सुपरऑपरेटर

भौतिकी में, एक सुपरऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर है जो रैखिक मानचित्र के सदिश स्थल पर कार्य करता है। कभी-कभी यह शब्द विशेष रूप से पूरी तरह से सकारात्मक मानचित्र को संदर्भित करता है जो इसके पैरामीटर के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को संरक्षित करता है या बढ़ाता नहीं है। इस विशेष अर्थ का उपयोग क्वांटम कम्प्यूटिंग , विशेष रूप से क्वांटम प्रोग्रामिंग के क्षेत्र में बड़े पैमाने पर किया जाता है, क्योंकि वे घनत्व मैट्रिक्स के बीच मैपिंग की विशेषता बताते हैं।

यहां सुपर-उपसर्ग का उपयोग किसी भी तरह से गणितीय भौतिकी में इसके अन्य उपयोग से संबंधित नहीं है। कहने का तात्पर्य यह है कि सुपरऑपरेटरों का अतिसममिति और सुपरबीजगणित से कोई संबंध नहीं है, जो ग्रासमैन संख्याओं को शामिल करने के लिए संख्याओं के रिंग (गणित) का विस्तार करके परिभाषित सामान्य गणितीय अवधारणाओं का विस्तार है। चूंकि सुपरऑपरेटर स्वयं ऑपरेटर होते हैं, इसलिए सुपर-उपसर्ग का उपयोग उन्हें उन ऑपरेटरों से अलग करने के लिए किया जाता है जिन पर वे कार्य करते हैं।

बाएँ/दाएँ गुणा

बाएँ और दाएँ गुणन सुपरऑपरेटर को परिभाषित करना ${\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho$ और ${\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A$ क्रमशः कोई कम्यूटेटर को इस प्रकार व्यक्त कर सकता है

$[A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].$ आगे हम मैट्रिक्स का सदिशीकरण (गणित) करेंगे $\rho$ जो मैपिंग है

$\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\to |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,$ कहाँ $|\cdot \rangle \!\rangle$ फॉक-लिउविले अंतरिक्ष में एक वेक्टर को दर्शाता है। का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व ${\mathcal {L}}(A)$ फिर उसी मैपिंग का उपयोग करके गणना की जाती है

$A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\to \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],$ यह दर्शाता है कि ${\mathcal {L}}(A)=A\otimes I$. वैसे ही कोई उसे दिखा सकता है ${\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})$. ये अभ्यावेदन हमें सुपरऑपरेटर्स से जुड़े आइगेनवैल्यू जैसी चीजों की गणना करने की अनुमति देते हैं। ये आइगेनवैल्यू खुले क्वांटम सिस्टम के क्षेत्र में विशेष रूप से उपयोगी हैं, जहां लिंडब्लैड सुपर ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू के वास्तविक हिस्से संकेत देंगे कि क्वांटम सिस्टम आराम करेगा या नहीं।

न्यूमैन समीकरण का उदाहरण

क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण, $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$ राज्य वेक्टर के समय विकास को व्यक्त करता है $\psi$ हैमिल्टनियन की कार्रवाई से ${\hat {H}}$ जो एक ऑपरेटर है जो राज्य वैक्टर को राज्य वैक्टर से मैप करता है।

जॉन वॉन न्यूमैन के अधिक सामान्य सूत्रीकरण में, सांख्यिकीय राज्य और समूह राज्य वैक्टर के बजाय घनत्व ऑपरेटरों द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। इस संदर्भ में घनत्व ऑपरेटर का समय विकास वॉन न्यूमैन समीकरण के माध्यम से व्यक्त किया जाता है जिसमें घनत्व ऑपरेटर पर एक सुपरऑपरेटर द्वारा कार्य किया जाता है ${\mathcal {H}}$ ऑपरेटरों को ऑपरेटरों से मैप करना। इसे हैमिल्टनियन ऑपरेटर के संबंध में कम्यूटेटर लेकर परिभाषित किया गया है:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]$ कहाँ

${\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}$ चूंकि क्यूएम में कम्यूटेटर ब्रैकेट का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, हैमिल्टनियन की कार्रवाई की यह स्पष्ट सुपरऑपरेटर प्रस्तुति आम तौर पर छोड़ दी जाती है।

ऑपरेटरों के स्थान पर कार्यों के उदाहरण व्युत्पन्न

एक ऑपरेटर पर विचार करते समय ऑपरेटरों के फ़ंक्शन को महत्व दिया जाता है ${\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})$ उदाहरण के लिए, जब हम किसी कण के क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन को स्थिति और गति ऑपरेटरों के एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करते हैं, तो हम (किसी भी कारण से) एक "ऑपरेटर व्युत्पन्न" को परिभाषित कर सकते हैं। ${\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}$ एक सुपरऑपरेटर के रूप में एक ऑपरेटर को एक ऑपरेटर से मैप करना।

उदाहरण के लिए, यदि $H(P)=P^{3}=PPP$ तो इसका ऑपरेटर व्युत्पन्न सुपरऑपरेटर द्वारा परिभाषित है:

${\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X$ यह "ऑपरेटर व्युत्पन्न" केवल फ़ंक्शन (ऑपरेटरों के) का जैकोबियन मैट्रिक्स है जहां कोई ऑपरेटर इनपुट और आउटपुट को वैक्टर के रूप में मानता है और कुछ आधार पर ऑपरेटरों के स्थान का विस्तार करता है। जैकोबियन मैट्रिक्स तब एक ऑपरेटर (अमूर्तता के एक उच्च स्तर पर) उस वेक्टर स्पेस (ऑपरेटरों के) पर कार्य करता है।

यह भी देखें

लिंडब्लैडियन#उदाहरण