दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता

"Clairaut's theorem (calculus)" redirects here. For other Clairaut's results, see Clairaut's formula (disambiguation).

गणित में, दूसरे अवकलजों की सममिति (जिसे मिश्रित आंशिकों की समानता भी कहा जाता है) एक फलन (गणित) के आंशिक अवकलजों को लेने के क्रम को बदलने की संभावना को संदर्भित करता है।

$f\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$

कुछ शर्तों के तहत परिणाम को बदले बिना n चर के (नीचे देखें)। समरूपता यह दावा है कि दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव पहचान (गणित) को संतुष्ट करते हैं

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)$

ताकि वे एक n × n सममित मैट्रिक्स का निर्माण करें, जिसे फ़ंक्शन के हेसियन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है। इसे कभी-कभी 'श्वार्ज़ की प्रमेय', 'क्लेराट की प्रमेय', या 'यंग की प्रमेय' के रूप में जाना जाता है। आंशिक विभेदक समीकरणों के संदर्भ में इसे विभेदक प्रणालियों की स्थिति के लिए श्वार्ज़ इंटीग्रेबिलिटी स्थितियां कहा जाता है।

समरूपता के औपचारिक भाव

प्रतीकों में, समरूपता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.$

एक अन्य अंकन है:

$\partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.$

अंतर ऑपरेटर की कार्य संरचना के संदर्भ में D_i जो के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेता है x_i:

$D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}$.

इस संबंध से यह इस प्रकार है कि निरंतर गुणांक वाले अंतर ऑपरेटरों की अंगूठी (गणित), द्वारा उत्पन्न D_i, क्रमविनिमेय है; लेकिन यह पर्याप्त रूप से अलग-अलग कार्यों के डोमेन पर ऑपरेटरों के रूप में ही सच है। समरूपता की जांच करना आसान है जैसा कि एकपद पर लागू होता है, ताकि कोई बहुपद ले सके x_i एक डोमेन के रूप में। वास्तव में सहज कार्य एक अन्य मान्य डोमेन हैं।

इतिहास

कुछ शर्तों के तहत मिश्रित आंशिक डेरिवेटिव की समानता पर परिणाम का एक लंबा इतिहास रहा है। 1740 में प्रकाशित लियोनार्ड यूलर के साथ असफल प्रस्तावित प्रमाणों की सूची शुरू हुई, हालांकि पहले से ही 1721 में निकोलस बर्नौली ने बिना किसी औपचारिक औचित्य के परिणाम को ग्रहण कर लिया था। 18वीं शताब्दी के अंत तक बिना किसी अन्य प्रयास के एलेक्सिस क्लेराट ने 1740 में एक प्रस्तावित प्रमाण भी प्रकाशित किया। तब से, 70 वर्षों की अवधि के लिए, कई अधूरे प्रमाण प्रस्तावित किए गए थे। Lagrange (1797) के प्रमाण को कॉची (1823) द्वारा सुधारा गया था, लेकिन आंशिक डेरिवेटिव के अस्तित्व और निरंतरता को ग्रहण किया ${\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$ और ${\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$. अन्य प्रयास पी. ब्लैंचेट (1841), जीन मैरी डुहमेल (1856), जैक्स चार्ल्स फ्रांकोइस स्टर्म (1857), श्लोमिल्च (1862) और जोसेफ बर्ट्रेंड (1864) द्वारा किए गए थे। अंत में 1867 में लिंडेलॉफ़ ने पहले के सभी त्रुटिपूर्ण प्रमाणों का व्यवस्थित रूप से विश्लेषण किया और एक विशिष्ट प्रति उदाहरण प्रदर्शित करने में सक्षम थे जहां मिश्रित डेरिवेटिव बराबर होने में विफल रहे। उसके छह साल बाद, एच. ए. श्वार्ज पहला कठोर प्रमाण देने में सफल हुए। यूलिसिस दीनी ने बाद में श्वार्ज की तुलना में अधिक सामान्य स्थितियों को खोजने में योगदान दिया। आखिरकार 1883 में केमिली जॉर्डन द्वारा एक साफ और अधिक सामान्य संस्करण पाया गया जो अभी भी अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में पाया जाने वाला प्रमाण है। पॉल मैथ्यू हरमन लॉरेंट (1885), पीनो (1889 और 1893), जे. एडवर्ड्स (1892), पी. हाग (1893), जे. के. व्हिटेमोर (1898), गिउलिओ विवंती (1899) और जेम्स द्वारा पहले के प्रमाणों के मामूली रूप प्रकाशित किए गए थे। पियरपोंट (गणितज्ञ) (1905)। आगे की प्रगति 1907-1909 में हुई जब ई. डब्ल्यू. हॉब्सन और डब्ल्यू. एच. यंग ने श्वार्ज़ और दीनी की तुलना में कमजोर स्थितियों के प्रमाण पाए। 1918 में, कैराथियोडोरी ने लेबेस्ग इंटीग्रल के आधार पर एक अलग प्रमाण दिया।

श्वार्ज का प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, श्वार्ज प्रमेय (या मिश्रित आंशिकों की समानता पर क्लेराट का प्रमेय) एलेक्सिस क्लेराट और हरमन ब्लैक के नाम पर, एक समारोह के लिए कहा गया है $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ एक सेट पर परिभाषित $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$, यदि $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}$ एक बिंदु ऐसा है कि कुछ पड़ोस (गणित)। $\mathbf {p}$ में निहित है $\Omega$ और $f$ के उस पड़ोस पर निरंतर कार्य दूसरा आंशिक डेरिवेटिव है $\mathbf {p}$, तो सभी के लिए i और j में $\{1,2\ldots ,\,n\}.$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).$

इस फ़ंक्शन का आंशिक डेरिवेटिव उस बिंदु पर कम्यूट करता है।

इस प्रमेय को स्थापित करने का एक आसान तरीका (मामले में जहां $n=2$, $i=1$, और $j=2$, जो आसानी से सामान्य रूप से परिणाम पर जोर देता है) के ढाल में ग्रीन के प्रमेय को लागू करने से होता है $f.$ विमान के खुले उपसमुच्चय पर कार्यों के लिए एक प्राथमिक प्रमाण इस प्रकार है (एक साधारण कमी से, श्वार्ज़ के प्रमेय के लिए सामान्य मामला आसानी से समतल मामले में कम हो जाता है)। होने देना $f(x,y)$ एक खुले आयत पर एक भिन्न कार्य हो Ω एक बिंदु युक्त $(a,b)$ और मान लीजिए $df$ निरंतर के साथ निरंतर है $\partial _{x}\partial _{y}f$ और $\partial _{y}\partial _{x}f$ ऊपर Ω. परिभाषित करना

${\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}$

इन कार्यों के लिए परिभाषित किया गया है $\left|h\right|,\,\left|k\right|<\varepsilon$, कहां $\varepsilon >0$ और $\left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left[b-\varepsilon ,\,b+\varepsilon \right]$ में निहित है Ω.

औसत मूल्य प्रमेय द्वारा, निश्चित के लिए h और k गैर शून्य, $\theta ,\,\theta ^{\prime },\,\,\phi ,\,\,\phi ^{\prime }$ खुले अंतराल में पाया जा सकता है $(0,1)$ साथ

${\begin{aligned}w\left(h,\,k\right)&=u\left(h,\,k\right)-u\left(0,\,k\right)=h\,\partial _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+k\right)-\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\partial _{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\partial _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}$

तब से $h,\,k\neq 0$, नीचे दी गई पहली समानता को इससे विभाजित किया जा सकता है $hk$:

${\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}$

दे $h,\,k$ अंतिम समानता में शून्य हो जाते हैं, निरंतरता की धारणा $\partial _{y}\partial _{x}f$ और $\partial _{x}\partial _{y}f$ अब इसका मतलब है

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).$

यह खाता कई पाठ्य पुस्तकों में पाया जाने वाला एक सीधा शास्त्रीय तरीका है, उदाहरण के लिए बुर्किल, एपोस्टोल और रुडिन में। यद्यपि उपरोक्त व्युत्पत्ति प्रारंभिक है, दृष्टिकोण को अधिक वैचारिक दृष्टिकोण से भी देखा जा सकता है ताकि परिणाम अधिक स्पष्ट हो। दरअसल अंतर ऑपरेटरों $\Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}$ आवागमन और $\Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f$ प्रवृत्त $\partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f$ जैसा $t$ दूसरे क्रम के ऑपरेटरों के लिए समान कथन के साथ 0 की ओर जाता है। के लिए यहां $z$ विमान में एक वेक्टर और $u$ एक दिशात्मक वेक्टर, अंतर ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया गया है

$\Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.$

के लिए पथरी के मौलिक प्रमेय द्वारा $C^{1}$ कार्यों $f$ एक खुले अंतराल पर $I$ साथ $(a,b)\subset I$

$\int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).$

अत

$|f(b)-f(a)|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}|f^{\prime }(c)|$.

यह औसत मूल्य प्रमेय का एक सामान्यीकृत संस्करण है। याद करें कि वास्तविक-मूल्यवान फलनों के लिए उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ पर प्रारंभिक चर्चा का तात्पर्य है कि यदि $f$ निरंतर चालू है $[a,b]$ और अलग करने योग्य $(a,b)$, तो एक बिंदु है $c$ में $(a,b)$ ऐसा है कि

${f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\prime }(c).$

वेक्टर-मूल्यवान कार्यों के लिए $V$ एक परिमित-आयामी मानक स्थान, उपरोक्त समानता का कोई एनालॉग नहीं है, वास्तव में यह विफल रहता है। लेकिन जबसे $\inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }$उपरोक्त असमानता एक उपयोगी विकल्प है। इसके अलावा, के दोहरे की जोड़ी का उपयोग करना $V$ इसके दोहरे मानदंड के साथ, निम्नलिखित असमानता उत्पन्न होती है:

$\|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|$.

माध्य मूल्यवान प्रमेय के इन संस्करणों पर रुडिन, होर्मेंडर और अन्य जगहों पर चर्चा की गई है।

के लिए $f$ a $C^{2}$ समतल में एक खुले सेट पर कार्य करें, परिभाषित करें $D_{1}=\partial _{x}$ और $D_{2}=\partial _{y}$. इसके अलावा के लिए $t\neq 0$ सेट

$\Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t$.

फिर के लिए $(x_{0},y_{0})$ खुले सेट में, सामान्यीकृत माध्य मान प्रमेय को दो बार लागू किया जा सकता है:

$\left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.$

इस प्रकार $\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})$ आदत है $D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})$ जैसा $t$ 0 की ओर जाता है। वही तर्क दिखाता है कि $\Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})$ आदत है $D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})$. इसलिए, चूंकि डिफरेंशियल ऑपरेटर कम्यूट करते हैं, इसलिए आंशिक डिफरेंशियल ऑपरेटर भी करते हैं $D_{1}$ और $D_{2}$, जैसा कि दावा किया गया है। टिप्पणी। शास्त्रीय माध्य मान प्रमेय के दो अनुप्रयोगों द्वारा,

$\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\prime })$

कुछ के लिए $\theta$ और $\theta ^{\prime }$ में $(0,1)$. इस प्रकार अंतर ऑपरेटरों का उपयोग करके पहले प्राथमिक प्रमाण की पुनर्व्याख्या की जा सकती है। इसके विपरीत, दूसरे प्रमाण में सामान्यीकृत औसत मूल्य प्रमेय का उपयोग करने के बजाय, शास्त्रीय माध्य मूल्य प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।

पुनरावृत्त इंटीग्रल का उपयोग करते हुए क्लेराट के प्रमेय का प्रमाण

एक सतत कार्य के दोहराए गए रीमैन इंटीग्रल के गुण F एक कॉम्पैक्ट आयत पर [a,b] × [c,d] आसानी से स्थापित हो जाते हैं। समान रूप से निरंतर F इसका तात्पर्य तुरंत है कि कार्य करता है $g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy$ और $h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx$ निरंतर हैं। यह इस प्रकार है कि

$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy$;

इसके अलावा यह तत्काल है कि पुनरावृत्त अभिन्न सकारात्मक है यदि F सकारात्मक है। उपरोक्त समानता फ़ुबिनी के प्रमेय का एक साधारण मामला है, जिसमें कोई माप सिद्धांत शामिल नहीं है। Titchmarsh (1939) रीमैन रकम का उपयोग करके इसे एक सीधे तरीके से साबित करता है # छोटे आयतों में एक आयत के उपविभाजनों के अनुरूप उच्च आयाम।

क्लेराट के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए f एक खुले सेट पर एक अलग करने योग्य कार्य है U, जिसके लिए मिश्रित दूसरा आंशिक डेरिवेटिव f_yx और f_xy मौजूद हैं और निरंतर हैं। कलन की मूलभूत प्रमेय का दो बार प्रयोग करने पर,

$\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).$

उसी प्रकार

$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).$

दो पुनरावृत्त अभिन्न इसलिए समान हैं। दूसरी ओर, चूंकि f_xy(x,y) निरंतर है, दूसरा पुनरावृत्त अभिन्न पहले एकीकृत करके किया जा सकता है x और फिर बाद में खत्म y. लेकिन फिर का पुनरावृत्त अभिन्न f_yx − f_xy पर [a,b] × [c,d] गायब होना चाहिए। हालाँकि, यदि एक सतत फ़ंक्शन फ़ंक्शन का पुनरावृत्त अभिन्न है F फिर सभी आयतों के लिए गायब हो जाता है F समान रूप से शून्य होना चाहिए; अन्यथा के लिए F या −F किसी बिंदु पर सख्ती से सकारात्मक होगा और इसलिए आयत पर निरंतरता से, जो संभव नहीं है। अत f_yx − f_xy समान रूप से गायब हो जाना चाहिए, ताकि f_yx = f_xy हर जगह।

दो बार की पर्याप्तता-भिन्नता

दूसरे आंशिक डेरिवेटिव (जो बाद के द्वारा निहित है) की निरंतरता की तुलना में एक कमजोर स्थिति है जो समरूपता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि सभी आंशिक डेरिवेटिव स्वयं अलग-अलग कार्य हैं # उच्च आयामों में भिन्नता। प्रमेय का एक और सुदृढ़ीकरण, जिसमें अनुमत मिश्रित आंशिक के अस्तित्व पर जोर दिया गया है, पेआनो द्वारा मैथिसिस (जर्नल) पर एक संक्षिप्त 1890 नोट में प्रदान किया गया था:

यदि $f:E\to \mathbb {R}$ एक खुले सेट पर परिभाषित किया गया है $E\subset \mathbb {R} ^{2}$; $\partial _{1}f(x,\,y)$ और $\partial _{2,1}f(x,\,y)$ सर्वत्र विद्यमान है $E$; $\partial _{2,1}f$ पर निरंतर है $\left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E$, और अगर $\partial _{2}f(x,\,y_{0})$ के पड़ोस में मौजूद है $x=x_{0}$, तब $\partial _{1,2}f$ पर मौजूद है $\left(x_{0},\,y_{0}\right)$ और $\partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)$.

वितरण सिद्धांत सूत्रीकरण

वितरण का सिद्धांत (गणित) (सामान्यीकृत कार्य) समरूपता के साथ विश्लेषणात्मक समस्याओं को समाप्त करता है। एक अभिन्न कार्य के व्युत्पन्न को हमेशा वितरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और मिश्रित आंशिक डेरिवेटिव की समरूपता हमेशा वितरण की समानता के रूप में होती है। वितरण के भेदभाव को परिभाषित करने के लिए भागों द्वारा औपचारिक एकीकरण का उपयोग समरूपता प्रश्न को परीक्षण कार्यों पर वापस रखता है, जो सुचारू हैं और निश्चित रूप से इस समरूपता को संतुष्ट करते हैं। अधिक विवरण में (जहाँ f एक वितरण है, परीक्षण कार्यों पर एक ऑपरेटर के रूप में लिखा गया है, और φ एक परीक्षण कार्य है),

$\left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].$

एक अन्य दृष्टिकोण, जो एक फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करता है, यह नोट करना है कि ऐसे परिवर्तनों पर आंशिक डेरिवेटिव गुणा संचालिका बन जाते हैं जो अधिक स्पष्ट रूप से यात्रा करते हैं।

निरंतरता की आवश्यकता

समरूपता टूट सकती है यदि फ़ंक्शन अलग-अलग आंशिक डेरिवेटिव में विफल रहता है, जो संभव है यदि क्लेराट के प्रमेय संतुष्ट नहीं है (दूसरा आंशिक डेरिवेटिव निरंतर कार्य नहीं है)।

फलन f(x, y), जैसा कि समीकरण में दिखाया गया है (1), इसके मूल में सममित दूसरा डेरिवेटिव नहीं है।

गैर-समरूपता का एक उदाहरण फलन है (पीनो के कारण)

$f(x,\,y)={\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,\,y)\neq (0,\,0),\\0&{\mbox{ for }}(x,\,y)=(0,\,0).\end{cases}}$

(1)

इसे ध्रुवीय रूप से देखा जा सकता है $f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}$; यह हर जगह निरंतर है, लेकिन इसका डेरिवेटिव है (0, 0) बीजगणितीय रूप से गणना नहीं की जा सकती। बल्कि, अंतर भागफल की सीमा यह दर्शाती है $f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0$, इसलिए ग्राफ $z=f(x,y)$ पर एक क्षैतिज स्पर्शरेखा तल है (0, 0), और आंशिक डेरिवेटिव $f_{x},f_{y}$ मौजूद हैं और हर जगह निरंतर हैं। हालांकि, दूसरा आंशिक डेरिवेटिव निरंतर नहीं है (0, 0), और समरूपता विफल हो जाती है। वास्तव में, x-अक्ष के साथ y-व्युत्पन्न है $f_{y}(x,0)=x$, इसलिए:

$f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.$

इसके विपरीत, y-अक्ष के साथ x-व्युत्पन्न $f_{x}(0,y)=-y$, इसलिए $f_{xy}(0,0)=-1$. वह है, $f_{yx}\neq f_{xy}$ पर (0, 0), हालांकि मिश्रित आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं, और हर दूसरे बिंदु पर समरूपता है।

उपरोक्त कार्य, एक बेलनाकार समन्वय प्रणाली में लिखा गया है, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},$

दिखा रहा है कि फ़ंक्शन चार बार दोलन करता है जब एक बार मनमाने ढंग से छोटे लूप के चारों ओर यात्रा करता है जिसमें मूल होता है। सहज रूप से, इसलिए, फ़ंक्शन के स्थानीय व्यवहार (0,-0) को द्विघात रूप के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है, और हेस्सियन मैट्रिक्स इस प्रकार सममित होने में विफल रहता है।

सामान्य तौर पर, सीमित परिचालनों के आदान-प्रदान को कम्यूटेटिव संपत्ति की आवश्यकता नहीं होती है। पास दो चर दिए गए हैं (0, 0) और दो सीमित प्रक्रियाएं चालू हैं

$f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)$

पहले h → 0 बनाने के लिए और पहले k → 0 बनाने के लिए। प्रथम-क्रम की शर्तों को देखते हुए, जो पहले लागू होती है, यह मायने रख सकती है। इससे पैथोलॉजिकल (गणित) उदाहरणों का निर्माण होता है जिसमें दूसरा डेरिवेटिव गैर-सममित होता है। इस प्रकार का उदाहरण वास्तविक विश्लेषण के सिद्धांत से संबंधित है जहां कार्यों का बिंदुवार मूल्य मायने रखता है। जब एक वितरण के रूप में देखा जाता है तो दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के मूल्यों को मनमाने ढंग से बिंदुओं के सेट पर बदला जा सकता है जब तक कि इसमें लेबेस्गु माप 0 हो। उदाहरण के बाद से हेसियन को छोड़कर हर जगह सममित है (0, 0), इस तथ्य के साथ कोई विरोधाभास नहीं है कि श्वार्ट्ज वितरण के रूप में देखा जाने वाला हेस्सियन सममित है।

झूठे सिद्धांत में

पहले क्रम के डिफरेंशियल ऑपरेटर्स D पर विचार करें_i यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर अपरिमेय संचालक होने के लिए। यानी डी_i एक मायने में एक्स के समानांतर अनुवाद (ज्यामिति) के एक-पैरामीटर समूह को उत्पन्न करता है_i-एक्सिस। ये समूह एक-दूसरे के साथ आवागमन करते हैं, और इसलिए झूठ समूह # एक झूठ समूह से जुड़े झूठ बीजगणित भी करते हैं; लेट ब्रैकेट

[डी_i, डी_j] = 0

क्या यह संपत्ति का प्रतिबिंब है। दूसरे शब्दों में, एक निर्देशांक का दूसरे के संबंध में व्युत्पन्न झूठ शून्य है।

अंतर रूपों के लिए आवेदन

क्लेराट-श्वार्ज़ प्रमेय वह महत्वपूर्ण तथ्य है जो प्रत्येक के लिए यह साबित करने के लिए आवश्यक है $C^{\infty }$ (या कम से कम दो बार अलग-अलग) अंतर रूप $\omega \in \Omega ^{k}(M)$, दूसरा बाहरी व्युत्पन्न गायब हो जाता है: $d^{2}\omega :=d(d\omega )=0$. इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक अवकलनीय सटीक अवकलन रूप रूप (अर्थात, एक रूप $\alpha$ ऐसा है कि $\alpha =d\omega$ किसी रूप के लिए $\omega$) बंद अंतर रूप है (यानी, $d\alpha =0$), जबसे $d\alpha =d(d\omega )=0$. 18वीं शताब्दी के मध्य में, विभेदक रूपों के सिद्धांत का पहली बार विमान में 1-रूपों के सरलतम मामले में अध्ययन किया गया था, अर्थात। $A\,dx+B\,dy$, कहां $A$ और $B$ विमान में कार्य हैं। 1-रूपों और कार्यों के अंतरों का अध्ययन 1739 और 1740 में क्लेराउत के कागजात के साथ शुरू हुआ। उस स्तर पर उनकी जांच की व्याख्या सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों के रूप में की गई थी। औपचारिक रूप से क्लेराट ने दिखाया कि एक 1-फॉर्म $\omega =A\,dx+B\,dy$ एक खुले आयत पर बंद है, अर्थात $d\omega =0$, अगर और केवल $\omega$ रूप है $df$ किसी समारोह के लिए $f$ डिस्क में। के लिए समाधान $f$ कॉची के समाकलन सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है

$f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;$

जबकि अगर $\omega =df$, बंद संपत्ति $d\omega =0$ पहचान है $\partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f$. (आधुनिक भाषा में यह पॉइंकेयर लेम्मा का एक संस्करण है।)

संदर्भ

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आगे की पढाई

• "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]