हैडमार्ड तीन-पंक्ति प्रमेय

जटिल विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, हैडमार्ड तीन-पंक्ति प्रमेय जटिल विमान में समानांतर रेखाओं से घिरे क्षेत्रों में परिभाषित होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में एक परिणाम है। प्रमेय का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ जैक्स हैडमार्ड के नाम पर रखा गया है।

कथन

Hadamard three-lines theorem — Let $f(z)$ be a bounded function of $z=x+iy$ defined on the strip

$\{x+iy:a\leq x\leq b\},$

holomorphic in the interior of the strip and continuous on the whole strip. If

$M(x)=\sup _{y}|f(x+iy)|$

then $\log M(x)$ is a convex function on $[a,b].$

In other words, if $x=ta+(1-t)b$ with $0\leq t\leq 1,$ then

$M(x)\leq M(a)^{t}M(b)^{1-t}.$

style="background: #F0F2F5; font-size:87%; padding:0.2em 0.3em; text-align:left; " | Proof

परिभाषित करना $F(z)$ द्वारा $F(z)=f(z)M(a)^{z-b \over b-a}M(b)^{z-a \over a-b}$ कहाँ $|F(z)|\leq 1$ पट्टी के किनारों पर। परिणाम तब आता है जब यह दिखाया जाता है कि असमानता पट्टी के आंतरिक भाग में भी है। समन्वय में एक एफ़िन परिवर्तन के बाद $z,$ यह माना जा सकता है $a=0$ और $b=1.$ कार्यक्रम $F_{n}(z)=F(z)e^{z^{2}/n}e^{-1/n}$ आदत है $0$ जैसा $|z|$ अनंत की ओर जाता है और संतुष्ट करता है $|F_{n}|\leq 1$ पट्टी की सीमा पर। अधिकतम मॉड्यूलस सिद्धांत इसलिए लागू किया जा सकता है $F_{n}$ पट्टी में। इसलिए $|F_{n}(z)|\leq 1.$ क्योंकि $F_{n}(z)$ आदत है $F(z)$ जैसा $n$ अनंत की ओर जाता है, यह उसका अनुसरण करता है $|F(z)|\leq 1.$ ∎

अनुप्रयोग

तीन-पंक्ति प्रमेय का उपयोग एक परिबद्ध निरंतर कार्य के लिए हैडमार्ड तीन-सर्कल प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है $g(z)$ एक पर वलय (गणित) $\{z:r\leq |z|\leq R\},$ इंटीरियर में होलोमॉर्फिक। वास्तव में प्रमेय को लागू करना

$f(z)=g(e^{z}),$

दिखाता है कि अगर

$m(s)=\sup _{|z|=e^{s}}|g(z)|,$

तब $\log \,m(s)$ का उत्तल कार्य है $s.$ तीन-पंक्ति प्रमेय भी बानाच स्थान में मूल्यों के साथ कार्य करता है और इंटरपोलेशन स्पेस#कॉम्प्लेक्स इंटरपोलेशन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मापने योग्य कार्यों के लिए होल्डर की असमानता को साबित करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है

$\int |gh|\leq \left(\int |g|^{p}\right)^{1 \over p}\cdot \left(\int |h|^{q}\right)^{1 \over q},$

कहाँ ${1 \over p}+{1 \over q}=1,$ समारोह पर विचार करके

$f(z)=\int |g|^{pz}|h|^{q(1-z)}.$

यह भी देखें

• रीज़्ज़-थोरिन प्रमेय

संदर्भ

• Hadamard, Jacques (1896), "Sur les fonctions entières" (PDF), Bull. Soc. Math. Fr., 24: 186–187 (the original announcement of the theorem)
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Methods of modern mathematical physics, Volume 2: Fourier analysis, self-adjointness, Elsevier, pp. 33–34, ISBN 0-12-585002-6
• Ullrich, David C. (2008), Complex made simple, Graduate Studies in Mathematics, vol. 97, American Mathematical Society, pp. 386–387, ISBN 978-0-8218-4479-3