वर्णनात्मक सेट सिद्धांत

गणितीय तर्क में, वर्णनात्मक सेट सिद्धांत (डीएसटी) वास्तविक रेखा और अन्य पोलिश स्थानों के अच्छे व्यवहार वाले सेट (गणित) के कुछ वर्गों का अध्ययन है। साथ ही सेट सिद्धांत में अनुसंधान के प्राथमिक क्षेत्रों में से एक होने के नाते, इसमें गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे कि कार्यात्मक विश्लेषण, एर्गोडिक सिद्धांत, ऑपरेटर बीजगणित का अध्ययन और समूह क्रिया (गणित), और गणितीय तर्क के लिए अनुप्रयोग हैं।

पोलिश रिक्त स्थान

वर्णनात्मक सेट सिद्धांत पोलिश रिक्त स्थान और उनके बोरेल सेट के अध्ययन से शुरू होता है।

एक पोलिश स्थान एक दूसरा गणनीय स्थलीय स्थान है जो एक पूर्ण मीट्रिक के साथ metrizable है। हेरिस्टिक रूप से, यह एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान है जिसका मीट्रिक भुला दिया गया है। उदाहरणों में वास्तविक रेखा शामिल है $\mathbb {R}$ , बेयर स्पेस (सेट थ्योरी) ${\mathcal {N}}$ , कैंटर स्पेस ${\mathcal {C}}$ , और हिल्बर्ट क्यूब $I^{\mathbb {N} }$ .

सार्वभौमिकता गुण

पोलिश रिक्त स्थान के वर्ग में कई सार्वभौमिक गुण हैं, जो दिखाते हैं कि कुछ प्रतिबंधित रूपों के पोलिश रिक्त स्थान पर विचार करने में सामान्यता का कोई नुकसान नहीं है।

प्रत्येक पोलिश स्थान G के लिए होमियोमॉर्फिक है_δ हिल्बर्ट क्यूब की उप-अंतरिक्ष टोपोलॉजी, और प्रत्येक G_δ हिल्बर्ट क्यूब का उपस्थान पोलिश है।
प्रत्येक पोलिश स्थान को बायर स्थान की एक सतत छवि के रूप में प्राप्त किया जाता है; वास्तव में प्रत्येक पोलिश स्थान बायर स्थान के एक बंद उपसमुच्चय पर परिभाषित निरंतर आक्षेप की छवि है। इसी तरह, हर कॉम्पैक्ट पोलिश स्पेस कैंटर स्पेस की एक सतत छवि है।

इन सार्वभौम गुणों के कारण, और बायर स्थान के कारण ${\mathcal {N}}$ सुविधाजनक संपत्ति है कि यह होमोमोर्फिक है ${\mathcal {N}}^{\omega }$ वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में कई परिणाम अकेले बेयर स्पेस के संदर्भ में सिद्ध होते हैं।

बोरेल सेट

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के बोरेल सेट की श्रेणी में सबसे छोटे सिग्मा-बीजगणित के सभी सेट होते हैं|σ-बीजगणित में X के खुले सेट होते हैं। इसका मतलब यह है कि एक्स के बोरेल सेट ऐसे सेटों का सबसे छोटा संग्रह हैं:

X का प्रत्येक खुला उपसमुच्चय एक बोरेल समुच्चय है।
यदि ए बोरेल सेट है, तो है $X\setminus A$ . अर्थात्, बोरेल सेट की श्रेणी पूरकता के तहत बंद है।
यदि एक_n प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक बोरेल सेट है, फिर संघ $\bigcup A_{n}$ बोरेल सेट है। यानी बोरेल सेट काउंटेबल यूनियनों के तहत बंद हैं।

एक मौलिक परिणाम से पता चलता है कि कोई भी दो बेशुमार पोलिश स्थान X और Y बोरेल समरूपतावाद हैं: X से Y तक एक आक्षेप है जैसे कि किसी भी बोरेल सेट की पूर्व छवि बोरेल है, और किसी भी बोरेल सेट की छवि बोरेल है। यह बेयर स्पेस और कैंटर स्पेस पर ध्यान देने के अभ्यास को अतिरिक्त औचित्य देता है, क्योंकि ये और अन्य पोलिश रिक्त स्थान बोरेल सेट के स्तर पर सभी आइसोमोर्फिक हैं।

बोरेल पदानुक्रम

एक पोलिश स्थान के प्रत्येक बोरेल सेट को बोरेल पदानुक्रम में वर्गीकृत किया गया है, जिसके आधार पर गणनीय संघ और पूरकता के संचालन का उपयोग सेट को प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए, जो खुले सेट से शुरू होता है। वर्गीकरण गणनीय सेट क्रमिक संख्याओं के संदर्भ में है। प्रत्येक अशून्य गणनीय क्रमिक α के लिए वर्ग हैं $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ , $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ , और $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}$ .

हर खुले सेट को घोषित किया जाता है $\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}$ .
एक सेट घोषित किया जाता है $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ यदि और केवल यदि इसका पूरक है $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ .
एक सेट ए घोषित किया जाता है $\mathbf {\Sigma } _{\delta }^{0}$ , δ> 1, यदि कोई अनुक्रम है, तो ए_i 〉 सेट के, जिनमें से प्रत्येक है $\mathbf {\Pi } _{\lambda (i)}^{0}$ कुछ λ (i) < δ के लिए, जैसे कि $A=\bigcup A_{i}$ .
एक सेट है $\mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}$ अगर और केवल अगर यह दोनों है $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ और $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ .

एक प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी सेट जो है $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ या $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ है $\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}$ , और कोई भी $\mathbf {\Delta } _{\beta }^{0}$ सेट दोनों है $\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}$ और $\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}$ सभी α > β के लिए। इस प्रकार पदानुक्रम में निम्नलिखित संरचना होती है, जहाँ तीर समावेशन का संकेत देते हैं।

${\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow &&\nearrow \\\mathbf {\Delta } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{2}^{0}&&&&\cdots \\&\searrow &&\nearrow &&\searrow \\&&\mathbf {\Pi } _{1}^{0}&&&&\mathbf {\Pi } _{2}^{0}&&\cdots \end{matrix}}{\begin{matrix}&&\mathbf {\Sigma } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \\&\nearrow &&\searrow \\\quad \mathbf {\Delta } _{\alpha }^{0}&&&&\mathbf {\Delta } _{\alpha +1}^{0}&\cdots \\&\searrow &&\nearrow \\&&\mathbf {\Pi } _{\alpha }^{0}&&&\cdots \end{matrix}}$

बोरेल सेट के नियमितता गुण

शास्त्रीय वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में बोरेल सेट के नियमित गुणों का अध्ययन शामिल है। उदाहरण के लिए, पोलिश स्थान के सभी बोरेल सेटों में बेयर की संपत्ति और सही सेट संपत्ति होती है। आधुनिक वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में उन तरीकों का अध्ययन शामिल है जिनमें ये परिणाम पोलिश रिक्त स्थान के उपसमुच्चय के अन्य वर्गों के सामान्यीकरण, या सामान्यीकरण करने में विफल होते हैं।

विश्लेषणात्मक और [[सहविश्लेषणात्मक सेट]]

जटिलता में बोरेल सेटों के ठीक परे विश्लेषणात्मक सेट और कोनालिटिक सेट हैं। पोलिश स्थान X का एक उपसमुच्चय 'विश्लेषणात्मक' है यदि यह किसी अन्य पोलिश स्थान के बोरेल उपसमुच्चय की निरंतर छवि है। हालांकि बोरेल सेट का कोई भी निरंतर प्रीइमेज बोरेल है, लेकिन सभी विश्लेषणात्मक सेट बोरेल सेट नहीं हैं। एक सेट 'कोएनालिटिक' है यदि इसका पूरक विश्लेषणात्मक है।

प्रोजेक्टिव सेट और वैज डिग्री

वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत में कई प्रश्न अंततः समुच्चय सिद्धांत | समुच्चय-सैद्धांतिक विचार और क्रमवाचक संख्या और कार्डिनल संख्याओं के गुणों पर निर्भर करते हैं। यह घटना विशेष रूप से प्रक्षेप्य सेट में स्पष्ट है। इन्हें पोलिश स्पेस X पर प्रोजेक्टिव पदानुक्रम के माध्यम से परिभाषित किया गया है:

एक सेट घोषित किया जाता है $\mathbf {\Sigma } _{1}^{1}$ अगर यह विश्लेषणात्मक है।
एक सेट है $\mathbf {\Pi } _{1}^{1}$ अगर यह कोनालिटिक है।
समुच्चय A है $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ अगर वहां एक है $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ का सबसेट बी $X\times X$ ऐसा है कि ए पहले समन्वय के लिए बी का प्रक्षेपण है।
समुच्चय A है $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}$ अगर वहां एक है $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ का सबसेट बी $X\times X$ ऐसा है कि ए पहले समन्वय के लिए बी का प्रक्षेपण है।
एक सेट है $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ अगर यह दोनों है $\mathbf {\Pi } _{n}^{1}$ और $\mathbf {\Sigma } _{n}^{1}$ .

बोरेल पदानुक्रम के साथ, प्रत्येक एन के लिए, कोई भी $\mathbf {\Delta } _{n}^{1}$ सेट दोनों है $\mathbf {\Sigma } _{n+1}^{1}$ और $\mathbf {\Pi } _{n+1}^{1}.$ प्रोजेक्टिव सेट के गुण ZFC द्वारा पूरी तरह से निर्धारित नहीं किए गए हैं। निर्माण की स्वयंसिद्ध धारणा के तहत | वी = एल, सभी प्रोजेक्टिव सेटों में सही सेट संपत्ति या बेयर की संपत्ति नहीं होती है। हालांकि, अनुमानित निर्धारण की धारणा के तहत, सभी प्रोजेक्टिव सेटों में सही सेट संपत्ति और बायर की संपत्ति दोनों होती है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि ZFC बोरेल निर्धारणा को सिद्ध करता है, लेकिन प्रक्षेपी निर्धारण नहीं।

अधिक आम तौर पर, पोलिश स्पेस एक्स के तत्वों के सेट का पूरा संग्रह समतुल्य वर्गों में बांटा जा सकता है, जिसे वैज डिग्री के रूप में जाना जाता है, जो प्रोजेक्टिव पदानुक्रम को सामान्यीकृत करता है। इन डिग्रियों को वैज पदानुक्रम में क्रमबद्ध किया गया है। निर्धारकता के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है कि किसी भी पोलिश स्थान पर वैज पदानुक्रम अच्छी तरह से स्थापित है और लंबाई Θ (सेट सिद्धांत) | Θ है, जिसमें प्रोजेक्टिव पदानुक्रम का विस्तार किया गया है।

बोरेल तुल्यता संबंध

वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में अनुसंधान का एक समकालीन क्षेत्र बोरेल तुल्यता संबंधों का अध्ययन करता है। पोलिश स्पेस X पर एक बोरेल तुल्यता संबंध एक बोरेल उपसमुच्चय है $X\times X$ यह X पर एक तुल्यता संबंध है।

प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत

प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत का क्षेत्र सामान्यीकृत पुनरावर्तन सिद्धांत (विशेष रूप से हाइपररिथमेटिकल सिद्धांत) के साथ वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के तरीकों को जोड़ता है। विशेष रूप से, यह शास्त्रीय वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के पदानुक्रमों के facebook एनालॉग्स पर केंद्रित है। इस प्रकार बोरेल पदानुक्रम के बजाय हाइपरअरिथमेटिक पदानुक्रम का अध्ययन किया जाता है, और प्रोजेक्टिव पदानुक्रम के बजाय विश्लेषणात्मक पदानुक्रम। यह शोध सेट थ्योरी के कमजोर संस्करणों से संबंधित है जैसे कि क्रिपके-प्लेटेक सेट थ्योरी और दूसरे क्रम के अंकगणित।

टेबल

Lightface		Boldface
Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (sometimes the same as Δ⁰ ₁)		Σ⁰ ₀ = Π⁰ ₀ = Δ⁰ ₀ (if defined)
Δ⁰ ₁ = recursive		Δ⁰ ₁ = clopen
Σ⁰ ₁ = recursively enumerable	Π⁰ ₁ = co-recursively enumerable	Σ⁰ ₁ = G = open	Π⁰ ₁ = F = closed
Δ⁰ ₂		Δ⁰ ₂
Σ⁰ ₂	Π⁰ ₂	Σ⁰ ₂ = F_σ	Π⁰ ₂ = G_δ
Δ⁰ ₃		Δ⁰ ₃
Σ⁰ ₃	Π⁰ ₃	Σ⁰ ₃ = G_δσ	Π⁰ ₃ = F_σδ
⋮		⋮
Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = arithmetical		Σ⁰ _<ω = Π⁰ _<ω = Δ⁰ _<ω = Σ¹ ₀ = Π¹ ₀ = Δ¹ ₀ = boldface arithmetical
⋮		⋮
Δ⁰ _α (α recursive)		Δ⁰ _α (α countable)
Σ⁰ _α	Π⁰ _α	Σ⁰ _α	Π⁰ _α
⋮		⋮
Σ⁰ _ω^CK ₁ = Π⁰ _ω^CK ₁ = Δ⁰ _ω^CK ₁ = Δ¹ ₁ = hyperarithmetical		Σ⁰ _ω₁ = Π⁰ _ω₁ = Δ⁰ _ω₁ = Δ¹ ₁ = B = Borel
Σ¹ ₁ = lightface analytic	Π¹ ₁ = lightface coanalytic	Σ¹ ₁ = A = analytic	Π¹ ₁ = CA = coanalytic
Δ¹ ₂		Δ¹ ₂
Σ¹ ₂	Π¹ ₂	Σ¹ ₂ = PCA	Π¹ ₂ = CPCA
Δ¹ ₃		Δ¹ ₃
Σ¹ ₃	Π¹ ₃	Σ¹ ₃ = PCPCA	Π¹ ₃ = CPCPCA
⋮		⋮
Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = analytical		Σ¹ _<ω = Π¹ _<ω = Δ¹ _<ω = Σ² ₀ = Π² ₀ = Δ² ₀ = P = projective
⋮		⋮

यह भी देखें

बिंदु वर्ग
पूर्व आदेश देना
स्केल संपत्ति

संदर्भ

Kechris, Alexander S. (1994). Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94374-9.
Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. p. 2. ISBN 0-444-70199-0.

बाहरी कड़ियाँ

Descriptive set theory, David Marker, 2002. Lecture notes.