संचालक बीजगणित

फलनात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक प्रचालक बीजगणित, फलन संरचना द्वारा दिए गए गुणन के साथ सांस्थितिक सदिश समष्टि पर निरंतर फलन (सांस्थिति) रैखिक प्रचालकों के क्षेत्र पर एक बीजगणित है।

प्रचालक बीजगणित के अध्ययन में प्राप्त परिणाम बीजगणितीय पदों में अभिव्यक्त किए जाते हैं, जबकि उपयोग की जाने वाली तकनीकें अत्यधिक गणितीय विश्लेषण हैं।^[1] यद्यपि प्रचालक बीजगणित के अध्ययन को सामान्यतः फलनात्मक विश्लेषण की एक शाखा के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, इसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत, अंतर ज्यामिति, क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम सूचना और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग हैं।

अवलोकन

प्रचालक बीजगणित का उपयोग एक साथ छोटे बीजगणितीय संबंध वाले प्रचालकों के यादृच्छिक समूह का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण से, प्रचालक बीजगणित को एकल प्रचालक के वर्णक्रमीय सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। सामान्य संचालिका बीजगणित में गैर क्रमविनिमेय वलय (गणित) होते हैं।

प्रचालक बीजगणित को सामान्यतः निरंतर रैखिक प्रचालकों के पूरे बीजगणित के भीतर एक निर्दिष्ट प्रचालक सांस्थिति में सवृत (गणित) होना आवश्यक है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय और सामयिक समापन गुणों दोनों के साथ प्रचालकों का एक समूह है। कुछ विषयों में ऐसे गुणों को स्वयंसिद्ध किया जाता है और कुछ सामयिक संरचना वाले बीजगणित अनुसंधान का विषय बन जाते हैं।

यद्यपि प्रचालकों के बीजगणित का अध्ययन विभिन्न संदर्भों में किया जाता है (उदाहरण के लिए, वितरण (गणित) के रिक्त स्थान पर क्रिया करने वाले छद्म-विभेदक प्रचालकों के बीजगणित), प्रचालक बीजगणित पद का प्रयोग सामान्यतः बानाच समष्टि पर परिबद्ध प्रचालकों के बीजगणित के संदर्भ में किया जाता है इससे भी अधिक विशेष रूप से अलग करने योग्य हिल्बर्ट समष्टि पर प्रचालकों के बीजगणित के संदर्भ में, प्रचालक मानदंड सांस्थिति के साथ संपन्न होते है।

हिल्बर्ट समष्टि पर प्रचालकों के विषय में, प्रचालकों पर हर्मिटियन आसन्न प्रतिचित्र एक प्राकृतिक प्रत्यावर्तन (गणित) देता है, जो अतिरिक्त बीजगणितीय संरचना प्रदान करता है जिसे बीजगणित पर लगाया जा सकता है। इस संदर्भ में, सबसे ठीक अध्ययन किए गए उदाहरण स्व-समीप संचालिका बीजगणित हैं, जिसका अर्थ है कि वे संलग्न लेने के अंतर्गत सवृत हैं। इनमें सी*या * बीजीय, वॉन न्यूमैन एल्जेब्रा और एडब्ल्यू*-बीजगणित सम्मिलित हैं। सी * - बीजगणित को मानदंड, समावेशन और गुणन से संबंधित स्थिति द्वारा आसानी से अमूर्त रूप से चित्रित किया जा सकता है। इस प्रकार के अमूर्त रूप से परिभाषित सी*-बीजगणित को उपयुक्त हिल्बर्ट समष्टि पर निरंतर रैखिक प्रचालकों के बीजगणित के निश्चित सवृत उप बीजगणित की पहचान की जा सकती है। इस प्रकार का परिणाम वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए है।

क्रमविनिमेय बीजगणित स्व-आसन्न संचालिका बीजगणित को स्थानीय रूप से सघन समष्टि पर जटिल-मानित निरंतर फलन के बीजगणित या मापन योग्य समष्टि पर मापनीय फलन के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार, सामान्य प्रचालक बीजगणित को प्रायः इन बीजगणितों के गैर-अनुवर्ती सामान्यीकरण, या आधार स्थान की संरचना के रूप में माना जाता है, जिस पर फलन परिभाषित होते हैं। इस दृष्टिकोण को गैर-अनुक्रमिक ज्यामिति के सिद्धांत के रूप में विस्तृत किया गया है, जो गैर-शास्त्रीय और/या रोग संबंधी वस्तुओं का अध्ययन गैर-अनुसूचित प्रचालक बीजगणित द्वारा करने की प्रयत्न करता है।

प्रचालक बीजगणित के उदाहरण जो स्व-संलग्न नहीं हैं उनमें सम्मिलित हैं:

नीड बीजगणित,
कई क्रमविनिमेय उपसमष्टि जाली बीजगणित,
कई सीमित बीजगणित

यह भी देखें

बनच बीजगणित – Particular kind of algebraic structure
आव्यूह यांत्रिकी
हिल्बर्ट समष्टि पर प्रचालकों के समूह पर सांस्थिति
शीर्ष प्रचालक बीजगणित

संदर्भ

↑ Theory of Operator Algebras I By Masamichi Takesaki, Springer 2012, p vi

अग्रिम पठन

Blackadar, Bruce (2005). Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 3-540-28486-9.
M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, 2001.

[1] Theory of Operator Algebras I By Masamichi Takesaki, Springer 2012, p vi

[1]

v t e Spectral theory and ^*-algebras
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v t e Banach space topics
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

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