ढाल प्रमेय

ग्रैडिएंट प्रमेय, जिसे रेखा अभिन्न ्स के लिए कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, का कहना है कि वक्र के अंत बिंदुओं पर मूल स्केलर फ़ील्ड का मूल्यांकन करके रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र के माध्यम से एक लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन किया जा सकता है। प्रमेय केवल वास्तविक रेखा के बजाय समतल या स्थान (आमतौर पर n-आयामी) में किसी भी वक्र के लिए कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का सामान्यीकरण है।

के लिए φ : U ⊆ Rⁿ → R एक अलग समारोह के रूप में और γ किसी भी निरंतर वक्र के रूप में U जो एक बिंदु से शुरू होता है p और एक बिंदु पर समाप्त होता है q, तब

$$\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$$

कहाँ पे ∇φ के ढाल वेक्टर क्षेत्र को दर्शाता है φ.

ग्रेडिएंट प्रमेय का अर्थ है कि ग्रेडिएंट फ़ील्ड के माध्यम से लाइन इंटीग्रल कंज़र्वेटिव वेक्टर फ़ील्ड#पथ इंडिपेंडेंस|पाथ-इंडिपेंडेंट हैं। भौतिकी में यह प्रमेय संरक्षी बल को परिभाषित करने के तरीकों में से एक है। रखकर φ संभावित के रूप में, ∇φ एक रूढ़िवादी क्षेत्र है। संरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य (भौतिकी) वस्तु द्वारा अनुसरण किए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है, बल्कि केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है, जैसा कि उपरोक्त समीकरण से पता चलता है।

ग्रेडियेंट प्रमेय में एक दिलचस्प बातचीत भी है: किसी भी पथ-स्वतंत्र वेक्टर फ़ील्ड को अदिश क्षेत्र के ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ढाल प्रमेय की ही तरह, इस बातचीत के शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित दोनों में कई हड़ताली परिणाम और अनुप्रयोग हैं।

प्रमाण

यदि φ किसी खुले समुच्चय से अवकलनीय फलन है U ⊆ Rⁿ को R और r कुछ बंद अंतराल (गणित) से एक भिन्न कार्य है [a, b] को U (ध्यान दें कि r अंतराल समापन बिंदुओं पर अलग-अलग है a और b. यह करने के लिए, r एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है जो इससे बड़ा है और इसमें शामिल है [a, b]।), फिर श्रृंखला नियम द्वारा # उच्च आयाम, फ़ंक्शन रचना φ ∘ r पर अवकलनीय है [a, b]:

$${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)$$

सबके लिए t में [a, b]. यहां ही ⋅ डॉट उत्पाद को दर्शाता है।

अब मान लीजिए डोमेन U का φ अवकलनीय वक्र समाविष्ट है γ समापन बिंदुओं के साथ p और q. (यह अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) से दिशा में है p को q). यदि r पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) γ के लिए t में [a, b] (अर्थात।, r प्रतिनिधित्व करता है γ के एक समारोह के रूप में t), तब

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}$$

जहां लाइन इंटीग्रल#लाइन इंटीग्रल ऑफ द वेक्टर फील्ड का उपयोग पहली समानता में किया जाता है, उपरोक्त समीकरण का उपयोग दूसरी समानता में किया जाता है, और कैलकुलस के मौलिक प्रमेय#द्वितीय भाग का उपयोग तीसरी समानता में किया जाता है। यहां तक ​​​​कि अगर ग्रेडिएंट प्रमेय (जिसे लाइन इंटीग्रल के लिए कैलकुलस का मौलिक प्रमेय भी कहा जाता है) को अब तक एक अलग-अलग (इतनी चिकनी दिखने वाली) वक्र के लिए सिद्ध किया गया है, तो प्रमेय को टुकड़े-टुकड़े-चिकनी वक्र के लिए भी सिद्ध किया जाता है क्योंकि यह वक्र जोड़कर बनाया गया है कई अलग-अलग घटता है इसलिए इस वक्र के लिए प्रमाण अलग-अलग वक्र घटक के प्रमाण द्वारा बनाया गया है।

उदाहरण

उदाहरण 1

मान लीजिए γ ⊂ R² से वामावर्त उन्मुख वृत्ताकार चाप है (5, 0) को (−4, 3). सदिश क्षेत्र के रेखा समाकल#रेखा समाकल का उपयोग करना,

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\sin t)(-5\sin t)+(5\cos t)(5\cos t))\,\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\sin ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\ =\ \left.{\tfrac {25}{2}}\sin(2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)}\\[.5em]&={\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\pi -2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\\[.5em]&=-{\tfrac {25}{2}}\sin \left(2\tan ^{-1}\!\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)\right)\ =\ -{\frac {25(3/4)}{(3/4)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}$$

यह परिणाम फ़ंक्शन को ध्यान में रखते हुए और अधिक आसानी से प्राप्त किया जा सकता है $f(x,y)=xy$ ढाल है $\nabla f(x,y)=(y,x)$, तो ढाल प्रमेय द्वारा:

$$\int _{\gamma }y\,\mathrm {d} x+x\,\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\ =\ xy\,|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$$

उदाहरण 2

अधिक सार उदाहरण के लिए, मान लीजिए γ ⊂ Rⁿ समापन बिंदु हैं p, q, से उन्मुखीकरण के साथ p को q. के लिए u में Rⁿ, होने देना |u| यूक्लिडियन मानदंड को निरूपित करता है u. यदि α ≥ 1 एक वास्तविक संख्या है, तो

$${\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}$$

यहाँ अंतिम समानता ग्रेडिएंट प्रमेय द्वारा अनुसरण की जाती है, क्योंकि फ़ंक्शन f(x) = |x|^α+1 पर अवकलनीय है Rⁿ अगर α ≥ 1.

यदि α < 1 तो यह समानता अभी भी ज्यादातर मामलों में बनी रहेगी, लेकिन सावधानी बरतनी चाहिए अगर γ उत्पत्ति से गुजरता है या संलग्न करता है, क्योंकि एकीकृत वेक्टर क्षेत्र |x|^{α − 1}x वहां परिभाषित नहीं किया जा सकेगा। हालाँकि, मामला α = −1 कुछ अलग है; इस मामले में, इंटीग्रैंड बन जाता है |x|⁻²x = ∇(log |x|), ताकि अंतिम समानता बन जाए log |q| − log |p|.

ध्यान दें कि अगर n = 1, तो यह उदाहरण एकल-चर कलन से परिचित शक्ति नियम का एक मामूली रूप है।

उदाहरण 3

मान लीजिए वहाँ हैं n बिंदु कण#बिंदु आवेश त्रि-आयामी अंतरिक्ष में व्यवस्थित होता है, और i-वें बिंदु आवेश में विद्युत आवेश होता है Q_i और स्थान पर स्थित है p_i में R³. हम आवेश के एक कण पर किए गए कार्य (भौतिकी) की गणना करना चाहेंगे q क्योंकि यह एक बिंदु से यात्रा करता है a एक स्तर तक b में R³. कूलम्ब के नियम का उपयोग करके, हम आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि स्थिति में कण पर बल r होगा

$$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}$$

यहां |u| वेक्टर के यूक्लिडियन मानदंड को दर्शाता है u में R³, और k = 1/(4πε₀), कहाँ पे ε₀ वैक्यूम परमिटिटिविटी है।

होने देना γ ⊂ R³ − {p₁, ..., p_n}{{{1}}} से एक मनमाना अवकलनीय वक्र हो a को b. फिर कण पर किया गया कार्य है

$$W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)$$

अब प्रत्येक के लिए i, प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है

$${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.$$

इस प्रकार, ऊपर से जारी रखते हुए और ढाल प्रमेय का उपयोग करते हुए,

$$W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)$$

हमारा काम तमाम हो गया है। बेशक, हम इस गणना को विद्युत क्षमता या विद्युत संभावित ऊर्जा (परिचित सूत्रों के साथ) की शक्तिशाली भाषा का उपयोग करके आसानी से पूरा कर सकते थे W = −ΔU = −qΔV). हालाँकि, हमने अभी तक संभावित या संभावित ऊर्जा को परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि ग्रेडिएंट प्रमेय के विलोम को यह साबित करने की आवश्यकता है कि ये अच्छी तरह से परिभाषित, अलग-अलग कार्य हैं और ये सूत्र धारण करते हैं (ग्रेडिएंट प्रमेय#विपरीत सिद्धांत का उदाहरण)। इस प्रकार, हमने केवल कूलम्ब के नियम, कार्य की परिभाषा और ग्रेडिएंट प्रमेय का उपयोग करके इस समस्या को हल किया है।

ग्रेडिएंट प्रमेय का विलोम

ढाल प्रमेय कहता है कि यदि सदिश क्षेत्र F कुछ स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट है (यानी, if F रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र है), फिर F एक पथ-स्वतंत्र सदिश क्षेत्र है (अर्थात, का अभिन्न अंग F कुछ टुकड़े-टुकड़े-अलग-अलग वक्र पर केवल अंत बिंदुओं पर निर्भर है)। इस प्रमेय का एक शक्तिशाली विलोम है:

Theorem —  If F is a path-independent vector field, then F is the gradient of some scalar-valued function.

यह दिखाने के लिए सीधा है कि एक सदिश क्षेत्र पथ-स्वतंत्र है अगर और केवल अगर सदिश क्षेत्र का अभिन्न अंग अपने डोमेन में प्रत्येक बंद लूप पर शून्य है। इस प्रकार बातचीत को वैकल्पिक रूप से निम्नानुसार कहा जा सकता है: यदि का अभिन्न अंग F के डोमेन में हर बंद लूप पर F शून्य है, तो F कुछ स्केलर-वैल्यू फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट है।

विलोम का प्रमाण

मान लीजिए U एक ओपन सेट है, कनेक्टेड स्पेस#पथ कनेक्टेडनेस|पाथ-कनेक्टेड सबसेट Rⁿ, और F : U → Rⁿ एक सतत कार्य और पथ-स्वतंत्र वेक्टर क्षेत्र है। कुछ तत्व ठीक करें a का U, और परिभाषित करें f : U → R द्वारा

$$f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$$

यहां γ[a, x] कोई (विभेद्य) वक्र है U पर शुरू हो रहा है a पर समाप्त हो रहा है x. हम जानते हैं कि f अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि F पथ-स्वतंत्र है।

होने देना v में कोई भी अशून्य सदिश हो Rⁿ. दिशात्मक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} -\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot d\mathbf {u} }{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{\gamma [\mathbf {x} ,\mathbf {x} +t\mathbf {v} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} \end{aligned}}$$

अंतिम सीमा के भीतर अभिन्न की गणना करने के लिए, हमें पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) करना होगा γ[x, x + tv]. तब से F पथ-स्वतंत्र है, U खुला है, और t शून्य के करीब पहुंच रहा है, हम मान सकते हैं कि यह पथ एक सीधी रेखा है, और इसे पैरामीट्रिज के रूप में u(s) = x + sv के लिए 0 < s < t. अब, चूंकि u'(s) = vहद हो जाती है

$$\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {u} (s))\cdot \mathbf {u} '(s)\,\mathrm {d} s={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}\mathbf {F} (\mathbf {x} +s\mathbf {v} )\cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} s{\bigg |}_{t=0}=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

जहां पहली समानता व्युत्पन्न # परिभाषा से है, इस तथ्य के साथ कि अभिन्न 0 के बराबर है t = 0, और दूसरी समानता कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से है#पहला भाग। इस प्रकार हमारे पास इसके लिए एक सूत्र है ∂_vf, (दिशात्मक व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों में से एक) जहां v मनमाना है; के लिए $f(\mathbf {x} ):=\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {x} ]}\mathbf {F} (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$ (इसकी पूरी परिभाषा ऊपर देखें), इसके दिशात्मक व्युत्पन्न के संबंध में v है

$${\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {v} }}=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v}$$

जहां पहले दो समानताएं दिशात्मक व्युत्पन्न के अलग-अलग प्रतिनिधित्व दिखाती हैं। एक स्केलर फ़ंक्शन की ग्रेडिएंट # परिभाषा के अनुसार f, $\nabla f(\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )$, इस प्रकार हमें एक अदिश-मूल्यवान फलन मिला है f जिसका ग्रेडिएंट पाथ-इंडिपेंडेंट वेक्टर फील्ड है F (अर्थात।, F एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र है।), वांछित के रूप में।

विपरीत सिद्धांत का उदाहरण

Main article: Electric potential energy

इस विलोम सिद्धांत की शक्ति को स्पष्ट करने के लिए, हम एक उदाहरण देते हैं जिसके महत्वपूर्ण भौतिकी परिणाम हैं। शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में, विद्युत बल एक पथ-स्वतंत्र बल है; यानी एक कण पर किया गया कार्य (भौतिकी) जो एक विद्युत क्षेत्र के भीतर अपनी मूल स्थिति में वापस आ गया है, शून्य है (यह मानते हुए कि कोई बदलते चुंबकीय क्षेत्र मौजूद नहीं हैं)।

इसलिए, उपरोक्त प्रमेय का तात्पर्य है कि विद्युत बल क्षेत्र (भौतिकी) F_e : S → R³ रूढ़िवादी है (यहाँ S कुछ ओपन सेट है, कनेक्टेड स्पेस # पाथ कनेक्टेडनेस | पाथ-कनेक्टेड सबसेट R³ जिसमें इलेक्ट्रिक चार्ज वितरण शामिल है)। उपरोक्त प्रमाण के विचारों का अनुसरण करते हुए, हम कुछ संदर्भ बिंदु निर्धारित कर सकते हैं a में S, और एक फ़ंक्शन को परिभाषित करें U_e: S → R द्वारा

$$U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}$$

उपरोक्त प्रमाण का उपयोग करके, हम जानते हैं U_e अच्छी तरह से परिभाषित और अलग-अलग है, और F_e = −∇U_e (इस सूत्र से हम रूढ़िवादी बलों द्वारा किए गए कार्य की गणना के लिए प्रसिद्ध सूत्र को आसानी से प्राप्त करने के लिए ढाल प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं: W = −ΔU). यह समारोह U_e को अक्सर आवेशों की प्रणाली की विद्युत संभावित ऊर्जा के रूप में जाना जाता है S (शून्य-क्षमता के संदर्भ में a). कई मामलों में, डोमेन S सीमाबद्ध सेट और संदर्भ बिंदु माना जाता है a अनंत माना जाता है, जिसे सीमित तकनीकों का उपयोग करके कठोर # गणितीय कठोरता बनाया जा सकता है। यह समारोह U_e कई भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला एक अनिवार्य उपकरण है।

सामान्यीकरण

Main articles: Stokes' theorem and Closed and exact differential forms

वेक्टर कैलकुलस के कई महत्वपूर्ण प्रमेय डिफरेंशियल फॉर्म # इंटीग्रेशन ऑन अलग करने योग्य कई गुना के बारे में बयानों के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकृत करते हैं। विभेदक रूप ों और बाहरी डेरिवेटिव्स की भाषा में, ढाल प्रमेय बताता है कि

$$\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi$$

किसी भी अवकलन रूप के लिए|0-रूप, ϕ, कुछ अलग-अलग वक्र पर परिभाषित किया गया है γ ⊂ Rⁿ (यहाँ का अभिन्न अंग ϕ की सीमा के ऊपर γ का मूल्यांकन समझा जाता है ϕ γ के अंत बिंदुओं पर)।

इस कथन और स्टोक्स के प्रमेय के सामान्यीकृत संस्करण के बीच हड़ताली समानता पर ध्यान दें, जो कहता है कि किसी भी कॉम्पैक्ट समर्थन डिफरेंशियल फॉर्म का अभिन्न अंग ω कुछ ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) की सीमा (टोपोलॉजी) पर कई गुना Ω इसके बाहरी व्युत्पन्न के अभिन्न के बराबर है dω पूरे में Ω, अर्थात।,

$$\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega$$

यह शक्तिशाली कथन एक-आयामी मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित 1-रूपों से मनमाने आयाम के मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित अंतर रूपों के लिए ग्रेडिएंट प्रमेय का एक सामान्यीकरण है।

ग्रेडियेंट प्रमेय के विपरीत बयान में कई गुना अंतर रूपों के संदर्भ में एक शक्तिशाली सामान्यीकरण भी है। विशेष रूप से मान लीजिए ω एक अनुबंधित स्थान पर परिभाषित एक रूप है, और इसका अभिन्न अंग है ω किसी भी बंद मैनिफोल्ड पर शून्य है। तब एक रूप होता है ψ ऐसा है कि ω = dψ. इस प्रकार, एक अनुबंधित डोमेन पर, प्रत्येक बंद और सटीक अंतर रूप बंद और सटीक अंतर रूप हैं। इस परिणाम को क्लोज्ड और सटीक डिफरेंशियल फॉर्म#Poincare lemma|Poincare lemma द्वारा संक्षेपित किया गया है।

यह भी देखें

• राज्य समारोह
• स्केलर क्षमता
• जॉर्डन वक्र प्रमेय
• एक समारोह का अंतर
• शास्त्रीय यांत्रिकी
• Line integral § Path independence
• Conservative vector field § Path independence