Strophoid

स्ट्रॉफॉइड : नारंगी + गुलाबी वक्र

ज्यामिति में, एक स्ट्रॉफॉइड एक दिए गए वक्र C और बिंदु A (निश्चित बिंदु) और O (ध्रुव) से उत्पन्न वक्र है: चलो L हो एक परिवर्तनशील रेखा O से होकर गुजरती है और C को K पर प्रतिच्छेद करती है। अब चलो 'प'₁ और पी₂ L पर दो बिंदु हैं जिनकी K से दूरी A से K की दूरी के समान है। ऐसे बिंदुओं का स्थान (गणित) P₁ और पी₂ तब ध्रुव O और निश्चित बिंदु A के संबंध में C का स्ट्रॉफॉइड है। ध्यान दें कि AP₁ और एपी₂ इस निर्माण में समकोण पर हैं।

विशेष मामले में जहां C एक रेखा है, A, C पर स्थित है, और O, C पर नहीं है, तो वक्र को 'तिरछा स्ट्रॉफॉइड' कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, OA, C के लंबवत है, तो वक्र को 'राइट स्ट्रॉफॉइड' कहा जाता है, या कुछ लेखकों द्वारा केवल स्ट्रॉफॉइड कहा जाता है। सही स्ट्रॉफॉइड को 'लोगोसाइक्लिक कर्व' या 'फोलीएट' भी कहा जाता है।

समीकरण

ध्रुवीय निर्देशांक

बता दें कि वक्र C द्वारा दिया गया है $r=f(\theta )$, जहां मूल बिंदु को O माना जाता है। मान लीजिए A बिंदु (a, b) है। यदि $K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )$ वक्र पर एक बिंदु है जो K से A की दूरी है

$d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$.

रेखा OK पर बिंदुओं का ध्रुवीय कोण होता है $\theta$, और इस रेखा पर K से दूरी d पर स्थित बिंदु दूरी हैं $f(\theta )\pm d$ उत्पत्ति से। इसलिए, स्ट्रॉफॉइड का समीकरण किसके द्वारा दिया जाता है

$r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}$

कार्तीय निर्देशांक

सी को पैरामीट्रिक रूप से (एक्स (टी), वाई (टी)) द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए A बिंदु (a, b) है और O बिंदु (p, q) है। फिर, ध्रुवीय सूत्र के सीधे आवेदन से, स्ट्रॉफॉइड को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है:

$u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))$,

कहाँ पे

$n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}$.

एक वैकल्पिक ध्रुवीय सूत्र

ऊपर दिए गए सूत्रों की जटिल प्रकृति विशिष्ट मामलों में उनकी उपयोगिता को सीमित करती है। एक वैकल्पिक रूप है जिसे लागू करना कभी-कभी सरल होता है। यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब C पोल O और A के साथ Maclaurin का एक सेक्ट्रिक्स होता है।

माना O मूल बिंदु है और A बिंदु (a, 0) है। मान लीजिए K वक्र पर एक बिंदु है, $\theta$ OK और x-अक्ष के बीच का कोण, और $\vartheta$ AK और x-अक्ष के बीच का कोण। मान लीजिए $\vartheta$ एक समारोह के रूप में दिया जा सकता है $\theta$, कहो $\vartheta =l(\theta )$. होने देना $\psi$ K पर कोण बनो $\psi =\vartheta -\theta$. ज्या के नियम का प्रयोग करके हम l के पदों में r का निर्धारण कर सकते हैं। तब से

${r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}$.

चलो पी₁ और पी₂ OK पर वे बिंदु हैं जो K से AK की दूरी पर हैं, क्रमांक इस प्रकार हैं $\psi =\angle P_{1}KA$ तथा $\pi -\psi =\angle AKP_{2}$. $\triangle P_{1}KA$ शीर्ष कोण के साथ समद्विबाहु है $\psi$, तो शेष कोण, $\angle AP_{1}K$ तथा $\angle KAP_{1}$, हैं $(\pi -\psi )/2$. एपी के बीच का कोण₁ और x-अक्ष तब है

$l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$.

इसी तरह के तर्क से, या केवल इस तथ्य का उपयोग करके कि ए.पी₁ और एपी₂ समकोण पर हैं, AP के बीच का कोण₂ और x-अक्ष तब है

$l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$.

स्ट्रॉफॉइड के लिए ध्रुवीय समीकरण अब l से प्राप्त किया जा सकता है₁ और मैं₂ उपरोक्त सूत्र से:

$r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}$

$r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}$

C मैक्लॉरिन का एक खंड है जिसमें ध्रुव O और A होते हैं जब l रूप का होता है $q\theta +\theta _{0}$, उस मामले में एल₁ और मैं₂ का एक ही रूप होगा इसलिए स्ट्रॉफॉइड या तो मैकलॉरिन का एक और सेक्ट्रिक्स है या ऐसे वक्रों की एक जोड़ी है। इस मामले में ध्रुवीय समीकरण के लिए एक साधारण ध्रुवीय समीकरण भी होता है यदि मूल को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है।

विशिष्ट मामले

तिरछा स्ट्रॉफोइड्स

मान लीजिए C, A से होकर जाने वाली एक रेखा है। फिर, ऊपर प्रयुक्त अंकन में, $l(\theta )=\alpha$ कहाँ पे $\alpha$ एक स्थिरांक है। फिर $l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$ तथा $l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2$. परिणामी स्ट्रॉफॉइड के ध्रुवीय समीकरण, जिसे ओब्लिक स्ट्रॉफॉइड कहा जाता है, ओ पर उत्पत्ति के साथ हैं

$r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}$

तथा

$r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}$.

यह जांचना आसान है कि ये समीकरण समान वक्र का वर्णन करते हैं।

मूल बिंदु को A पर ले जाना (फिर से, मैक्लॉरिन का सेक्ट्रिक्स देखें) और -a को a से प्रतिस्थापित करना

$r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$,

और द्वारा घूम रहा है $\alpha$ बदले में पैदा करता है

$r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}$.

आयताकार निर्देशांक में, निरंतर मापदंडों में परिवर्तन के साथ, यह है

$y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy$.

यह एक घनीय वक्र है और ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यंजक द्वारा यह परिमेय है। इसमें (0, 0) पर एक crunode है और रेखा y=b एक स्पर्शोन्मुख है।

सही स्ट्रॉफॉइड

एक सही स्ट्रॉफॉइड

लाना $\alpha =\pi /2$ में

$r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}$

देता है

$r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )$.

इसे सही स्ट्रॉफॉइड कहा जाता है और उस मामले से मेल खाता है जहां सी 'वाई'-अक्ष है, ए मूल है, और ओ बिंदु है ( ए ' ', 0)।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली समीकरण है

$y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)$.

वक्र डेसकार्टेस के फोलियम जैसा दिखता है और रेखा x = −a दो शाखाओं के लिए एक स्पर्शोन्मुख है। वक्र में दो और स्पर्शोन्मुख हैं, विमान में जटिल निर्देशांक के साथ, द्वारा दिया गया

$x\pm iy=-a$.

मंडलियां

मान लीजिए C, O और A से होकर जाने वाला एक वृत्त है, जहाँ O मूल बिंदु है और A बिंदु (a, 0) है। फिर, ऊपर प्रयुक्त संकेतन में, $l(\theta )=\alpha +\theta$ कहाँ पे $\alpha$ एक स्थिरांक है। फिर $l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$ तथा $l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2$. परिणामी स्ट्रॉफॉइड के ध्रुवीय समीकरण, जिसे ओब्लिक स्ट्रॉफॉइड कहा जाता है, ओ पर उत्पत्ति के साथ तब होते हैं

$r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}$

तथा

$r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}$.

ये उन दो वृत्तों के समीकरण हैं जो O और A से होकर भी गुजरते हैं और के कोण बनाते हैं $\pi /4$ इन बिंदुओं पर सी के साथ।

यह भी देखें

• शंख (गणित)
• सिसोइड

संदर्भ

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. pp. 51–53, 95, 100–104, 175. ISBN 0-486-60288-5.
• E. H. Lockwood (1961). "Strophoids". A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. pp. 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
• R. C. Yates (1952). "Strophoids". A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. pp. 217–220.
• Weisstein, Eric W. "Strophoid". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Right Strophoid". MathWorld.
• Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Strophoid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Right Strophoid", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• ठिकाना (गणित)
• मैकलॉरिन का सेक्ट्रिक्स
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• डेसकार्टेस का फोलियम
• अनंतस्पर्शी
• सिसॉइड
• शंकुवृक्ष (गणित)

बाहरी संबंध

Media related to Strophoid at Wikimedia Commons