पोलिश स्थान

सामान्य टोपोलॉजी के गणितीय अनुशासन में, एक पोलिश स्थान एक वियोज्य स्थान है जो पूरी तरह से मेट्रिजेबल स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस है; वह है, एक पूर्ण अंतरिक्ष मीट्रिक अंतरिक्ष के लिए एक अंतरिक्ष होमियोमॉर्फिक जिसमें एक गणनीय घना सेट सबसेट है। पोलिश स्थानों को इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि पोलिश टोपोलॉजिस्ट और लॉजिशियन-सिएरपिन्स्की, कुराटोव्स्की, अल्फ्रेड टार्स्की और अन्य लोगों द्वारा पहले बड़े पैमाने पर उनका अध्ययन किया गया था। हालांकि, पोलिश रिक्त स्थान का अध्ययन आज ज्यादातर किया जाता है क्योंकि वे बोरेल समकक्ष संबंधों के अध्ययन सहित वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के लिए प्राथमिक सेटिंग हैं। पोलिश रिक्त स्थान भी अधिक उन्नत माप सिद्धांत के लिए एक सुविधाजनक सेटिंग है, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत में।

पोलिश रिक्त स्थान के सामान्य उदाहरण हैं वास्तविक रेखा, कोई भी वियोज्य स्थान बनच स्थान, कैंटर स्थान और बायर स्थान (सेट सिद्धांत)। इसके अतिरिक्त, कुछ स्थान जो सामान्य मीट्रिक में पूर्ण मीट्रिक स्थान नहीं हैं, वे पोलिश हो सकते हैं; उदा., खुला अंतराल (0, 1) पोलिश है।

किन्हीं दो बेशुमार पोलिश स्थानों के बीच, एक बोरेल समरूपता है; वह है, एक आक्षेप जो बोरेल संरचना को संरक्षित करता है। विशेष रूप से, प्रत्येक बेशुमार पोलिश स्थान में सातत्य की प्रमुखता होती है।

पोलिश स्पेस#लुसिन स्पेस, पोलिश स्पेस#सुस्लिन स्पेस, और रेडॉन स्पेस#रेडॉन स्पेस पोलिश स्पेस के सामान्यीकरण हैं।

गुण

प्रत्येक पोलिश स्थान दूसरा गणनीय है (वियोज्य मेट्रिज़ेबल होने के आधार पर)।
(पावेल सर्गेइविच अलेक्जेंड्रोव | अलेक्जेंड्रोव का प्रमेय) यदि $X$ पोलिश है तो कोई भी है $G δ$ का भाग $X$ .^[1]
एक उप-स्थान $Q$ एक पोलिश स्थान का $P$ पोलिश है अगर और केवल अगर $Q$ के खुले उपसमुच्चय के अनुक्रम का प्रतिच्छेदन है $P$ . (यह अलेक्जेंड्रोव प्रमेय का विलोम है।)^[2]
(कैंटोर-बेंडिक्सन प्रमेय) यदि $X$ पोलिश है तो इसका कोई बंद उपसमुच्चय $X$ को एक पूर्ण सेट और एक गणनीय सेट के असंयुक्त संघ के रूप में लिखा जा सकता है। इसके अलावा, अगर पोलिश अंतरिक्ष $X$ बेशुमार है, इसे एक पूर्ण सेट और एक गणनीय खुले सेट के असंयुक्त संघ के रूप में लिखा जा सकता है।
प्रत्येक पोलिश स्थान a के लिए होमियोमॉर्फिक है $G δ$ -हिल्बर्ट क्यूब का सबसेट (अर्थात, का $I N$ , कहाँ $I$ इकाई अंतराल है और $N$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है)।^[3]

निम्नलिखित स्थान पोलिश हैं:

पोलिश स्थान के बंद उपसमुच्चय,
पोलिश स्थान के खुले उपसमुच्चय,
पोलिश स्थानों के गणनीय परिवारों के उत्पाद और असंबद्ध संघ,
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस जो कि मेट्रिज़ेबल और सिग्मा-कॉम्पैक्ट स्पेस हैं,
हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस के पोलिश सबस्पेस के काउंटेबल इंटरसेक्शन,
टोपोलॉजी सबस्पेस टोपोलॉजी के साथ अपरिमेय संख्याओं का सेट वास्तविक रेखा का मानक टोपोलॉजी।

लक्षण वर्णन

ऐसे कई लक्षण हैं जो बताते हैं कि कब एक दूसरा गणनीय स्थलीय स्थान मेट्रिजेबल है, जैसे कि उरीसोहन का मेट्रिजेशन प्रमेय। यह निर्धारित करने की समस्या कि क्या एक मेट्रिज़ेबल स्पेस पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल है, अधिक कठिन है। टोपोलॉजिकल स्पेस जैसे ओपन यूनिट इंटरवल (0,1) को पूर्ण मेट्रिक्स और अपूर्ण मेट्रिक्स दोनों को उनकी टोपोलॉजी उत्पन्न करने के लिए दिया जा सकता है।

दृढ़ चोकेट खेल के रूप में जाने जाने वाले दृढ़ संकल्प # खेलों के संदर्भ में पूर्ण वियोज्य मीट्रिक रिक्त स्थान का एक लक्षण वर्णन है। एक वियोज्य मीट्रिक स्थान पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल है अगर और केवल अगर दूसरे खिलाड़ी के पास इस गेम में जीतने की रणनीति है।

एलेक्जेंड्रोव के प्रमेय से एक दूसरा लक्षण वर्णन होता है। इसमें कहा गया है कि एक वियोज्य मीट्रिक स्थान पूरी तरह से मेट्रिजेबल है अगर और केवल अगर यह एक है $G_{\delta }$ मूल मीट्रिक में इसकी पूर्णता का सबसेट।

पोलिश मीट्रिक रिक्त स्थान

हालांकि पोलिश रिक्त स्थान मेट्रिजेबल हैं, वे स्वयं मीट्रिक रिक्त स्थान नहीं हैं; प्रत्येक पोलिश स्थान एक ही टोपोलॉजी को जन्म देने वाले कई पूर्ण मेट्रिक्स को स्वीकार करता है, लेकिन इनमें से कोई भी एकल या प्रतिष्ठित नहीं है। विशिष्ट पूर्ण मीट्रिक वाले पोलिश स्थान को पोलिश मीट्रिक स्थान कहा जाता है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, यहां दिए गए एक के बराबर है, पहले पोलिश मीट्रिक स्थान को परिभाषित करने के लिए पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान का अर्थ है, और फिर पोलिश मीट्रिक स्थान को भुलक्कड़ फ़ंक्टर द्वारा पोलिश मीट्रिक स्थान से प्राप्त स्थलीय स्थान के रूप में परिभाषित करना है।

पोलिश रिक्त स्थान का सामान्यीकरण

ल्यूसिन स्पेस

एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक लुसिन स्पेस है, अगर यह कॉम्पैक्ट मेट्रिक स्पेस के बोरेल सबसेट के लिए होमोमोर्फिक है।^[4]^[5] कुछ मजबूत टोपोलॉजी लुसिन को पोलिश स्पेस में बनाती है।

लुसिन स्पेस बनाने के कई तरीके हैं। विशेष रूप से:

हर पोलिश स्थान लुसिन है^[6]
ल्यूसिन स्थान का एक उप-स्थान ल्यूसिन है यदि और केवल यदि यह एक बोरेल सेट है।^[7] * हौसडॉर्फ अंतरिक्ष के लुसिन उपस्थानों का कोई भी गणनीय संघ या प्रतिच्छेदन लुसिन है।^[8] *Lusin रिक्त स्थान की एक गणनीय संख्या का गुणनफल Lusin है।^[9] *Lusin रिक्त स्थान की एक गणनीय संख्या का असंयुक्त संघ Lusin है।^[10]

सुस्लिन स्पेस

एक सतत मानचित्रण के तहत एक सुस्लिन अंतरिक्ष पोलिश अंतरिक्ष की छवि है। तो हर ल्यूसिन स्पेस सुस्लिन है। पोलिश स्थान में, एक उपसमुच्चय एक सुस्लिन स्थान है यदि और केवल अगर यह एक सुस्लिन सेट (सुस्लिन ऑपरेशन की एक छवि) है।^[11] निम्नलिखित सुस्लिन रिक्त स्थान हैं:

सुस्लिन स्थान के बंद या खुले उपसमुच्चय,
गणनीय उत्पाद और सुस्लिन रिक्त स्थान के संघों को अलग करना,
हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस के सुस्लिन उप-स्थानों के गणनीय चौराहे या गणनीय संघ,
सुस्लिन रिक्त स्थान की निरंतर छवियां,
सुस्लिन स्थान के बोरेल उपसमुच्चय।

उनके पास निम्नलिखित गुण हैं:

प्रत्येक सुस्लिन स्थान वियोज्य है।

रेडॉन स्पेस

जोहान रैडॉन के नाम पर एक रैडॉन स्पेस, एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जैसे कि हर बोरेल प्रायिकता माप को मापता है $M$ आंतरिक नियमित माप है। चूँकि संभाव्यता माप विश्व स्तर पर परिमित है, और इसलिए स्थानीय रूप से परिमित माप है, रेडॉन स्पेस पर प्रत्येक प्रायिकता माप भी एक रेडॉन माप है। विशेष रूप से एक वियोज्य स्थान पूर्ण मीट्रिक स्थान $(M, d)$ एक रैडॉन स्थान है।

हर सुस्लिन स्पेस रेडॉन है।

पोलिश समूह

एक पोलिश समूह एक सामयिक समूह है $G$ जो कि एक पोलिश स्थान भी है, दूसरे शब्दों में एक वियोज्य पूर्ण मीट्रिक स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक। पोलिश समूहों के बीच समरूपता पर स्टीफन बानाच, हंस फ्रायडेंथल और काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की के कई उत्कृष्ट परिणाम हैं।^[12] सबसे पहले, का तर्क Banach (1932, p. 23) आवश्यक परिवर्तनों सहित गैर-एबेलियन पोलिश समूहों पर लागू होता है: यदि $G$ और $H$ वियोज्य मीट्रिक रिक्त स्थान हैं $G$ पोलिश, फिर कोई बोरेल समरूपता $G$ को $H$ निरंतर है।^[13] दूसरे, ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) या बंद ग्राफ प्रमेय का एक संस्करण है Kuratowski (1933, p. 400): पोलिश उपसमूह का एक सतत अंतःक्रियात्मक समरूपता $G$ दूसरे पोलिश समूह पर $H$ एक खुली मैपिंग है। नतीजतन, पोलिश समूहों के बारे में यह एक उल्लेखनीय तथ्य है कि बायर-मापने योग्य मैपिंग (यानी, जिसके लिए किसी भी खुले सेट की प्रीइमेज में बायर की संपत्ति है) जो उनके बीच होमोमोर्फिज्म हैं, स्वचालित रूप से निरंतर हैं।^[14] हिल्बर्ट क्यूब के होमोमोर्फिज्म का समूह $[0,1] N$ एक सार्वभौमिक पोलिश समूह है, इस अर्थ में कि प्रत्येक पोलिश समूह इसके एक बंद उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है।

उदाहरण:

गणनीय संख्या में घटकों के साथ सभी परिमित आयामी लाई समूह पोलिश समूह हैं।
एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष (मजबूत ऑपरेटर टोपोलॉजी के साथ) का एकात्मक समूह एक पोलिश समूह है।
कॉम्पैक्ट मेट्रिक स्पेस के होमोमोर्फिज्म का समूह एक पोलिश समूह है।
गणनीय संख्या में पोलिश समूहों का उत्पाद एक पोलिश समूह है।
एक वियोज्य पूर्ण मीट्रिक स्थान के आइसोमेट्री का समूह एक पोलिश समूह है

यह भी देखें

मानक बोरेल स्थान

संदर्भ

↑ Bourbaki 1989, p. 197
↑ Bourbaki 1989, p. 197
↑ Srivastava 1998, p. 55
↑ Rogers & Williams 1994, p. 126
↑ Bourbaki 1989
↑ Schwartz 1973, p. 94
↑ Schwartz 1973, p. 102, Corollary 2 of Theorem 5.
↑ Schwartz 1973, pp. 94, 102, Lemma 4 and Corollary 1 of Theorem 5.
↑ Schwartz 1973, pp. 95, Lemma 6.
↑ Schwartz 1973, p. 95, Corollary of Lemma 5.
↑ Bourbaki 1989, pp. 197–199
↑ Moore 1976, p. 8, Proposition 5
↑ Freudenthal 1936, p. 54
↑ Pettis 1950.

Banach, Stefan (1932). Théorie des opérations linéaires. Monografie Matematyczne (in français). Warsaw.
Bourbaki, Nicolas (1989). "IX. Use of Real Numbers in General Topology". Elements of Mathematics: General Topology, Part 2. Springer-Verlag. 3540193723.
Freudenthal, Hans (1936). "Einige Sätze ueber topologische Gruppen". Ann. of Math. 37 (1): 46–56. doi:10.2307/1968686. JSTOR 1968686.
Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
Moore, Calvin C. (1976). "Group extensions and cohomology for locally compact groups. III". Trans. Amer. Math. Soc. 221: 1–33. doi:10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X.
Pettis, B. J. (1950). "On continuity and openness of homomorphisms in topological groups". Ann. of Math. 51 (2): 293–308. doi:10.2307/1969471. JSTOR 1969471.
Rogers, L. C. G.; Williams, David (1994). Diffusions, Markov Processes, and Martingales, Volume 1: Foundations, 2nd Edition. John Wiley & Sons Ltd.
Schwartz, Laurent (1973). Radon Measures on Arbitrary Topological Spaces and Cylindrical Measures. Oxford University Press. ISBN 978-0195605167.
Srivastava, Sashi Mohan (1998). A Course on Borel Sets. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98412-4. Retrieved 2008-12-04.

अग्रिम पठन

Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005). Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Arveson, William (1981). An Invitation to C*-Algebras. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 39. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 156. Springer. ISBN 0-387-94374-9.

[1] Bourbaki 1989, p. 197

[2] Bourbaki 1989, p. 197

[3] Srivastava 1998, p. 55

[4] Rogers & Williams 1994, p. 126

[5] Bourbaki 1989

[6] Schwartz 1973, p. 94

[7] Schwartz 1973, p. 102, Corollary 2 of Theorem 5.

[8] Schwartz 1973, pp. 94, 102, Lemma 4 and Corollary 1 of Theorem 5.

[9] Schwartz 1973, pp. 95, Lemma 6.

[10] Schwartz 1973, p. 95, Corollary of Lemma 5.

[11] Bourbaki 1989, pp. 197–199

[12] Moore 1976, p. 8, Proposition 5

[13] Freudenthal 1936, p. 54

[FOOTNOTEPettis1950-14] Pettis 1950.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]