क्वांटम ऑपरेशन

क्वांटम यांत्रिकी में, एक क्वांटम ऑपरेशन (क्वांटम डायनेमिक मैप या क्वांटम प्रक्रिया के रूप में भी जाना जाता है) एक गणितीय औपचारिकता है जिसका उपयोग एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में होने वाले परिवर्तनों के व्यापक वर्ग का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसे पहली बार जॉर्ज सुदर्शन द्वारा घनत्व मैट्रिक्स के लिए सामान्य स्टोकेस्टिक परिवर्तन के रूप में चर्चा की गई थी। क्वांटम ऑपरेशन औपचारिकता न केवल एकात्मक समय विकास या पृथक प्रणालियों के समरूपता परिवर्तनों का वर्णन करती है, बल्कि एक पर्यावरण के साथ माप और क्षणिक बातचीत के प्रभावों का भी वर्णन करती है। क्वांटम गणना के संदर्भ में, क्वांटम ऑपरेशन को क्वांटम चैनल कहा जाता है।

ध्यान दें कि कुछ लेखक विशेष रूप से पूरी तरह से सकारात्मक (सीपी) और घनत्व मैट्रिक्स के स्थान पर गैर-ट्रेस-बढ़ते मानचित्रों को संदर्भित करने के लिए क्वांटम ऑपरेशन शब्द का उपयोग करते हैं, और क्वांटम चैनल शब्द का उपयोग उन लोगों के सबसेट को संदर्भित करने के लिए करते हैं जो सख्ती से ट्रेस-संरक्षित हैं। . क्वांटम संचालन क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के घनत्व मैट्रिक्स विवरण के संदर्भ में तैयार किए जाते हैं। सख्ती से, एक क्वांटम ऑपरेशन अपने आप में घनत्व ऑपरेटरों के सेट से एक रैखिक, पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र है। क्वांटम जानकारी के संदर्भ में, कोई अक्सर क्वांटम ऑपरेशन पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगा देता है ${\mathcal {E}}$ शारीरिक होना चाहिए,अर्थात् संतुष्ट करना $0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1$ किसी भी राज्य के लिए $\rho$.

कुछ क्वांटम प्रक्रियाओं को क्वांटम ऑपरेशन औपचारिकता के भीतर कैद नहीं किया जा सकता है; सिद्धांत रूप में, क्वांटम प्रणाली का घनत्व मैट्रिक्स पूरी तरह से मनमाना समय विकास से गुजर सकता है। क्वांटम संचालन को क्वांटम उपकरणों द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जो क्वांटम जानकारी के अलावा, माप के दौरान प्राप्त शास्त्रीय जानकारी को कैप्चर करते हैं।

पृष्ठभूमि

श्रोडिंगर चित्र कुछ मान्यताओं के तहत क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के लिए राज्य के समय के विकास का एक संतोषजनक विवरण प्रदान करता है। इन धारणाओं में शामिल हैं

• प्रणाली गैर-सापेक्षवादी है
• सिस्टम पृथक है.

समय विकास के लिए श्रोडिंगर चित्र में कई गणितीय समकक्ष सूत्र हैं। ऐसा ही एक सूत्रीकरण श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से राज्य के व्युत्पन्न को व्यक्त करता है। इस प्रदर्शनी के लिए एक अधिक उपयुक्त सूत्रीकरण इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

The effect of the passage of t units of time on the state of an isolated system S is given by a unitary operator U_t on the Hilbert space H associated to S.

इसका मतलब यह है कि यदि सिस्टम समय s के तुरंत बाद v ∈ H के अनुरूप स्थिति में है, तो समय की t इकाई के बाद की स्थिति U होगी_t विशेष सापेक्षता प्रणालियों के लिए, कोई सार्वभौमिक समय पैरामीटर नहीं है, लेकिन हम अभी भी क्वांटम यांत्रिक प्रणाली पर कुछ प्रतिवर्ती परिवर्तनों के प्रभाव को तैयार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, संदर्भ के विभिन्न फ़्रेमों में पर्यवेक्षकों से संबंधित राज्य परिवर्तन एकात्मक परिवर्तनों द्वारा दिए जाते हैं। किसी भी स्थिति में, ये राज्य परिवर्तन शुद्ध अवस्थाओं को शुद्ध अवस्थाओं में ले जाते हैं; इसे अक्सर यह कहकर तैयार किया जाता है कि इस आदर्श ढांचे में कोई विसंगति नहीं है।

इंटरैक्टिंग (या खुली) प्रणालियों के लिए, जैसे कि माप से गुजरने वाली प्रणालियों के लिए, स्थिति पूरी तरह से अलग है। आरंभ करने के लिए, ऐसी प्रणालियों द्वारा अनुभव किए गए राज्य परिवर्तनों को विशेष रूप से शुद्ध राज्यों के सेट पर परिवर्तन के कारण नहीं माना जा सकता है (अर्थात, जो एच में मानक 1 के वैक्टर से जुड़े हैं)। इस तरह की बातचीत के बाद, शुद्ध अवस्था φ में एक प्रणाली अब शुद्ध अवस्था φ में नहीं रह सकती है। सामान्य तौर पर यह शुद्ध अवस्थाओं के अनुक्रम के सांख्यिकीय मिश्रण में होगा φ₁, ..., फ़ि_k संबंधित संभावनाओं के साथ λ₁, ..., एल_k. शुद्ध अवस्था से मिश्रित अवस्था में परिवर्तन को विच्छेदन कहा जाता है।

इंटरैक्टिंग सिस्टम के मामले को संभालने के लिए कई गणितीय औपचारिकताएं स्थापित की गई हैं। क्वांटम ऑपरेशन औपचारिकता 1983 के आसपास कार्ल क्रॉस (भौतिक विज्ञानी) के काम से उभरी, जो मैन-डुएन चोई के पहले गणितीय काम पर निर्भर थे। इसका लाभ यह है कि यह माप जैसे संचालन को घनत्व राज्यों से घनत्व राज्यों तक मानचित्रण के रूप में व्यक्त करता है। विशेष रूप से, क्वांटम संचालन का प्रभाव घनत्व राज्यों के सेट के भीतर रहता है।

परिभाषा

याद रखें कि यूनिट ट्रेस के साथ हिल्बर्ट स्थान पर एक घनत्व ऑपरेटर एक गैर-नकारात्मक ऑपरेटर है।

गणितीय रूप से, एक क्वांटम ऑपरेशन हिल्बर्ट स्पेस एच और जी पर ट्रेस क्लास ऑपरेटरों के रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक मानचित्र Φ है जैसे कि

• यदि S एक घनत्व संचालिका है, तो Tr(Φ(S)) ≤ 1.
• Φ पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों पर चोई का प्रमेय है, जो कि किसी भी प्राकृतिक संख्या n और आकार n के किसी भी वर्ग मैट्रिक्स के लिए है जिसकी प्रविष्टियाँ ट्रेस-क्लास ऑपरेटर हैं
  $${\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}$$
  और फिर जो गैर-नकारात्मक है
  $${\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}$$
  यह भी गैर-नकारात्मक है. दूसरे शब्दों में, Φ पूर्णतः सकारात्मक है यदि $\Phi \otimes I_{n}$ सभी n के लिए सकारात्मक है, जहाँ $I_{n}$ C*-बीजगणित पर पहचान मानचित्र को दर्शाता है $n\times n$ matrices.

ध्यान दें कि, पहली शर्त के अनुसार, क्वांटम संचालन सांख्यिकीय संयोजनों की सामान्यीकरण संपत्ति को संरक्षित नहीं कर सकता है। संभाव्य शब्दों में, क्वांटम संचालन उप-मार्कोवियन हो सकते हैं। एक क्वांटम ऑपरेशन के लिए घनत्व मैट्रिक्स के सेट को संरक्षित करने के लिए, हमें अतिरिक्त धारणा की आवश्यकता है कि यह ट्रेस-संरक्षण है।

क्वांटम जानकारी के संदर्भ में, यहां परिभाषित क्वांटम संचालन, यानी पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र जो ट्रेस को नहीं बढ़ाते हैं, उन्हें क्वांटम चैनल या स्टोकेस्टिक मानचित्र भी कहा जाता है। यहां सूत्रीकरण क्वांटम अवस्थाओं के बीच चैनलों तक ही सीमित है; हालाँकि, इसे शास्त्रीय अवस्थाओं को भी शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, जिससे क्वांटम और शास्त्रीय जानकारी को एक साथ संभालने की अनुमति मिलती है।

क्रॉस ऑपरेटर्स

क्राउस' प्रमेय (कार्ल क्रॉस (भौतिक विज्ञानी) के नाम पर) पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र की विशेषता है, जो क्वांटम राज्यों के बीच क्वांटम संचालन को मॉडल करता है। अनौपचारिक रूप से, प्रमेय ऐसे किसी भी क्वांटम ऑपरेशन की कार्रवाई को सुनिश्चित करता है $\Phi$ एक राज्य पर $\rho$ हमेशा के रूप में लिखा जा सकता है ${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$, ऑपरेटरों के कुछ सेट के लिए $\{B_{k}\}_{k}$ संतुष्टि देने वाला ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$, कहाँ $\mathbf {1}$ पहचान ऑपरेटर है.

प्रमेय का कथन

प्रमेय. होने देना ${\mathcal {H}}$ और ${\mathcal {G}}$ आयाम के हिल्बर्ट स्थान बनें $n$ और $m$ क्रमशः, और $\Phi$ के बीच एक क्वांटम ऑपरेशन बनें ${\mathcal {H}}$ और ${\mathcal {G}}$. फिर, मैट्रिक्स हैं

$$\{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}$$

मानचित्रण ${\mathcal {H}}$ को ${\mathcal {G}}$ ऐसा कि, किसी भी राज्य के लिए $\rho$,

$$\Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.$$

इसके विपरीत, कोई भी मानचित्र $\Phi$ इस प्रपत्र का एक क्वांटम ऑपरेशन प्रदान किया गया है ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$.

मैट्रिक्स $\{B_{i}\}$ क्रॉस ऑपरेटर कहलाते हैं। (कभी-कभी उन्हें शोर ऑपरेटरों या त्रुटि ऑपरेटरों के रूप में जाना जाता है, विशेष रूप से क्वांटम सूचना प्रसंस्करण के संदर्भ में, जहां क्वांटम ऑपरेशन पर्यावरण के शोर, त्रुटि-उत्पादक प्रभावों का प्रतिनिधित्व करता है।) स्टाइनस्प्रिंग फैक्टराइजेशन प्रमेय उपरोक्त परिणाम को मनमाने ढंग से अलग करने योग्य हिल्बर्ट तक विस्तारित करता है। रिक्त स्थान एच और जी। वहां, एस को एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $\{B_{i}\}$ बंधे हुए ऑपरेटरों के अनुक्रम द्वारा।

एकात्मक तुल्यता

क्रॉस मैट्रिस क्वांटम ऑपरेशन द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होते हैं $\Phi$ सामान्य रूप में। उदाहरण के लिए, चोई मैट्रिक्स के अलग-अलग चोलेस्की गुणनखंडन क्रॉस ऑपरेटरों के अलग-अलग सेट दे सकते हैं। निम्नलिखित प्रमेय में कहा गया है कि समान क्वांटम ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने वाले क्रॉस मैट्रिसेस की सभी प्रणालियाँ एकात्मक परिवर्तन से संबंधित हैं:

प्रमेय. होने देना $\Phi$ क्रूस मैट्रिसेस के दो प्रतिनिधित्व अनुक्रमों के साथ एक परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्पेस एच पर एक (जरूरी नहीं कि ट्रेस-संरक्षण) क्वांटम ऑपरेशन हो $\{B_{i}\}_{i\leq N}$ और $\{C_{i}\}_{i\leq N}$. फिर एक एकात्मक ऑपरेटर मैट्रिक्स है $(u_{ij})_{ij}$ ऐसा है कि

$$C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.$$

अनंत-आयामी मामले में, यह दो स्टाइनस्प्रिंग फ़ैक्टराइज़ेशन प्रमेय के बीच संबंध को सामान्यीकृत करता है।

यह स्टाइनस्प्रिंग के प्रमेय का परिणाम है कि सभी क्वांटम संचालन को एक उपयुक्त एंसीला (क्वांटम कंप्यूटिंग) को मूल प्रणाली में युग्मित करने के बाद एकात्मक विकास द्वारा कार्यान्वित किया जा सकता है।

टिप्पणियाँ

ये परिणाम पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों पर चोई के प्रमेय से भी प्राप्त किए जा सकते हैं, जो ट्रेस के संबंध में एक अद्वितीय हर्मिटियन-पॉजिटिव घनत्व ऑपरेटर (चोई मैट्रिक्स) द्वारा पूरी तरह से सकारात्मक परिमित-आयामी मानचित्र की विशेषता बताता है। किसी दिए गए क्वांटम चैनल के सभी संभावित क्रॉस अभ्यावेदन के बीच, क्रॉस ऑपरेटरों के ऑर्थोगोनैलिटी संबंध द्वारा प्रतिष्ठित एक विहित रूप मौजूद है, $\operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}$. ऑर्थोगोनल क्रॉस ऑपरेटरों का ऐसा विहित सेट संबंधित चोई मैट्रिक्स को विकर्ण करके और इसके आइजेनवेक्टरों को वर्ग मैट्रिक्स में दोबारा आकार देकर प्राप्त किया जा सकता है।

चोई के प्रमेय का एक अनंत-आयामी बीजगणितीय सामान्यीकरण भी मौजूद है, जिसे पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों के लिए बेलावकिन के रेडॉन-निकोडिम प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जो एक पूर्णतः सकारात्मक मानचित्र के संबंध में एक क्वांटम चैनल के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न के रूप में एक घनत्व ऑपरेटर को परिभाषित करता है (संदर्भ) चैनल)। इसका उपयोग क्वांटम चैनलों के लिए सापेक्ष निष्ठा और पारस्परिक सूचनाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

गतिशीलता

एक गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के लिए, इसके समय के विकास को ऑटोमोर्फिज्म के एक-पैरामीटर समूह द्वारा वर्णित किया गया है {α_t}_t Q. इसे एकात्मक परिवर्तनों तक सीमित किया जा सकता है: कुछ कमजोर तकनीकी स्थितियों के तहत (क्वांटम तर्क और वरदराजन संदर्भ पर लेख देखें), एक दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर समूह है {यू_t}_t अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान के एकात्मक परिवर्तन जैसे कि Q के तत्व E सूत्र के अनुसार विकसित होते हैं

$\alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.$

सिस्टम समय विकास को सांख्यिकीय राज्य स्थान के समय विकास के रूप में भी माना जा सकता है। सांख्यिकीय स्थिति का विकास ऑपरेटरों के एक परिवार द्वारा दिया गया है {β_t}_t ऐसा है कि

$$\operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).$$

स्पष्टतः, t के प्रत्येक मान के लिए, S → U*_t एस यू_t एक क्वांटम ऑपरेशन है. इसके अलावा, यह ऑपरेशन प्रतिवर्ती है।

इसे आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि G, Q की समरूपता का एक जुड़ा हुआ समूह है जो समान कमजोर निरंतरता स्थितियों को संतुष्ट करता है, तो G के किसी भी तत्व g की समूह क्रिया (गणित) एक एकात्मक ऑपरेटर U द्वारा दी जाती है:

$$g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.$$

यह मैपिंग जी → यू_g जी के प्रक्षेप्य निरूपण के रूप में जाना जाता है। मैपिंग एस → यू*_g एस यू_g प्रतिवर्ती क्वांटम ऑपरेशन हैं।

क्वांटम माप

क्वांटम संचालन का उपयोग क्वांटम माप की प्रक्रिया का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। नीचे दी गई प्रस्तुति एक अलग करने योग्य कॉम्प्लेक्स हिल्बर्ट स्पेस एच पर स्व-सहायक अनुमानों के संदर्भ में माप का वर्णन करती है, अर्थात, पीवीएम (प्रक्षेपण-मूल्य माप) के संदर्भ में। सामान्य स्थिति में, POVM की धारणाओं के माध्यम से, गैर-ऑर्थोगोनल ऑपरेटरों का उपयोग करके माप किया जा सकता है। गैर-ऑर्थोगोनल मामला दिलचस्प है, क्योंकि यह क्वांटम उपकरण की समग्र दक्षता में सुधार कर सकता है।

बाइनरी माप

क्वांटम सिस्टम को हाँ-नहीं प्रश्नों की एक श्रृंखला लागू करके मापा जा सकता है। प्रश्नों के इस सेट को क्वांटम तर्क में प्रस्तावों के ऑर्थोपूरक जाली क्यू से चुना हुआ समझा जा सकता है। जाली एक अलग जटिल हिल्बर्ट स्पेस एच पर स्व-सहायक अनुमानों के स्थान के बराबर है।

यह निर्धारित करने के लक्ष्य के साथ कि क्या इसमें कुछ संपत्ति ई है, कुछ राज्य एस में एक प्रणाली पर विचार करें, जहां ई क्वांटम हां-नहीं प्रश्नों की जाली का एक तत्व है। इस संदर्भ में, मापन का अर्थ यह निर्धारित करने के लिए सिस्टम को कुछ प्रक्रिया में प्रस्तुत करना है कि राज्य संपत्ति को संतुष्ट करता है या नहीं। इस चर्चा में सिस्टम स्थिति के संदर्भ में, सिस्टम के सांख्यिकीय समूह पर विचार करके एक परिचालन परिभाषा दी जा सकती है। प्रत्येक माप से कुछ निश्चित मान 0 या 1 प्राप्त होता है; इसके अलावा माप प्रक्रिया को संयोजन में लागू करने से सांख्यिकीय स्थिति में पूर्वानुमानित परिवर्तन होता है। सांख्यिकीय अवस्था का यह परिवर्तन क्वांटम ऑपरेशन द्वारा दिया जाता है

$$S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).$$

यहां E को एक प्रक्षेपण संचालिका के रूप में समझा जा सकता है।

सामान्य मामला

सामान्य स्थिति में, माप दो से अधिक मान लेने वाली वेधशालाओं पर किया जाता है।

जब एक अवलोकन योग्य ए में स्व-सहायक ऑपरेटर#शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम होता है, तो इसे ईजेनवेक्टरों के ऑर्थोनॉर्मल आधार के संदर्भ में लिखा जा सकता है। अर्थात्, A में वर्णक्रमीय अपघटन है

$$A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )$$

जहां ई_A(λ) जोड़ीवार ऑर्थोगोनल ऑर्थोग्राफ़िक अनुमानों का एक परिवार है, प्रत्येक माप मान λ से जुड़े ए के संबंधित आइगेनस्पेस पर है।

अवलोकनीय ए के मापन से ए का आइगेनवैल्यू प्राप्त होता है। सिस्टम के सांख्यिकीय समूह एस पर किए गए बार-बार माप से ए के आइजेनवैल्यू स्पेक्ट्रम पर संभाव्यता वितरण होता है। यह एक असतत संभाव्यता वितरण है, और इसके द्वारा दिया जाता है

$$\operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).$$

सांख्यिकीय स्थिति S का मापन मानचित्र द्वारा दिया गया है

$$S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .$$

अर्थात्, माप के तुरंत बाद, सांख्यिकीय स्थिति अवलोकन योग्य के संभावित मूल्यों λ से जुड़े ईजेनस्पेस पर एक शास्त्रीय वितरण है: एस एक मिश्रित अवस्था (भौतिकी) है।

गैर-पूर्णतः सकारात्मक मानचित्र

शाजी और जॉर्ज सुदर्शन ने फिजिकल रिव्यू लेटर्स पेपर में तर्क दिया कि, बारीकी से जांच करने पर, खुले क्वांटम विकास के अच्छे प्रतिनिधित्व के लिए पूर्ण सकारात्मकता की आवश्यकता नहीं है। उनकी गणना से पता चलता है कि, प्रेक्षित प्रणाली और पर्यावरण के बीच कुछ निश्चित प्रारंभिक सहसंबंधों के साथ शुरू करने पर, सिस्टम तक सीमित मानचित्र आवश्यक रूप से सकारात्मक भी नहीं होता है। हालाँकि, यह केवल उन राज्यों के लिए सकारात्मक नहीं है जो प्रारंभिक सहसंबंधों के रूप के बारे में धारणा को संतुष्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार, वे दिखाते हैं कि क्वांटम विकास की पूरी समझ प्राप्त करने के लिए, गैर-पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्रों पर भी विचार किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

• क्वांटम गतिशील अर्धसमूह
• सुपरऑपरेटर

संदर्भ

• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information (10th ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107002173. OCLC 665137861.
• Choi, Man-Duen (1975). "Completely positive linear maps on complex matrices". Linear Algebra and Its Applications. Elsevier BV. 10 (3): 285–290. doi:10.1016/0024-3795(75)90075-0. ISSN 0024-3795.
• Sudarshan, E. C. G.; Mathews, P. M.; Rau, Jayaseetha (1961-02-01). "Stochastic Dynamics of Quantum-Mechanical Systems". Physical Review. American Physical Society (APS). 121 (3): 920–924. Bibcode:1961PhRv..121..920S. doi:10.1103/physrev.121.920. ISSN 0031-899X.
• Belavkin, V.P.; Staszewski, P. (1986). "A Radon-Nikodym theorem for completely positive maps". Reports on Mathematical Physics. Elsevier BV. 24 (1): 49–55. Bibcode:1986RpMP...24...49B. doi:10.1016/0034-4877(86)90039-x. ISSN 0034-4877.
• K. Kraus, States, Effects and Operations: Fundamental Notions of Quantum Theory, Springer Verlag 1983
• W. F. Stinespring, Positive Functions on C*-algebras, Proceedings of the American Mathematical Society, 211–216, 1955
• V. Varadarajan, The Geometry of Quantum Mechanics vols 1 and 2, Springer-Verlag 1985