FEM का उपयोग करके मॉडल विश्लेषण

संरचनात्मक यांत्रिकी में मोडल विश्लेषण का लक्ष्य मुक्त कंपन के दौरान किसी वस्तु या संरचना के प्राकृतिक मोड आकार और आवृत्तियों को निर्धारित करना है। इस विश्लेषण को करने के लिए परिमित तत्व विधि (एफईएम) का उपयोग करना आम बात है क्योंकि, एफईएम का उपयोग करने वाली अन्य गणनाओं की तरह, विश्लेषण की जा रही वस्तु का मनमाना आकार और परिणाम हो सकते हैं गणना स्वीकार्य है. मोडल विश्लेषण से जिस प्रकार के समीकरण उत्पन्न होते हैं, वे अपना सिस्टम में देखे जाते हैं। सिस्टम को हल करने से आने वाले eigenvalues ​​​​और eigenvectors की भौतिक व्याख्या वह है वे आवृत्तियों और संबंधित मोड आकृतियों का प्रतिनिधित्व करते हैं। कभी-कभी, एकमात्र वांछित मोड सबसे कम आवृत्तियाँ होते हैं क्योंकि वे सबसे प्रमुख मोड हो सकते हैं जिन पर वस्तु कंपन करेगी, सभी उच्च आवृत्तियों पर हावी होगी मोड.

किसी भौतिक वस्तु की प्राकृतिक आवृत्तियों और मोड आकारों को निर्धारित करने के लिए उसका परीक्षण करना भी संभव है। इसे मोडल विश्लेषण कहा जाता है। भौतिक परीक्षण के परिणामों का उपयोग एक सीमित तत्व मॉडल को जांचने के लिए किया जा सकता है ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि अंतर्निहित धारणाएं सही थीं (उदाहरण के लिए, सही भौतिक गुणों और सीमा स्थितियों का उपयोग किया गया था)।

एफईए ईजेनसिस्टम्स

हुक के नियम का पालन करने वाली रैखिक लोचदार सामग्री से जुड़ी सबसे बुनियादी समस्या के लिए, मैट्रिक्स (गणित) समीकरण एक गतिशील त्रि-आयामी स्प्रिंग द्रव्यमान प्रणाली का रूप लेते हैं। गति का सामान्यीकृत समीकरण इस प्रकार दिया गया है:

$[M][{\ddot {U}}]+[C][{\dot {U}}]+[K][U]=[F]$

कहाँ $[M]$ द्रव्यमान मैट्रिक्स है, $[{\ddot {U}}]$ विस्थापन का दूसरी बार व्युत्पन्न है $[U]$ (अर्थात, त्वरण), $[{\dot {U}}]$ वेग है, $[C]$ एक अवमंदन मैट्रिक्स है, $[K]$ कठोरता मैट्रिक्स है, और $[F]$ बल सदिश है. गैर-शून्य अवमंदन के साथ सामान्य समस्या, एक द्विघात आइगेनवैल्यू समस्या है। हालाँकि, कंपनात्मक मोडल विश्लेषण के लिए, अवमंदन को आम तौर पर नजरअंदाज कर दिया जाता है, बाईं ओर केवल पहला और तीसरा पद छोड़ दिया जाता है:

$[M][{\ddot {U}}]+[K][U]=[0]$

यह संरचनात्मक में सामने आने वाले ईजेनसिस्टम का सामान्य रूप है परिमित तत्व विधि का उपयोग करके इंजीनियरिंग। संरचना के मुक्त-कंपन समाधानों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हार्मोनिक गति मानी जाती है। इस धारणा का मतलब यही है $[{\ddot {U}}]$ बराबर लिया जाता है $\lambda [U]$, कहाँ $\lambda$ एक eigenvalue है (पारस्परिक समय के वर्ग की इकाइयों के साथ, उदाहरण के लिए, $\mathrm {s} ^{-2}$). इसका उपयोग करते हुए, समीकरण कम हो जाता है:

$[M][U]\lambda +[K][U]=[0]$

इसके विपरीत, स्थैतिक समस्याओं का समीकरण है:

$[K][U]=[F]$

जो तब अपेक्षित होता है जब समय व्युत्पन्न वाले सभी पद शून्य पर सेट होते हैं।

रैखिक बीजगणित से तुलना

रैखिक बीजगणित में, एक ईजेनसिस्टम का मानक रूप देखना अधिक आम है इसके रूप में बताया गया:

$[A][x]=[x]\lambda$

दोनों समीकरणों को एक समान देखा जा सकता है क्योंकि यदि सामान्य समीकरण है द्रव्यमान के व्युत्क्रम से गुणा किया गया, $[M]^{-1}$, यह उत्तरार्द्ध का रूप लेगा। क्योंकि निचले मोड वांछित हैं, सिस्टम को हल करना अधिक संभावना है कि इसमें कठोरता के व्युत्क्रम से गुणा करने के बराबर शामिल है, $[K]^{-1}$, एक प्रक्रिया जिसे व्युत्क्रम पुनरावृत्ति कहा जाता है। जब यह किया जाता है, तो परिणामी eigenvalues, $\mu$, मूल से संबंधित है:

$\mu ={\frac {1}{\lambda }}$

लेकिन आइजनवेक्टर वही हैं।

यह भी देखें

• सीमित तत्व विधि
• संरचनात्मक यांत्रिकी में परिमित तत्व विधि
• मोडल विश्लेषण
• भूकंपीय विश्लेषण
• संरचनात्मक गतिशीलता
• ईजेनसिस्टम
• खुद का फैशन
• द्विघात eigenvalue समस्या

बाहरी संबंध

• Frame3DD open source 3D structural modal analysis program