा दिया गया

$$w^{2}=v^{2g+2}f(1/v).$$

दोनों चार्टों के बीच चिपकने वाले मानचित्र दिए गए हैं

$$(x,y)\mapsto (1/x,y/x^{g+1})$$

और

$$(v,w)\mapsto (1/v,w/v^{g+1}),$$

जहाँ भी उन्हें परिभाषित किया गया है।

वास्तव में ज्यामितीय आशुलिपि को मान लिया गया है, जिसमें वक्र C को प्रक्षेप्य रेखा के एक विस्तृत दोहरे आवरण के रूप में परिभाषित किया गया है, रामीकरण (गणित) f की जड़ों पर होता है, और अनंत पर बिंदु पर विषम n के लिए भी होता है। इस तरह से मामलों n = 2g + 1 और 2g + 2 को एकीकृत किया जा सकता है, क्योंकि हम अनंत से दूर किसी भी प्रभाव बिंदु को स्थानांतरित करने के लिए प्रक्षेप्य विमान के स्वचालितता का उपयोग कर सकते हैं।

रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र का उपयोग करना

रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र का उपयोग करते हुए, जीनस जी के साथ हाइपरलिप्टिक वक्र को डिग्री एन = 2 जी + 2 के साथ एक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है। मान लीजिए एफ: एक्स → पी¹विभाजन डिग्री 2 के साथ एक शाखित आवरण है, जहां एक्स जीनस जी और पी के साथ एक वक्र है¹रीमैन क्षेत्र है। चलो जी₁ = जी और जी₀ पी का वंश हो¹( = 0 ), तो रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र प्राप्त होता है

$2-2g_{1}=2(2-2g_{0})-\sum _{s\in X}(e_{s}-1)$

जहां s, X पर सभी फैले हुए बिंदुओं पर है। फैले हुए बिंदुओं की संख्या n है, इसलिए n = 2g + 2.

घटना और अनुप्रयोग

जीनस 2 के सभी वक्र हाइपरलिप्टिक हैं, लेकिन जीनस ≥ 3 के लिए जेनेरिक वक्र हाइपरलिप्टिक नहीं है। इसे मॉड्यूलि स्पेस आयाम जांच द्वारा अनुमानी रूप से देखा जाता है। स्थिरांक की गणना, n = 2g + 2 के साथ, प्रक्षेप्य रेखा के ऑटोमोर्फिज्म की कार्रवाई के अधीन n बिंदुओं के संग्रह में (2g + 2) - 3 डिग्री स्वतंत्रता है, जो 3g - 3 से कम है, मॉड्यूल की संख्या जीनस जी के एक वक्र का, जब तक कि जी 2 न हो। वक्रों या एबेलियन किस्मों के मॉड्यूल स्पेस में हाइपरलिप्टिक लोकस के बारे में बहुत कुछ ज्ञात है, हालांकि सरल मॉडलों के साथ सामान्य गैर-हाइपरलिप्टिक वक्र प्रदर्शित करना कठिन है। हाइपरलिप्टिक वक्रों का एक ज्यामितीय लक्षण वर्णन वीयरस्ट्रैस बिंदुओं के माध्यम से होता है। गैर-हाइपरलिप्टिक वक्रों की अधिक विस्तृत ज्यामिति विहित वक्रों के सिद्धांत से पढ़ी जाती है, विहित बंडल#कैनोनिकल मानचित्र हाइपरलिप्टिक वक्रों पर 2-से-1 होते हैं लेकिन अन्यथा जी> 2 के लिए 1-से-1 होते हैं। त्रिकोणीय वक्र वे होते हैं जो संगत होते हैं किसी बहुपद का वर्गमूल के बजाय घनमूल निकालना।

तर्कसंगत फ़ंक्शन फ़ील्ड के द्विघात विस्तार द्वारा परिभाषा विशेषता 2 को छोड़कर सामान्य रूप से फ़ील्ड के लिए काम करती है; यदि विस्तार को अलग करने योग्य माना जाता है, तो सभी मामलों में प्रक्षेप्य रेखा के व्यापक दोहरे आवरण के रूप में ज्यामितीय परिभाषा उपलब्ध है।

हाइपरलिप्टिक वक्रों का उपयोग असतत लघुगणक समस्या के आधार पर क्रिप्टोसिस्टम के लिए हाइपरलिप्टिक वक्र क्रिप्टोग्राफी में किया जा सकता है।

हाइपरलिप्टिक वक्र भी एबेलियन डिफरेंशियल के मॉड्यूल स्पेस के कुछ स्तरों के संपूर्ण जुड़े हुए घटकों की रचना करते हुए दिखाई देते हैं। जीनस =1 के भरण के मामले में मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव के भरण क्षेत्र अनुमान को साबित करने के लिए जीनस-2 वक्रों की हाइपरलिप्टिकिटी का उपयोग किया गया था।

वर्गीकरण

दिए गए जीनस जी के हाइपरलिप्टिक वक्रों में एक मॉड्यूलि स्पेस होता है, जो डिग्री 2जी+2 के बाइनरी रूप के अपरिवर्तनीय रिंग से निकटता से संबंधित होता है।

इतिहास

हाइपरलिप्टिक फ़ंक्शंस पहली बार प्रकाशित हुए थे एडोल्फ गोपेल (1812-1847) द्वारा अपने अंतिम पेपर एबेलियन ट्रान्सेंडेंट्स ऑफ फर्स्ट ऑर्डर में (क्रेल्स जर्नल, खंड 35, 1847 में)। स्वतंत्र रूप से जोहान जी. रोसेनहैन ने उस मामले पर काम किया और पहली तरह के अल्ट्राएलिप्टिक इंटीग्रल्स के व्युत्क्रम प्रकाशित किए (मेमोइरेस डेस सावंत्स आदि में, खंड 11, 1851)।

यह भी देखें

• बोल्ज़ा सतह
• सुपरलिप्टिक वक्र

संदर्भ

• "Hyper-elliptic curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• A user's guide to the local arithmetic of hyperelliptic curves

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