सटीक अंतर

This article is about the concept from elementary differential calculus. For the generalized advanced mathematical concept from differential topology and differential geometry, see closed and exact differential forms.

बहुभिन्नरूपी कैलकुलस में, एक अंतर (अतिसूक्ष्म) या अंतर रूप को सटीक या पूर्ण (सटीक अंतर) कहा जाता है, जैसा कि एक अचूक अंतर के विपरीत होता है, यदि यह सामान्य अंतर के बराबर है $dQ$ कुछ अलग-अलग कार्यों के लिए$Q$ एक ओर्थोगोनल निर्देशांक में।

एक सटीक अंतर को कभी-कभी कुल अंतर या पूर्ण अंतर भी कहा जाता है, या अंतर ज्यामिति के अध्ययन में इसे एक सटीक रूप कहा जाता है।

किसी भी अभिन्न पथ पर एक सटीक अंतर का अभिन्न अंग रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र#पथ स्वतंत्रता | पथ-स्वतंत्र है, और इस तथ्य का उपयोग ऊष्मप्रवैगिकी में राज्य कार्य की पहचान करने के लिए किया जाता है।

सिंहावलोकन

परिभाषा

यहां तक ​​कि अगर हम यहां तीन आयामों में काम करते हैं, तो अन्य आयामों के लिए सटीक अंतर की परिभाषाएं संरचनात्मक रूप से तीन आयामी परिभाषा के समान हैं। तीन आयामों में, प्रकार का एक रूप

$A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz$

विभेदक रूप कहा जाता है। इस फॉर्म को खुले डोमेन पर सटीक कहा जाता है $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ अंतरिक्ष में अगर कुछ अलग-अलग फ़ंक्शन अदिश समारोह मौजूद हैं $Q=Q(x,y,z)$ पर परिभाषित $D$ ऐसा है कि

$dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,$   $dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz$

लगातार $D$, कहाँ $x,y,z$ ऑर्थोगोनल निर्देशांक हैं (उदाहरण के लिए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली, बेलनाकार, या गोलाकार समन्वय प्रणाली)। दूसरे शब्दों में, किसी स्थान के कुछ खुले डोमेन में, एक अंतर रूप एक सटीक अंतर होता है यदि यह एक ऑर्थोगोनल समन्वय प्रणाली में एक अलग-अलग कार्य के सामान्य अंतर के बराबर होता है।

नोट: इस गणितीय अभिव्यक्ति में, कोष्ठक के बाहर सबस्क्रिप्ट इंगित करते हैं कि विभेदीकरण के दौरान किन चरों को स्थिर रखा जा रहा है। आंशिक व्युत्पन्न की परिभाषा के कारण, इन सबस्क्रिप्ट की आवश्यकता नहीं है, लेकिन उन्हें स्पष्ट रूप से अनुस्मारक के रूप में यहां दिखाया गया है।

अभिन्न पथ स्वतंत्रता

अवकलनीय अदिश फलन के लिए सटीक अवकलन $Q$ एक खुले डोमेन में परिभाषित $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ के बराबर है $dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r}$, कहाँ $\nabla Q$ की प्रवणता है $Q$, $\cdot$ डॉट उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है, और $d\mathbf {r}$ सामान्य अंतर विस्थापन वेक्टर है, यदि एक लंबकोणीय समन्वय प्रणाली का उपयोग किया जाता है। अगर $Q$ अवकलनीयता वर्ग का है $C^{1}$ (चिकनाई # बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग), फिर $\nabla Q$ इसी क्षमता के लिए एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र है $Q$ परिभाषा से। तीन आयामी रिक्त स्थान के लिए, भाव जैसे $d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)$ और $\nabla Q=({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}})$ बनाया जा सकता है।

ढाल प्रमेय बताता है

$\int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)$

यह दिए गए पथ समापन बिंदुओं के बीच किस अभिन्न पथ पर निर्भर नहीं करता है $i$ और $f$ चुना जाता है। तो यह निष्कर्ष निकाला गया है कि एक सटीक अंतर का अभिन्न अंग दिए गए पथ समापन बिंदुओं के बीच एक अभिन्न पथ के चुनाव से स्वतंत्र है। रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र#पथ स्वतंत्रता|(पथ स्वतंत्रता)।

तीन आयामी रिक्त स्थान के लिए, यदि $\nabla Q$ एक खुले डोमेन पर परिभाषित $D\subset \mathbb {R} ^{3}$ चिकनाई का है#बहुभिन्नरूपी विभेदीकरण वर्ग $C^{1}$ (समतुल्य $Q$ के बारे में है $C^{2}$), तो इस अभिन्न पथ की स्वतंत्रता को वेक्टर कैलकुलस आइडेंटिटी का उपयोग करके भी सिद्ध किया जा सकता है#ग्रेडिएंट का कर्ल शून्य है $\nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0}$ और स्टोक्स प्रमेय।

$\oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0$

एक साधारण बंद लूप के लिए $\partial \Sigma$ चिकनी उन्मुख सतह के साथ $\Sigma$ इस में। यदि खुला डोमेन $D$ बस जुड़ा हुआ स्थान है (मोटे तौर पर बोलना, इसके भीतर एक छेद के बिना एक टुकड़ा खुला स्थान), फिर कोई भी अघूर्णी सदिश क्षेत्र (एक के रूप में परिभाषित) $C^{1}$ वेक्टर क्षेत्र $\mathbf {v}$ कौन सा कर्ल शून्य है, यानी, $\nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0}$) का पथ स्टोक्स प्रमेय से स्वतंत्र है, इसलिए निम्नलिखित कथन दिया गया है; बस जुड़े हुए खुले क्षेत्र में, कोई भी $C^{1}$ सदिश क्षेत्र जिसमें पथ-स्वतंत्रता संपत्ति है (इसलिए यह एक रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र है।) भी अघूर्णन और इसके विपरीत होना चाहिए। पथ स्वतंत्रता और रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्रों की समानता को रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र # पथ स्वतंत्रता और रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र दिखाया गया है।

थर्मोडायनामिक स्टेट फंक्शन

ऊष्मप्रवैगिकी में, कब $dQ$ सटीक है, समारोह $Q$ प्रणाली का एक राज्य कार्य है: एक कार्य (गणित) जो केवल वर्तमान थर्मोडायनामिक संतुलन पर निर्भर करता है, न कि उस स्थिति तक पहुंचने के लिए अपनाए गए पथ पर। आंतरिक ऊर्जा $U$, एन्ट्रापी $S$, तापीय धारिता $H$, हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा $A$, और गिब्स मुक्त ऊर्जा $G$ राज्य कार्य हैं। आम तौर पर, न तो कार्य (थर्मोडायनामिक्स) $W$ न ही गर्मी $Q$ राज्य कार्य है। (टिप्पणी: $Q$ आमतौर पर भौतिकी में गर्मी का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इसे इस आलेख में पहले सटीक अंतर के पैरामीटर के रूप में उपयोग के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।)

एक आयाम

एक आयाम में, एक अंतर रूप

$A(x)\,dx$

सटीक है अगर और केवल अगर $A$ एक प्रतिपक्षी है (लेकिन प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में जरूरी नहीं है)। अगर $A$ एक प्रतिपक्षी है और चलो $Q$ का प्रतिकारक हो $A$ इसलिए ${\frac {dQ}{dx}}=A$, तब $A(x)\,dx$ स्पष्ट रूप से सटीकता की स्थिति को संतुष्ट करता है। अगर $A$ कोई प्रतिपक्षी नहीं है, तो हम लिख नहीं सकते $dQ={\frac {dQ}{dx}}dx$ साथ $A={\frac {dQ}{dx}}$ एक अलग समारोह के लिए $Q$ इसलिए $A(x)\,dx$ अचूक है।

दो और तीन आयाम

किसी भी अच्छी तरह से व्यवहार (गैर-पैथोलॉजिकल (गणित)) फ़ंक्शन के लिए दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता द्वारा $Q$, अपने पास

${\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.$

इसलिए, एक्स-प्लेन के सरल रूप से जुड़े क्षेत्र आर में, एक अंतर रूप

$A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy$

एक सटीक अंतर है अगर और केवल अगर समीकरण

$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$

रखती है। यदि यह एक सटीक अंतर है तो $A={\frac {\partial Q}{\partial x}}$ और $B={\frac {\partial Q}{\partial y}}$, तब $Q$ साथ में एक अवकलनीय (सुचारु रूप से निरंतर) कार्य है $x$ और $y$, इसलिए $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$. अगर $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$ रखता है, तो $A$ और $B$ अलग-अलग (फिर से, सुचारू रूप से निरंतर) कार्य साथ-साथ होते हैं $y$ और $x$ क्रमशः, और $\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}$ केवल मामला है।

तीन आयामों के लिए, xyz-निर्देशांक प्रणाली के सरल रूप से जुड़े क्षेत्र R में, इसी कारण से, एक अंतर

$dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz$

एक सटीक अंतर है अगर और केवल अगर कार्यों ए, बी और सी के बीच संबंध मौजूद हैं

$\left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}$; $\left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}$; $\left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.$

ये स्थितियाँ निम्नलिखित वाक्य के समतुल्य हैं: यदि G इस सदिश मान फ़ंक्शन का ग्राफ़ है, तो सतह G के सभी स्पर्शरेखा सदिशों X,Y के लिए s(X, Y) = 0 के साथ symplectic रूप है।

ये स्थितियाँ, जिनका सामान्यीकरण करना आसान है, दूसरे डेरिवेटिव की गणना में विभेदीकरण के क्रम की स्वतंत्रता से उत्पन्न होती हैं। तो, एक अंतर dQ के लिए, जो कि चार चरों का एक कार्य है, एक सटीक अंतर होने के लिए, छह शर्तें हैं (संयोजन $C(4,2)=6$) को पूरा करने के।

आंशिक अंतर संबंध

यदि एक अवकलनीय कार्य $z(x,y)$ प्रत्येक स्वतंत्र चर के लिए एक-से-एक (इंजेक्शन) है, उदाहरण के लिए, $z(x,y)$ के लिए एक-से-एक है $x$ एक निश्चित पर $y$ जबकि यह एक-से-एक के लिए जरूरी नहीं है $(x,y)$, तब निम्नलिखित कुल अंतर मौजूद हैं क्योंकि प्रत्येक स्वतंत्र चर अन्य चर के लिए एक अलग करने योग्य कार्य है, उदाहरण के लिए, $x(y,z)$.

$dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz$

$dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.$

पहले समीकरण को दूसरे और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,$

$dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,$

$\left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.$

तब से $y$ और $z$ स्वतंत्र चर हैं, $dy$ और $dz$ प्रतिबंध के बिना चुना जा सकता है। इस अंतिम समीकरण के आम तौर पर धारण करने के लिए, कोष्ठकों की शर्तों को शून्य के बराबर होना चाहिए। शून्य के बराबर बायाँ कोष्ठक पारस्परिक संबंध की ओर ले जाता है जबकि शून्य के बराबर दायाँ कोष्ठक चक्रीय संबंध में जाता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

पारस्परिकता संबंध

शून्य पैदावार के बराबर कोष्ठक में पहला शब्द सेट करना

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.$

एक मामूली पुनर्व्यवस्था एक पारस्परिक संबंध देती है,

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.$

पूर्वगामी व्युत्पत्ति के दो और क्रमचय हैं जो कुल तीन पारस्परिक संबंध देते हैं $x$, $y$ और $z$.

चक्रीय संबंध

चक्रीय संबंध को चक्रीय नियम या ट्रिपल उत्पाद नियम के रूप में भी जाना जाता है। कोष्ठक में दूसरा पद शून्य यील्ड के बराबर सेट करना

${\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.$

के लिए एक पारस्परिक संबंध का उपयोग करना ${\tfrac {\partial z}{\partial y}}$ इस समीकरण पर और पुनर्क्रमित करने से एक चक्रीय संबंध (ट्रिपल उत्पाद नियम) मिलता है,

${\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.$

यदि, इसके बजाय, पारस्परिक संबंध ${\tfrac {\partial x}{\partial y}}$ और ${\tfrac {\partial y}{\partial z}}$ बाद की पुनर्व्यवस्था के साथ उपयोग किया जाता है, दो चर के लिए एक अंतर्निहित फ़ंक्शन#फॉर्मूला प्राप्त किया जाता है:

${\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.$

दो आयामों में सटीक अंतर से प्राप्त कुछ उपयोगी समीकरण

(थर्मोडायनामिक समीकरणों के सिद्धांत में सटीक अंतर के उपयोग के लिए ब्रिजमैन के थर्मोडायनामिक समीकरण भी देखें)

मान लीजिए हमारे पास पाँच राज्य कार्य हैं $z,x,y,u$, और $v$. मान लीजिए कि राज्य स्थान द्वि-आयामी है और पांच मात्राओं में से कोई भी अलग-अलग है। फिर चेन नियम से

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}dy=\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)_{u}dv$

(1)

लेकिन श्रृंखला नियम द्वारा भी:

$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}dv$

(2)

और

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}du+\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}dv$

(3)

ताकि ((2) और (3) को (1) में प्रतिस्थापित करके):

${\begin{aligned}dz=&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}\right]du\\+&\left[\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)_{u}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)_{u}\right]dv\end{aligned}}$

(4)

जिसका तात्पर्य है कि ((4) की तुलना (1) से करके):

$\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)_{v}$

(5)

दे $v=y$ में (5) देता है:

$\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)_{y}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)_{y}$

(6)

दे $u=y$ में (5) देता है:

$\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{v}=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{v}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}$

(7)

दे $u=y$ और $v=z$ में (7) देता है:

$\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)_{x}=-\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}$

(8)

का उपयोग कर ($\partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}$ ट्रिपल उत्पाद नियम देता है:

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)_{y}\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)_{z}\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)_{x}=-1$

(9)

यह भी देखें

• उच्च स्तर के उपचार के लिए बंद और सटीक अंतर रूप
• विभेदक (गणित)
• अयथार्थ अवकल समीकरण
• अशुद्ध अवकल समीकरणों को सटीक बनाकर हल करने के लिए समाकलन कारक
• सटीक अंतर समीकरण

संदर्भ

• Perrot, P. (1998). A to Z of Thermodynamics. New York: Oxford University Press.
• Dennis G. Zill (14 May 2008). A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

बाहरी संबंध

• Inexact Differential – from Wolfram MathWorld
• Exact and Inexact Differentials – University of Arizona
• Exact and Inexact Differentials – University of Texas
• Exact Differential – from Wolfram MathWorld