3 डी रोटेशन समूह

शास्त्रीय यांत्रिकी और ज्यामिति में, 3डी रोटेशन समूह, जिसे अक्सर विशेष ऑर्थोगोनल समूह (3) कहा जाता है, त्रि-आयामी अंतरिक्ष की उत्पत्ति (गणित) के बारे में सभी घुमावों का समूह (गणित) है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{3}$ समारोह संरचना के संचालन के तहत। परिभाषा के अनुसार, उत्पत्ति के बारे में एक रोटेशन एक परिवर्तन है जो उत्पत्ति, यूक्लिडियन दूरी (इसलिए यह एक आइसोमेट्री है), और अभिविन्यास (वेक्टर स्पेस) (यानी, अंतरिक्ष की सुंदरता) को संरक्षित करता है। दो घुमावों की रचना के परिणामस्वरूप एक और घुमाव होता है, प्रत्येक घुमाव में एक अद्वितीय व्युत्क्रम फ़ंक्शन रोटेशन होता है, और पहचान मानचित्र एक रोटेशन की परिभाषा को संतुष्ट करता है। उपरोक्त गुणों के कारण (समग्र घुमावों की साहचर्य संपत्ति के साथ), सभी घुमावों का सेट संरचना के तहत एक समूह (गणित) है।

प्रत्येक गैर-तुच्छ घुमाव उसके घूर्णन के अक्ष (मूल के माध्यम से एक रेखा) और उसके घूर्णन के कोण द्वारा निर्धारित किया जाता है। घुमाव क्रमविनिमेय नहीं हैं (उदाहरण के लिए, एक्स-वाई तल में R 90° घुमाने के बाद y-z तल में S 90° घूमने से S के बाद R के समान नहीं है), जिससे 3डी घूर्णन समूह एक गैर-अबेलियन समूह बन जाता है। इसके अलावा, रोटेशन समूह के पास कई गुना के रूप में एक प्राकृतिक संरचना होती है जिसके लिए समूह संचालन सुचारू रूप से कार्य करता है, इसलिए यह वास्तव में एक झूठ समूह है। यह कॉम्पैक्ट स्पेस है और इसका डायमेंशन 3 है।

घूर्णन के रैखिक परिवर्तन हैं $\mathbb {R} ^{3}$ और इसलिए एक वेक्टर अंतरिक्ष के आधार पर एक बार मैट्रिक्स (गणित) द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{3}$ चुना गया है। विशेष रूप से, यदि हम का एक असामान्य आधार चुनते हैं $\mathbb {R} ^{3}$, हर घुमाव का वर्णन एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल 3 × 3 मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है (अर्थात, वास्तविक प्रविष्टियों के साथ एक 3 × 3 मैट्रिक्स, जिसे जब इसके स्थानान्तरण से गुणा किया जाता है, तो पहचान मैट्रिक्स में परिणाम होता है) निर्धारक 1 के साथ। समूह SO(3) इसलिए मैट्रिक्स गुणन के तहत इन मैट्रिक्स के समूह के साथ पहचाना जा सकता है। इन मैट्रिसेस को विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस के रूप में जाना जाता है, जो संकेतन SO(3) की व्याख्या करते हैं।

समूह SO(3) का उपयोग किसी वस्तु की संभावित घूर्णी समरूपता के साथ-साथ अंतरिक्ष में किसी वस्तु के संभावित अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए किया जाता है। भौतिकी में इसका समूह प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण है, जहां वे पूर्णांक स्पिन (भौतिकी) के प्राथमिक कणों को जन्म देते हैं।

लंबाई और कोण

लंबाई को संरक्षित करने के अलावा, घुमाव भी वैक्टर के बीच के कोणों को संरक्षित करता है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि दो वैक्टर यू और वी के बीच मानक डॉट उत्पाद को पूरी तरह से लंबाई के संदर्भ में लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).$$

यह इस प्रकार है कि प्रत्येक लम्बाई-संरक्षण रैखिक परिवर्तन में $\mathbb {R} ^{3}$ डॉट उत्पाद को संरक्षित करता है, और इस प्रकार वैक्टर के बीच का कोण। घुमावों को अक्सर रैखिक परिवर्तनों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो आंतरिक उत्पाद को चालू रखता है $\mathbb {R} ^{3}$, जो उन्हें लंबाई बनाए रखने की आवश्यकता के बराबर है। इस अधिक सामान्य दृष्टिकोण के इलाज के लिए शास्त्रीय समूह देखें, जहां SO(3) एक विशेष मामले के रूप में प्रकट होता है।

ऑर्थोगोनल और रोटेशन मेट्रिसेस

Main articles: Orthogonal matrix and Rotation matrix

हर घुमाव का एक अलौकिक आधार होता है $\mathbb {R} ^{3}$ दूसरे अलौकिक आधार पर। परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के किसी भी रैखिक परिवर्तन की तरह, रोटेशन को हमेशा एक मैट्रिक्स (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। होने देना R एक दिया गया रोटेशन हो। मानक आधार के संबंध में e₁, e₂, e₃ का $\mathbb {R} ^{3}$ के स्तंभ R द्वारा दिए गए हैं (Re₁, Re₂, Re₃). चूंकि मानक आधार ऑर्थोनॉर्मल है, और चूंकि R कोणों और लंबाई, के स्तंभों को संरक्षित करता है R एक और अलौकिक आधार बनाएँ। इस ऑर्थोनॉर्मलिटी स्थिति को रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,$

कहां R^T के स्थानान्तरण को दर्शाता है R और I है 3 × 3 शिनाख्त सांचा। वे आव्यूह जिनके लिए यह गुण धारण करता है लंबकोणीय आव्यूह कहलाते हैं। सबका समूह 3 × 3 ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस को निरूपित किया जाता है O(3), और इसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव शामिल हैं।

लंबाई को संरक्षित करने के अलावा, उचित घुमावों को अभिविन्यास को भी संरक्षित करना चाहिए। मैट्रिक्स का निर्धारक सकारात्मक या नकारात्मक है या नहीं, इसके अनुसार एक मैट्रिक्स ओरिएंटेशन को संरक्षित या रिवर्स करेगा। एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के लिए R, ध्यान दें कि det R^T = det R तात्पर्य (det R)² = 1, ताकि det R = ±1. निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का उपसमूह +1 विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है SO(3).

इस प्रकार यूनिट निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा प्रत्येक रोटेशन को विशिष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। इसके अलावा, चूंकि घुमावों की संरचना मैट्रिक्स गुणन से मेल खाती है, रोटेशन समूह विशेष ऑर्थोगोनल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है SO(3).

अनुचित घुमाव निर्धारक के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के अनुरूप हैं −1, और वे एक समूह नहीं बनाते हैं क्योंकि दो अनुचित घुमावों का गुणनफल एक उचित घूर्णन है।

समूह संरचना

रोटेशन समूह फ़ंक्शन संरचना (या समकक्ष मैट्रिक्स उत्पाद) के तहत एक समूह (गणित) है। यह सामान्य रेखीय समूह का एक उपसमूह है जिसमें वास्तविक समन्वय स्थान के सभी उलटा मैट्रिक्स रैखिक परिवर्तन शामिल हैं। वास्तविक 3-अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{3}$. इसके अलावा, रोटेशन ग्रुप नॉनबेलियन ग्रुप है। अर्थात्, जिस क्रम में घुमावों की रचना की जाती है, उससे फर्क पड़ता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक x-अक्ष के चारों ओर एक चौथाई घुमाव और उसके बाद धनात्मक y-अक्ष के चारों ओर एक चौथाई घुमाव पहले y और फिर x के चारों ओर घूमने से प्राप्त होने वाले घुमाव से भिन्न होता है।

ऑर्थोगोनल समूह, जिसमें सभी उचित और अनुचित घुमाव शामिल हैं, प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं। प्रत्येक उचित घुमाव दो प्रतिबिंबों की संरचना है, कार्टन-ड्यूडोने प्रमेय का एक विशेष मामला।

घूर्णन की धुरी

Main article: Axis–angle representation

3 आयामों में प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित घुमाव एक अद्वितीय 1-आयामी रैखिक उप-स्थान को ठीक करता है $\mathbb {R} ^{3}$ जिसे रोटेशन की धुरी कहा जाता है (यह यूलर का रोटेशन प्रमेय है)। इस तरह का प्रत्येक घुमाव इस अक्ष के समकोणीय तल में सामान्य द्वि-आयामी घूर्णन के रूप में कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक 2-आयामी घुमाव को कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है, इस अक्ष के बारे में रोटेशन के कोण के साथ एक साथ रोटेशन के अक्ष द्वारा एक मनमाने ढंग से 3-आयामी घुमाव को निर्दिष्ट किया जा सकता है। (तकनीकी रूप से, किसी को अक्ष के लिए एक अभिविन्यास निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है और क्या इस अभिविन्यास के संबंध में रोटेशन को दक्षिणावर्त और वामावर्त या वामावर्त लिया जाता है)।

उदाहरण के लिए, कोण φ द्वारा सकारात्मक z-अक्ष के बारे में वामावर्त रोटेशन द्वारा दिया जाता है

$R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

एक इकाई वेक्टर n दिया गया है $\mathbb {R} ^{3}$ और एक कोण φ, चलो R(φ, 'n') 'n' के माध्यम से धुरी के बारे में वामावर्त रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं ('n' द्वारा निर्धारित अभिविन्यास के साथ)। फिर

• R(0, 'n') किसी भी 'n' के लिए तत्समक परिवर्तन है
• आर(φ, 'एन') = आर(−φ, -'एन')
• आर(π + φ, 'एन') = आर (π - φ, -'एन')।

इन गुणों का उपयोग करके कोई भी दिखा सकता है कि किसी भी घुमाव को 0 ≤ φ ≤ की सीमा में एक अद्वितीय कोण φ द्वारा दर्शाया जा सकता है π और एक इकाई सदिश n ऐसा है कि

• n मनमाना है अगर φ = 0
• एन अद्वितीय है अगर 0 <φ < π
• n एक चिन्ह (गणित) तक अद्वितीय है यदि φ = π (अर्थात, घूर्णन R(π, ±n) समान हैं)।

अगले खंड में, घुमावों के इस प्रतिनिधित्व का उपयोग SO(3) को त्रि-आयामी वास्तविक प्रक्षेपी स्थान के साथ स्थैतिक रूप से पहचानने के लिए किया जाता है।

टोपोलॉजी

Main article: Hypersphere of rotations

लाई समूह SO(3) वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान के लिए भिन्नता है $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).$ ठोस गेंद पर विचार करें $\mathbb {R} ^{3}$ त्रिज्या का π (अर्थात, के सभी बिंदु $\mathbb {R} ^{3}$ दूरी का π या मूल से कम)। उपरोक्त को देखते हुए, इस गेंद में प्रत्येक बिंदु के लिए एक रोटेशन होता है, बिंदु और उत्पत्ति के माध्यम से धुरी के साथ, और रोटेशन कोण मूल से बिंदु की दूरी के बराबर होता है। पहचान रोटेशन गेंद के केंद्र में बिंदु से मेल खाती है। 0 और − के बीच के कोणों से घूर्णनπ एक ही अक्ष पर बिंदु के अनुरूप और उत्पत्ति से दूरी लेकिन मूल के विपरीत दिशा में। एक शेष मुद्दा यह है कि दो घुमाव के माध्यम से π और के माध्यम से -π समान हैं। तो हम गेंद की सतह पर भागफल स्थान (टोपोलॉजी) (या एक साथ गोंद) एंटीपोडल अंक। इस पहचान के बाद, हम रोटेशन समूह के लिए एक टोपोलॉजिकल स्पेस होमोमोर्फिक पर पहुंचते हैं।

दरअसल, एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद एक चिकनी कई गुना है, और यह कई गुना रोटेशन समूह के लिए अलग-अलग है। यह वास्तविक प्रोजेक्टिव स्पेस के लिए भी अलग-अलग है। वास्तविक 3-आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),$ इसलिए बाद वाला भी रोटेशन समूह के लिए एक सामयिक मॉडल के रूप में काम कर सकता है।

ये पहचान दर्शाती है कि SO(3) कनेक्टेड स्पेस है लेकिन केवल कनेक्टेड नहीं है। उत्तरार्द्ध के रूप में, एंटीपोडल सतह बिंदुओं वाली गेंद में, उत्तरी ध्रुव से सीधे आंतरिक नीचे दक्षिण ध्रुव तक जाने वाले मार्ग पर विचार करें। यह एक बंद लूप है, क्योंकि उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव की पहचान की गई है। इस लूप को एक बिंदु तक सिकोड़ कर नहीं रखा जा सकता है, क्योंकि आप लूप को कैसे भी विकृत करते हैं, प्रारंभ और अंत बिंदु एंटीपोडल रहना चाहिए, अन्यथा लूप खुल जाएगा। घुमावों के संदर्भ में, यह लूप जेड-अक्ष के बारे में घुमावों के निरंतर अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है (उदाहरण के लिए) पहचान (गेंद के केंद्र) पर शुरू होता है, दक्षिण ध्रुव के माध्यम से, उत्तरी ध्रुव पर कूदता है और पहचान रोटेशन पर फिर से समाप्त होता है (यानी, ए एक कोण φ के माध्यम से रोटेशन की श्रृंखला जहां φ 0 से मुड़ने के लिए चलता है (ज्यामिति)|2π).

हैरानी की बात है, अगर आप रास्ते से दो बार दौड़ते हैं, यानी उत्तरी ध्रुव से दक्षिण ध्रुव की ओर दौड़ते हैं, उत्तरी ध्रुव पर वापस कूदते हैं (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि उत्तर और दक्षिण ध्रुवों की पहचान की जाती है), और फिर उत्तरी ध्रुव से नीचे दक्षिण की ओर दौड़ें पोल, ताकि φ 0 से 4 तक चलेπ, आपको एक बंद लूप मिलता है जिसे एक बिंदु तक छोटा किया जा सकता है: पहले पथ को लगातार गेंद की सतह पर ले जाएं, फिर भी उत्तर ध्रुव को दक्षिण ध्रुव से दो बार जोड़ दें। दूसरे पथ को बिना पथ को बिल्कुल बदले बिना एंटीपोडल पक्ष पर प्रतिबिंबित किया जा सकता है। अब हमारे पास गेंद की सतह पर एक साधारण बंद लूप है, जो उत्तरी ध्रुव को एक बड़े वृत्त के साथ खुद से जोड़ता है। इस वृत्त को बिना किसी समस्या के उत्तरी ध्रुव तक छोटा किया जा सकता है। प्लेट ट्रिक और इसी तरह की ट्रिक्स इसे व्यावहारिक रूप से प्रदर्शित करती हैं।

एक ही तर्क सामान्य रूप से किया जा सकता है, और यह दर्शाता है कि SO(3) का मूल समूह क्रम 2 का चक्रीय समूह है (दो तत्वों वाला एक मौलिक समूह)। भौतिकी अनुप्रयोगों में, मौलिक समूह की गैर-तुच्छता (एक से अधिक तत्व) स्पिनरों के रूप में जाने वाली वस्तुओं के अस्तित्व की अनुमति देती है, और स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय के विकास में एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

SO(3) का सार्वभौम आवरण स्पिन(3) नामक एक झूठ समूह है। समूह स्पिन (3) विशेष एकात्मक समूह एसयू (2) के लिए समरूप है; यह इकाई 3-क्षेत्र S के लिए भी भिन्न है³ और छंदों के समूह के रूप में समझा जा सकता है (पूर्ण मान 1 के साथ चतुष्कोण)। आमतौर पर कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग किए जाने वाले चतुष्कोणों और घुमावों के बीच संबंध को चतुष्कोणों और स्थानिक घुमावों में समझाया गया है। नक्शा एस³ SO(3) पर जो S के प्रतिव्यासांत बिंदुओं की पहचान करता है³ कर्नेल (बीजगणित) {±1} के साथ झूठ समूहों का एक विशेषण समरूपता है। स्थैतिक रूप से, यह नक्शा दो-से-एक को कवर करने वाला नक्शा है। (प्लेट ट्रिक देखें।)

== SO(3) और SU(2)== के बीच संबंध इस खंड में, हम SO(3) पर SU(2) के दो-से-एक और आच्छादक समरूपता के दो अलग-अलग निर्माण देते हैं।

=== इकाई मानक === के चतुष्कोणों का उपयोग करना

Main article: Quaternions and spatial rotation

समूह SU(2) द्वारा दिए गए मानचित्र के माध्यम से इकाई मानदंड के चतुष्कोणों के लिए समूह समरूपता है

$$q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +j\beta \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U$$

के लिए प्रतिबंधित ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ कहां ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$, ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$, और $\alpha =a+bi\in \mathbb {C}$, $\beta =c+di\in \mathbb {C}$.

आइए अब पहचान करते हैं $\mathbb {R} ^{3}$ की अवधि के साथ $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$. कोई तब सत्यापित कर सकता है कि यदि $v$ में है $\mathbb {R} ^{3}$ और $q$ एक इकाई चतुर्धातुक है, तो

$$qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.$$

इसके अलावा, नक्शा $v\mapsto qvq^{-1}$ का आवर्तन है $\mathbb {R} ^{3}.$ इसके अतिरिक्त, $(-q)v(-q)^{-1}$ वैसा ही है जैसा कि $qvq^{-1}$. इसका मतलब है कि वहाँ एक है 2:1 इकाई मानक के चतुष्कोणों से 3डी रोटेशन समूह तक समरूपता SO(3).

कोई इस समरूपता को स्पष्ट रूप से कार्य कर सकता है: इकाई चतुष्कोण, q, साथ

$${\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}$$

रोटेशन मैट्रिक्स के लिए मैप किया गया है

$$Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.$$

यह वेक्टर के चारों ओर एक घुमाव है (x, y, z) एक कोण से 2θ, कहां cos θ = w और |sin θ| = ||(x, y, z)||. के लिए उचित संकेत sin θ निहित है, एक बार अक्ष घटकों के संकेत निश्चित हो जाते हैं। 2:1-nature }} दोनों के बाद से स्पष्ट है q और −q उसी के लिए नक्शा Q.

मोबियस रूपांतरणों का उपयोग

त्रिज्या के गोले से त्रिविम प्रक्षेपण 1/2 उत्तरी ध्रुव से (x, y, z) = (0, 0, 1/2) विमान पर M के द्वारा दिया गया z = −1/2 द्वारा समन्वयित (ξ, η), यहाँ क्रॉस सेक्शन में दिखाया गया है।

इस खंड के लिए सामान्य संदर्भ है Gelfand, Minlos & Shapiro (1963). बिन्दु P गोले पर

$\mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}$

कर सकते हैं, उत्तरी ध्रुव को छोड़कर N, अंकों के साथ एक-से-एक आपत्ति में डाल दिया जाए S(P) = P' हवाई जहाज पर M द्वारा परिभाषित z = −1/2, रेखा - चित्र देखें। वो नक्शा S स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन कहा जाता है।

निर्देशांकों को चालू रहने दें M होना (ξ, η). रेखा L के माध्यम से गुजरते हुए N और P के रूप में पैरामीट्रिज किया जा सकता है

$L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .$

मांग की है कि z-coordinate का $L(t_{0})$ बराबरी −1/2, कोई पाता है

$t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.$

हमारे पास है $L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).$ इसलिए नक्शा

${\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}$

जहां, बाद में सुविधा के लिए, विमान M जटिल विमान से पहचाना जाता है $\mathbb {C} .$ व्युत्क्रम के लिए लिखिए L जैसा

$L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),$

और मांग x² + y² + z² = 1/4 ढूँढ़ने के लिए s = 1/1 + ξ² + η² और इस तरह

${\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}$

यदि g ∈ SO(3) एक घुमाव है, तो यह अंक लेगा S पर अंक करने के लिए S इसकी मानक कार्रवाई द्वारा Π_s(g) एम्बेडिंग स्थान पर $\mathbb {R} ^{3}.$ के साथ इस क्रिया की रचना करके S एक परिवर्तन प्राप्त करता है S ∘ Π_s(g) ∘ S⁻¹ का M,

$\zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.$

इस प्रकार Π_u(g) का रूपांतरण है $\mathbb {C}$ परिवर्तन से संबंधित Π_s(g) का $\mathbb {R} ^{3}$.

परिणाम यह निकला g ∈ SO(3) द्वारा इस प्रकार दर्शाया गया है Π_u(g) मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है Π_u(g) ∈ SU(2) (जहां मैट्रिक्स के परिवर्तन के लिए उसी नाम का उपयोग करने के लिए संकेतन को पुनर्नवीनीकरण किया जाता है $\mathbb {C}$ यह प्रस्तुत करता है)। इस मैट्रिक्स की पहचान करने के लिए, पहले एक घुमाव पर विचार करें g_φ बारे में z-axis एक कोण से φ,

${\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}$

अत

$\zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},$

जो आश्चर्यजनक रूप से जटिल तल में एक घूर्णन है। इसी प्रकार यदि g_θ के बारे में एक घुमाव है x-axis एक कोण से θ, तब

$w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},$

जो थोड़े बीजगणित के बाद बन जाता है

$\zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.$

ये दो चक्कर, $g_{\phi },g_{\theta },$ इस प्रकार के बिलिनियर रूपांतरण के अनुरूप हैं R² ≃ C ≃ Mअर्थात्, वे मोबियस परिवर्तन के उदाहरण हैं।

एक सामान्य मोबियस परिवर्तन किसके द्वारा दिया जाता है

$\zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.$

घुमाव, $g_{\phi },g_{\theta }$ सभी उत्पन्न करें SO(3) और मोबियस परिवर्तनों के रचना नियम बताते हैं कि किसी भी रचना की $g_{\phi },g_{\theta }$ मोबियस परिवर्तनों की संगत संरचना में अनुवाद करता है। मोबियस परिवर्तनों को आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,$

के एक सामान्य कारक के बाद से α, β, γ, δ रद्द करता है।

उसी कारण से, मैट्रिक्स को गुणा के बाद से विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है −I निर्धारक या मोबियस परिवर्तन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। मोबियस रूपांतरणों का संघटन नियम संगत आव्यूहों का अनुसरण करता है। निष्कर्ष यह है कि प्रत्येक मोबियस परिवर्तन दो मैट्रिसेस से मेल खाता है g, −g ∈ SL(2, C).

इस पत्राचार का उपयोग करके कोई भी लिख सकता है

${\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

ये matrices एकात्मक हैं और इस प्रकार Π_u(SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C). यूलर कोणों के संदर्भ में एक सामान्य रोटेशन के लिए पाता है

${\begin{aligned}g(\phi ,\theta ,\psi )=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi \cos \psi -\cos \theta \sin \phi \sin \psi &-\cos \phi \sin \psi -\cos \theta \sin \phi \cos \psi &\sin \phi \sin \theta \\\sin \phi \cos \psi +\cos \theta \cos \phi \sin \psi &-\sin \phi \sin \psi +\cos \theta \cos \phi \cos \psi &-\cos \phi \sin \theta \\\sin \psi \sin \theta &\cos \psi \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},\end{aligned}}$

(1)

किसी के पास

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \begin{pmatrix}in 2:1"): {\displaystyle \begin{align}\Pi_u(g(\phi, \theta, \psi)) &= \pm \begin{pmatrix} e^{i\frac{\phi}{2}} और 0\\ 0 और ई^{-i\frac{\phi}{2}} \ अंत {pmatrix} \शुरू{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2} और i\sin\frac{\theta}{2}\\ i\sin\frac{\theta}{2} & \cos\frac{\theta}{2} \ अंत {pmatrix} \शुरू{pmatrix} ई^{i\frac{\psi}{2}} और 0\\ 0 और ई^{-i\frac{\psi}{2}} \end{pmatrix}\\ &= \pm \शुरू{pmatrix} \cos\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi + \psi}{2}} और i\sin\frac{\theta}{2}e^{i\frac{\phi - \psi}{2}}\\ i\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{\phi - \psi}{2}} और \cos\frac{\theta}{2}e^{-i\frac{ \phi + \psi}{2}} \ अंत {pmatrix}। \end{संरेखित करें}}

(2)

विलोम के लिए, एक सामान्य मैट्रिक्स पर विचार करें

$\pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).$

प्रतिस्थापन करें

${\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}$

प्रतिस्थापन के साथ, Π(g_{α, β}) के दाहिने हाथ की ओर (दाहिनी ओर) का रूप धारण करता है (2), जो नीचे मेल खाता है Π_u के आरएचएस के रूप में एक मैट्रिक्स के लिए (1) उसी के साथ φ, θ, ψ. जटिल मापदंडों के संदर्भ में α, β,

$g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.$

इसे सत्यापित करने के लिए, के लिए स्थानापन्न करें α. β के आरएचएस पर मैट्रिक्स के तत्व (2). कुछ हेरफेर के बाद, मैट्रिक्स (के आरएचएस) के रूप को ग्रहण करता है1).

यूलर कोणों के संदर्भ में स्पष्ट रूप से यह स्पष्ट है कि मानचित्र

${\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\Pi _{u}(\pm g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}$

बस वर्णित एक चिकनी है, 2:1 और विशेषण समूह समरूपता। इसलिए यह सार्वभौमिक कवरिंग स्पेस का एक स्पष्ट विवरण है SO(3) यूनिवर्सल कवरिंग ग्रुप से SU(2).

झूठ बीजगणित

प्रत्येक लाई समूह के साथ जुड़ा हुआ इसका लाई बीजगणित है, लाई समूह के समान आयाम का एक रैखिक स्थान, लाई ब्रैकेट नामक बिलिनियर वैकल्पिक उत्पाद के तहत बंद है। का झूठ बीजगणित SO(3) द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathfrak {so}}(3)$ और सभी तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित होता है 3 × 3 मैट्रिक्स। यह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को अलग करके देखा जा सकता है, A^TA = I, A ∈ SO(3). के दो तत्वों का लेट ब्रैकेट ${\mathfrak {so}}(3)$ मैट्रिक्स कम्यूटेटर द्वारा दिए गए प्रत्येक मैट्रिक्स समूह के झूठ बीजगणित के लिए है, [A₁, A₂] = A₁A₂ − A₂A₁, जो फिर से एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है। लाई बीजगणित ब्रैकेट, बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र द्वारा सटीक रूप से बनाए गए अर्थ में लाई समूह उत्पाद के सार को कैप्चर करता है।

के तत्व ${\mathfrak {so}}(3)$ घूर्णन के अपरिमेय जनक हैं, अर्थात, वे पहचान तत्व पर कई गुना SO(3) के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व हैं। यदि $R(\phi ,{\boldsymbol {n}})$ यूनिट वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट अक्ष के बारे में कोण φ के साथ वामावर्त रोटेशन को दर्शाता है ${\boldsymbol {n}},$ तब

$\forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.$

इसका उपयोग झूठ बीजगणित दिखाने के लिए किया जा सकता है ${\mathfrak {so}}(3)$ (कम्यूटेटर के साथ) लाइ बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {R} ^{3}$ (क्रॉस उत्पाद के साथ)। इस तुल्याकारिता के अंतर्गत, एक अक्ष-कोण निरूपण#रोटेशन सदिश ${\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}$ रेखीय मानचित्र से मेल खाता है ${\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}$ द्वारा परिभाषित ${\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.$ अधिक विस्तार से, अक्सर के लिए एक उपयुक्त आधार ${\mathfrak {so}}(3)$ के रूप में 3-dimensional वेक्टर स्थान है

${\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

इन आधार तत्वों के रूपान्तरण संबंध हैं,

$[{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}$

जो तीन मानक आधार के संबंधों से सहमत हैं $\mathbb {R} ^{3}$ क्रॉस उत्पाद के तहत।

जैसा कि ऊपर घोषित किया गया है, इस ले बीजगणित में किसी भी मैट्रिक्स की पहचान एक यूलर वेक्टर के साथ की जा सकती है ${\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},$

${\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).$

इस पहचान को कभी-कभी हैट-मैप कहा जाता है। इस पहचान के तहत, ${\mathfrak {so}}(3)$ ब्रैकेट में मेल खाता है $\mathbb {R} ^{3}$ क्रॉस उत्पाद के लिए,

$\left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.$

मैट्रिक्स एक वेक्टर के साथ पहचाना गया ${\boldsymbol {u}}$ संपत्ति है कि

${\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},$

जहां बायीं ओर हमारे पास साधारण आव्यूह गुणन है। यह संकेत करता है ${\boldsymbol {u}}$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स के शून्य स्थान में है जिसके साथ इसकी पहचान की गई है, क्योंकि ${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.$

=== झूठ बीजगणित === पर एक नोट

Main article: Angular momentum operator

See also: Representation theory of SU(2) and Jordan map

झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व में, समूह एसओ (3) कॉम्पैक्ट और रैंक 1 का सरल है, और इसलिए इसमें एक स्वतंत्र कासिमिर तत्व है, जो तीन जनरेटर का द्विघात अपरिवर्तनीय कार्य है जो उन सभी के साथ यात्रा करता है। रोटेशन समूह के लिए किलिंग फॉर्म सिर्फ क्रोनकर डेल्टा है, और इसलिए यह कासिमिर अपरिवर्तनीय केवल जनरेटर के वर्गों का योग है, ${\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},$ बीजगणित का

$[{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.$

यही है, कासिमिर इनवेरिएंट द्वारा दिया गया है

${\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.$

एकात्मक अलघुकरणीय लाई बीजगणित निरूपण के लिए D^j, इस अपरिवर्तनीय के eigenvalues ​​​​वास्तविक और असतत हैं, और प्रत्येक प्रतिनिधित्व की विशेषता है, जो परिमित आयामी है, आयामीता का $2j+1$. यही है, इस कासिमिर ऑपरेटर के आइगेनवेल्यू हैं

${\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},$

कहां j पूर्णांक या आधा पूर्णांक है, और स्पिन (भौतिकी) या कोणीय गति के रूप में जाना जाता है।

इसलिए, ऊपर प्रदर्शित 3 × 3 जनरेटर L ट्रिपलेट (स्पिन 1) प्रतिनिधित्व पर कार्य करते हैं, जबकि नीचे 2 × 2 जनरेटर, t, स्पिनर (स्पिन-1/2) प्रतिनिधित्व पर कार्य करते हैं . क्रोनकर के उत्पाद लेकर D^1/2 स्वयं के साथ बार-बार, सभी उच्च अलघुकरणीय निरूपणों का निर्माण किया जा सकता है D^j. यही है, मनमाने ढंग से बड़े के लिए तीन स्थानिक आयामों में उच्च स्पिन सिस्टम के लिए परिणामी जनरेटर jइन स्पिन ऑपरेटरों और सीढ़ी ऑपरेटरों का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

हर एकात्मक अप्रासंगिक अभ्यावेदन के लिए D^j एक समकक्ष है, D^−j−1. सभी चूंकि समूह कॉम्पैक्ट है, इसलिए अनंत-आयामी अलघुकरणीय अभ्यावेदन गैर-एकात्मक होना चाहिए।

क्वांटम यांत्रिकी में, कासिमिर अपरिवर्तनीय कोणीय-संवेग-स्क्वायर ऑपरेटर है; स्पिन के पूर्णांक मान j बोसोन की विशेषता बताते हैं, जबकि अर्ध-पूर्णांक फ़र्मियन को महत्व देते हैं। उपरोक्त उपयोग किए गए Skew-Hermitian मैट्रिक्स मेट्रिसेस को गुणा करने के बाद स्पिन ऑपरेटर के रूप में उपयोग किया जाता है i, इसलिए वे अब हर्मिटियन मैट्रिक्स (पाउली मैट्रिसेस की तरह) हैं। इस प्रकार इस भाषा में

$[{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.$

और इसलिए

${\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.$

इनके लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ D^j हैं,

${\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}$

कहां j मनमाना है और $1\leq a,b\leq 2j+1$.

उदाहरण के लिए, स्पिन 1 के लिए परिणामी स्पिन मैट्रिक्स ($j=1$) हैं

${\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

ध्यान दें, हालाँकि, ये एक समतुल्य, लेकिन अलग-अलग आधार पर कैसे हैं, उपरोक्त की तुलना में गोलाकार आधार#आधार मैट्रिक्स का परिवर्तन iकार्तीय आधार पर एल। स्पिन जैसे उच्च स्पिन के लिए 3/2 ($j={\tfrac {3}{2}}$):

${\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

स्पिन के लिए 5/2 ($j={\tfrac {5}{2}}$),

${\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Main article: Spin (physics) § Higher spins

=== समरूपता 𝖘𝖚(2) === के साथ झूठ बीजगणित ${\mathfrak {so}}(3)$ और ${\mathfrak {su}}(2)$ आइसोमोर्फिक हैं। के लिए एक आधार ${\mathfrak {su}}(2)$ द्वारा दिया गया है

${\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.$

ये पाउली मैट्रिक्स से संबंधित हैं

${\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.$

पाउली मैट्रिसेस लाई बीजगणित के भौतिकविदों के सम्मेलन का पालन करते हैं। उस परिपाटी में, बीजगणित के तत्वों को गुणा किया जाता है i, चरघातांकी मानचित्र (नीचे) को एक अतिरिक्त कारक के साथ परिभाषित किया गया है i प्रतिपादक में और संरचना स्थिरांक समान रहते हैं, लेकिन उनकी परिभाषा का एक कारक प्राप्त होता है i. इसी तरह, रूपान्तरण संबंधों का एक कारक प्राप्त होता है i. के लिए रूपान्तरण संबंध ${\boldsymbol {t}}_{i}$ हैं

$[{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},$

कहां ε_ijk के साथ पूरी तरह से विरोधी सममित प्रतीक है ε₁₂₃ = 1. के बीच समरूपता ${\mathfrak {so}}(3)$ और ${\mathfrak {su}}(2)$ कई तरह से स्थापित किया जा सकता है। बाद में सुविधा के लिए, ${\mathfrak {so}}(3)$ और ${\mathfrak {su}}(2)$ मैपिंग से पहचाने जाते हैं

${\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},$

और रैखिकता द्वारा विस्तार।

घातीय मानचित्र

के लिए घातीय नक्शा SO(3), है, के बाद से SO(3) एक मैट्रिक्स लाई समूह है, जिसे मानक मैट्रिक्स घातीय श्रृंखला का उपयोग करके परिभाषित किया गया है,

${\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}$

किसी तिरछा-सममित मैट्रिक्स के लिए A ∈ 𝖘𝖔(3), e^A हमेशा अंदर होता है SO(3). सबूत मैट्रिक्स घातीय के प्राथमिक गुणों का उपयोग करता है

$\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.$

मेट्रिसेस के बाद से A और A^T यात्रा, इसे तिरछा-सममित मैट्रिक्स स्थिति के साथ आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। यह दर्शाने के लिए यह काफी नहीं है 𝖘𝖔(3) के लिए संबंधित लाई बीजगणित है SO(3), और अलग से सिद्ध किया जाएगा।

सबूत की कठिनाई का स्तर इस बात पर निर्भर करता है कि मैट्रिक्स समूह लाई बीजगणित कैसे परिभाषित किया जाता है। Hall (2003) झूठ बीजगणित को मेट्रिसेस के सेट के रूप में परिभाषित करता है

$\left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},$

किस मामले में यह मामूली है। Rossmann (2002) चिकने वक्र खंडों के परिभाषा डेरिवेटिव के लिए उपयोग करता है SO(3) पहचान पर ली गई पहचान के माध्यम से, जिस स्थिति में यह कठिन है। एक निश्चित के लिए A ≠ 0, e^tA, −∞ < t < ∞ में एक जियोडेसिक के साथ एक एक-पैरामीटर उपसमूह है SO(3). यह एक-पैरामीटर उपसमूह देता है जो घातीय मानचित्र के गुणों से सीधे अनुसरण करता है। घातीय नक्शा मूल के एक पड़ोस के बीच एक भिन्नता प्रदान करता है 𝖘𝖔(3) और पहचान का एक पड़ोस SO(3). प्रमाण के लिए, बंद उपसमूह प्रमेय देखें।

घातीय मानचित्र प्रक्षेपण है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक R ∈ SO(3), चूंकि प्रत्येक घुमाव एक निश्चित अक्ष (यूलर का घूर्णन प्रमेय) छोड़ता है, और प्रपत्र के एक ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स के साथ संयुग्मित होता है

$D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},$

ऐसा है कि A = BDB⁻¹, और कि

$Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},$

एक साथ इस तथ्य के साथ कि 𝖘𝖔(3) के आसन्न प्रतिनिधित्व के तहत बंद है SO(3), जिसका अर्थ है कि BθL_zB⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3).

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, लोकप्रिय पहचान की जाँच करना आसान है

$e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.$

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, हर तत्व A ∈ 𝖘𝖔(3) एक वेक्टर से जुड़ा हुआ है ω = θ u, कहां u = (x,y,z) एक इकाई परिमाण वेक्टर है। तब से u की रिक्त स्थान में है A, अगर कोई अब किसी अन्य ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के माध्यम से एक नए आधार पर घूमता है O, साथ u के रूप में z धुरी, नए आधार में रोटेशन मैट्रिक्स का अंतिम स्तंभ और पंक्ति शून्य होगी।

इस प्रकार, हम घातांक के सूत्र से पहले से जानते हैं कि exp(OAO^T) चले जाना चाहिए u हल किया गया। इस तरह के आधार के लिए एक सीधा सूत्र प्रदान करना गणितीय रूप से असंभव है u, क्योंकि इसका अस्तित्व बालों वाली गेंद प्रमेय का उल्लंघन करेगा; लेकिन प्रत्यक्ष घातांक संभव है, और एक्सिस-कोण प्रतिनिधित्व # एक्सपोनेंशियल मैप 𝖘𝖔(3) से SO(3) तक

${\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

कहां ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$ और ${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$. यह अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए एक मैट्रिक्स के रूप में पहचाना जाता है u कोण से θ: सीएफ। रोड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला।

लघुगणक मानचित्र

दिया गया R ∈ SO(3), होने देना $A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)$ एंटीसिमेट्रिक भाग को निरूपित करें और जाने दें ${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$ फिर, का लघुगणक R द्वारा दिया गया है

$\log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.$

यह रोड्रिग्स के फार्मूले के मिश्रित समरूपता रूप के निरीक्षण से प्रकट होता है,

$e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,$

जहां दाहिनी ओर पहला और अंतिम पद सममित है।

समान यादृच्छिक नमूनाकरण

$SO(3)$ यूनिट चतुष्कोणों के समूह द्वारा दोगुना कवर किया गया है, जो 3-गोले के लिए आइसोमोर्फिक है। चूँकि इकाई चतुष्कोणों पर हार माप 4 आयामों में सिर्फ 3-क्षेत्रीय माप है, इसलिए हार माप $SO(3)$ 3-क्षेत्र माप का केवल पुशफॉरवर्ड है।

नतीजतन, एक समान रूप से यादृच्छिक रोटेशन उत्पन्न करना $\mathbb {R} ^{3}$ 3-गोले पर समान रूप से यादृच्छिक बिंदु उत्पन्न करने के बराबर है। इसे निम्नलिखित द्वारा पूरा किया जा सकता है

$$({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))$$

कहां $u_{1},u_{2},u_{3}$ के समान रूप से यादृच्छिक नमूने हैं $[0,1]$.

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र

Main article: Baker–Campbell–Hausdorff formula

मान लीजिए X और Y झूठ बीजगणित में दिए गए हैं। उनके घातांक, exp(X) और exp(Y), रोटेशन मेट्रिसेस हैं, जिन्हें गुणा किया जा सकता है। चूँकि घातीय मानचित्र कुछ के लिए एक अनुमान है Z झूठ बीजगणित में, exp(Z) = exp(X) exp(Y), और कोई अस्थायी रूप से लिख सकता है

$Z=C(X,Y),$

के लिए C कुछ अभिव्यक्ति में X और Y. कब exp(X) और exp(Y) यात्रा, फिर Z = X + Y, जटिल घातांक के व्यवहार की नकल करना।

सामान्य मामला अधिक विस्तृत बीसीएच सूत्र द्वारा दिया गया है, नेस्टेड लाइ ब्रैकेट्स का एक श्रृंखला विस्तार। मेट्रिसेस के लिए, लाइ ब्रैकेट कम्यूटेटर के समान ऑपरेशन है, जो गुणन में कम्यूटेटिविटी की कमी पर नज़र रखता है। यह सामान्य विस्तार इस प्रकार प्रकट होता है,

$Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .$

के लिए BCH सूत्र में अनंत विस्तार SO(3) एक कॉम्पैक्ट रूप में कम हो जाता है,

$Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],$

उपयुक्त त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन गुणांक के लिए (α, β, γ).

The trigonometric coefficients

(α, β, γ) }} द्वारा दिया गया है

$\alpha =\phi \cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\gamma ,\qquad \beta =\theta \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\gamma ,\qquad \gamma ={\frac {\sin ^{-1}d}{d}}{\frac {c}{\theta \phi }},$

कहां

${\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\sin \theta \sin \phi -2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}\cos(\angle (u,v)),\quad a=c\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right),\quad b=c\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right),\\d&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\angle (u,v))+c^{2}\sin ^{2}(\angle (u,v))}},\end{aligned}}$

के लिए

$\theta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\|X\|,\quad \phi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\|Y\|,\quad \angle (u,v)=\cos ^{-1}{\frac {\langle X,Y\rangle }{\|X\|\|Y\|}}.$

आंतरिक उत्पाद हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद है और मानदंड संबंधित मानदंड है। टोपी-समरूपता के तहत,

$\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} X^{\mathrm {T} }Y,$

जो कारकों की व्याख्या करता है θ और φ. यह कोण के लिए व्यंजक में समाप्त हो जाता है।

See also: Rotation formalisms in three dimensions § Rodrigues parameters and Gibbs representation

इस समग्र रोटेशन जनरेटर को इस रूप में लिखना सार्थक है

$\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$

जोर देने के लिए कि यह एक झूठ बीजगणित पहचान है।

उपरोक्त पहचान के सभी वफादार अभ्यावेदन के लिए है 𝖘𝖔(3). लाई बीजगणित समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) एक आदर्श (ली बीजगणित) है, लेकिन 𝖘𝖔(3), सरल (अमूर्त बीजगणित) होने के नाते, कोई गैर-तुच्छ आदर्श नहीं है और सभी गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व इसलिए वफादार हैं। यह विशेष रूप से डबलट या स्पिनर प्रतिनिधित्व में है। वही स्पष्ट सूत्र इस प्रकार पाउली मेट्रिसेस, cf के माध्यम से सरल तरीके से अनुसरण करता है। पाउली मैट्रिसेस # पाउली वेक्टर की घातीय | एसयू (2) के लिए 2 × 2 व्युत्पत्ति।

The SU(2) case

पाउली मेट्रिसेस # एक ही BCH सूत्र के पाउली वेक्टर की घातांक SU (2) का कुछ सरल समूह रचना नियम है,

$e^{ia'\left({\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib'\left({\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=\exp \left({\frac {c'}{\sin c'}}\sin a'\sin b'\left(\left(i\cot b'{\hat {u}}+i\cot a'{\hat {v}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}+{\frac {1}{2}}\left[i{\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }},i{\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]\right)\right),$

कहां

$\cos c'=\cos a'\cos b'-{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}\sin a'\sin b',$

कोसाइन का गोलाकार नियम। (टिप्पणी a', b', c' कोण हैं, नहीं a, b, c के ऊपर।)

यह स्पष्ट रूप से उपरोक्त के समान प्रारूप का है,

$Z=\alpha 'X+\beta 'Y+\gamma '[X,Y],$

साथ

$X=ia'{\hat {u}}\cdot \mathbf {\sigma } ,\quad Y=ib'{\hat {v}}\cdot \mathbf {\sigma } \in {\mathfrak {su}}(2),$

ताकि

${\begin{aligned}\alpha '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}\cos b'\\\beta '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin b'}{b'}}\cos a'\\\gamma '&={\frac {1}{2}}{\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}{\frac {\sin b'}{b'}}.\end{aligned}}$

शामिल लाई बीजगणित में जनरेटर के समान सामान्यीकरण के लिए, पाउली मेट्रिसेस को के संदर्भ में व्यक्त करें t-मैट्रिसेस, σ → 2i t, ताकि

$a'\mapsto -{\frac {\theta }{2}},\quad b'\mapsto -{\frac {\phi }{2}}.$

यह सत्यापित करने के लिए कि ये उपरोक्त के समान गुणांक हैं, गुणांकों के अनुपात की गणना करें,

${\begin{aligned}{\frac {\alpha '}{\gamma '}}&=\theta \cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\beta '}{\gamma '}}&=\phi \cot {\frac {\phi }{2}}&={\frac {\beta }{\gamma }}.\end{aligned}}$

आखिरकार, γ = γ' पहचान दी d = sin 2c'.

जनरल के लिए n × n मामला, कोई रेफ का उपयोग कर सकता है।

The quaternion case

दो घूर्णन आर की संरचना का चतुष्कोणीय सूत्रीकरण_B और आर_A रोटेशन की धुरी और समग्र रोटेशन आर के कोण को भी सीधे प्राप्त करता है_C = आर_BR_A.

बता दें कि एक स्थानिक घुमाव R से जुड़े चतुर्भुज का निर्माण इसके रोटेशन के अक्ष S और रोटेशन कोण φ इस अक्ष से किया गया है। संबंधित चतुष्कोण द्वारा दिया गया है,

$S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .$

फिर रोटेशन की संरचना आर_R आर के साथ_A घूर्णन आर है_C = आर_BR_A चतुष्कोणों के उत्पाद द्वारा परिभाषित रोटेशन अक्ष और कोण के साथ

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{ and }}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,$

वह है

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).$

प्राप्त करने के लिए इस उत्पाद का विस्तार करें

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).$

इस समीकरण के दोनों पक्षों को पहचान से विभाजित करें, जो कि कोसाइन का गोलाकार नियम है,

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,$

और गणना करें

$\tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.$

यह दो घुमावों के अक्षों के संदर्भ में परिभाषित संयुक्त घुमाव के अक्ष के लिए रोड्रिग्स का सूत्र है। उन्होंने 1840 में यह सूत्र निकाला (पृष्ठ 408 देखें)। तीन रोटेशन अक्ष ए, बी, और सी एक गोलाकार त्रिभुज बनाते हैं और इस त्रिभुज के पक्षों द्वारा बनाए गए विमानों के बीच डायहेड्रल कोण रोटेशन कोणों द्वारा परिभाषित किए जाते हैं।

असीम घुमाव

लाई बीजगणित में आव्यूह स्वयं घूर्णन नहीं हैं; तिरछा-सममित मैट्रिक्स डेरिवेटिव हैं। एक वास्तविक अवकलन घूर्णन , या अतिसूक्ष्म घूर्णन आव्यूह का रूप है

$I+A\,d\theta ,$

कहां dθ गायब रूप से छोटा है और A ∈ 𝖘𝖔(3).

ये मैट्रिसेस सभी समान गुणों को संतुष्ट नहीं करते हैं जैसे कि साधारण परिमित रोटेशन मेट्रिसेस, जो कि इनफिनिटिमल्स के सामान्य उपचार के तहत होता है। यह समझने के लिए कि इसका क्या अर्थ है, विचार करें

$dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.$

सबसे पहले, ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति का परीक्षण करें, Q^TQ = I. उत्पाद है

$dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},$

दूसरे क्रम के इनफिनिटिमल्स द्वारा एक पहचान मैट्रिक्स से भिन्न, यहाँ छोड़ दिया गया। तो, पहले आदेश के लिए, एक अत्यल्प रोटेशन मैट्रिक्स एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है।

अगला, मैट्रिक्स के वर्ग की जांच करें,

$dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.$

दूसरे क्रम के प्रभावों को फिर से हटाते हुए, ध्यान दें कि कोण बस दोगुना हो जाता है। यह व्यवहार में सबसे आवश्यक अंतर की ओर इशारा करता है, जिसे हम एक दूसरे अतिसूक्ष्म घुमाव की सहायता से प्रदर्शित कर सकते हैं,

$dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.$

उत्पादों की तुलना करें dA_x dA_y को dA_ydA_x,

${\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}$

तब से $d\theta \,d\phi$ दूसरा क्रम है, हम इसे छोड़ देते हैं: इस प्रकार, पहले क्रम में, अनंत रोटेशन मेट्रिसेस का गुणन क्रमविनिमेय है। असल में,

$dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },$

फिर से पहले क्रम में। दूसरे शब्दों में, जिस क्रम में अतिसूक्ष्म घुमाव लागू होते हैं वह अप्रासंगिक है।

यह उपयोगी तथ्य बनाता है, उदाहरण के लिए, कठोर शरीर रोटेशन की व्युत्पत्ति अपेक्षाकृत सरल। लेकिन किसी को हमेशा परिमित रोटेशन मैट्रिसेस और लाई बीजगणित तत्वों से इन अत्यल्प रोटेशन मैट्रिसेस को अलग करने के लिए सावधान रहना चाहिए। ऊपर BCH सूत्र में परिमित रोटेशन मैट्रिसेस के व्यवहार की तुलना इनफिनिटिमल रोटेशन मैट्रिसेस के साथ करते हुए, जहां सभी कम्यूटेटर शब्द दूसरे क्रम के इनफिनिटिमल होंगे, एक सदाशयी वेक्टर स्पेस पाता है। तकनीकी रूप से, किसी भी दूसरे आदेश की शर्तों को खारिज करना समूह संकुचन के बराबर है।

घुमावों की प्राप्ति

Main article: Rotation formalisms in three dimensions

See also: Charts on SO(3)

हमने देखा है कि घुमावों को निरूपित करने के कई तरीके हैं:

• निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के रूप में,
• अक्ष और रोटेशन कोण द्वारा
• चतुष्कोणीय बीजगणित में छंदों के साथ और मानचित्र 3-क्षेत्र एस³ → SO(3) (चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव देखें)
• ज्यामितीय बीजगणित में एक रोटर (गणित) के रूप में
• तीन निश्चित अक्षों के बारे में तीन घुमावों के क्रम के रूप में; यूलर कोण देखें।

गोलाकार हार्मोनिक्स

Main article: Spherical harmonics

See also: Representations of SO(3)

समूह SO(3) तीन आयामी यूक्लिडियन घुमावों का हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर एक अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व है

$L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},$

कहां $Y_{m}^{\ell }$ गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। इसके तत्व वर्ग समाकलनीय जटिल-मूल्यवान कार्य हैं गोले पर। इस स्थान पर आंतरिक उत्पाद द्वारा दिया गया है

$\langle f,g\rangle =\int _{\mathbf {S} ^{2}}{\overline {f}}g\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\overline {f}}g\sin \theta \,d\theta \,d\phi .$

(H1)

यदि f इकाई क्षेत्र पर परिभाषित एक स्वेच्छ वर्ग समाकलनीय फलन है S², तो इसे व्यक्त किया जा सकता है इस मामले में अंतरिक्ष L²(S²) अलघुकरणीय विषम परिमित-आयामी अभ्यावेदन के एक अनंत प्रत्यक्ष योग में बड़े करीने से विघटित होता है V_{2i + 1}, i = 0, 1, ... के अनुसार

$L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }V_{2i+1}\equiv \bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{2i+1}\right\}.$

(H6)

यह अनंत-आयामी एकात्मक निरूपण की विशेषता है SO(3). यदि Π एक वियोज्य स्थान पर एक अनंत-आयामी एकात्मक प्रतिनिधित्व है हिल्बर्ट अंतरिक्ष, तो यह परिमित-आयामी एकात्मक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है।इस तरह का प्रतिनिधित्व कभी भी अप्रासंगिक नहीं होता है। सभी अलघुकरणीय परिमित-आयामी निरूपण (Π, V) आंतरिक उत्पाद के उपयुक्त विकल्प द्वारा एकात्मक बनाया जा सकता है,

$\langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,$

जहां इंटीग्रल यूनिक इनवेरिएंट इंटीग्रल ओवर है SO(3) के लिए सामान्यीकृत 1, यहाँ यूलर कोण पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करके व्यक्त किया गया है। इंटीग्रल के अंदर का आंतरिक उत्पाद कोई भी आंतरिक उत्पाद है V.

सामान्यीकरण

घूर्णन समूह स्वाभाविक रूप से एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए सामान्यीकरण करता है, $\mathbb {R} ^{n}$ इसकी मानक यूक्लिडियन संरचना के साथ। n आयामों में सभी उचित और अनुचित घुमावों के समूह को ओर्थोगोनल समूह O(n) कहा जाता है, और उचित घुमावों के उपसमूह को विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) कहा जाता है, जो आयाम का झूठा समूह है n(n − 1)/2.

विशेष सापेक्षता में, एक 4-आयामी सदिश अंतरिक्ष में काम करता है, जिसे 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के बजाय मिंकोस्की अंतरिक्ष के रूप में जाना जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत, मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में एक अनिश्चित मीट्रिक हस्ताक्षर वाला एक आंतरिक उत्पाद है। हालांकि, कोई अभी भी सामान्यीकृत घुमावों को परिभाषित कर सकता है जो इस आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करते हैं। इस तरह के सामान्यीकृत घुमावों को लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के रूप में जाना जाता है और ऐसे सभी परिवर्तनों के समूह को लोरेंत्ज़ समूह कहा जाता है।

घूर्णन समूह SO(3) को SE(3)|E के उपसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है⁺(3), यूक्लिडियन समूह का यूक्लिडियन समूह#यूक्लिडियन के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री $\mathbb {R} ^{3}.$ यह बड़ा समूह एक दृढ़ पिंड की सभी गतियों का समूह है: इनमें से प्रत्येक एक स्वेच्छ अक्ष के चारों ओर घूर्णन का एक संयोजन है और एक अनुवाद, या अलग ढंग से रखा जाए, SO(3) के एक तत्व का एक संयोजन और एक मनमाना अनुवाद है।

सामान्य तौर पर, किसी वस्तु का घूर्णन समूह प्रत्यक्ष आइसोमेट्री के समूह के भीतर समरूपता समूह होता है; दूसरे शब्दों में, पूर्ण समरूपता समूह और प्रत्यक्ष आइसोमेट्री समूह का प्रतिच्छेदन। चिरायता (गणित) वस्तुओं के लिए यह पूर्ण समरूपता समूह के समान है।

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनल समूह
• कोनेदार गति
• समन्वय घूर्णन
• SO(3) पर चार्ट
• झूठे समूह का प्रतिनिधित्व#एक उदाहरण: घूर्णन समूह SO(3)|SO(3) का प्रतिनिधित्व
• यूलर कोण
• रॉड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला
• अत्यंत सूक्ष्म घूर्णन
• पिन समूह
• चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव
• सख्त शरीर
• गोलाकार हार्मोनिक्स
• रोटेशन का विमान
• झूठ समूह
• पाउली मैट्रिक्स
• प्लेट ट्रिक
• त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर

ग्रन्थसूची

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श्रेणी:झूठ बोलने वाले समूह श्रेणी: घूर्णी समरूपता श्रेणी: तीन आयामों में घूर्णन श्रेणी:यूक्लिडियन ठोस ज्यामिति