POVM

क्वांटम यांत्रिकी में कार्यात्मक विश्लेषण और माप में, एक सकारात्मक ऑपरेटर-मूल्यवान माप (पीओवीएम) एक माप (गणित) है जिसका मान मैट्रिक्स की निश्चितता है | हिल्बर्ट स्थान पर सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर। पीओवीएम प्रक्षेपण-मूल्य माप (पीवीएम) का एक सामान्यीकरण है और, तदनुसार, पीओवीएम द्वारा वर्णित क्वांटम माप पीवीएम (जिसे प्रोजेक्टिव माप कहा जाता है) द्वारा वर्णित क्वांटम माप का एक सामान्यीकरण है।

मोटे तौर पर सादृश्य में, एक पीओवीएम एक पीवीएम के लिए वही है जो एक क्वांटम अवस्था#मिश्रित अवस्था एक क्वांटम अवस्था#शुद्ध अवस्था के लिए है। किसी बड़े सिस्टम के उपतंत्र की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए मिश्रित अवस्थाओं की आवश्यकता होती है (क्वांटम अवस्था की शुद्धि देखें); समान रूप से, पीओवीएम एक बड़े सिस्टम पर किए गए प्रोजेक्टिव माप के सबसिस्टम पर प्रभाव का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं।

पीओवीएम क्वांटम यांत्रिकी में सबसे सामान्य प्रकार का माप है, और इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में भी किया जा सकता है। क्वांटम सूचना के क्षेत्र में इनका बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

सरलतम मामले में, एक POVM जिसमें परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, एक POVM एक मैट्रिक्स की निश्चितता का एक सेट है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित हर्मिटियन मैट्रिक्स $\{F_{i}\}$ हिल्बर्ट स्थान पर ${\mathcal {H}}$ पहचान मैट्रिक्स का योग,

$\sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .$

क्वांटम यांत्रिकी में, POVM तत्व $F_{i}$ माप परिणाम से जुड़ा है $i$, जैसे कि कितना राज्य पर माप करते समय इसे प्राप्त करने की संभावना $\rho$ द्वारा दिया गया है

${\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})$,

कहाँ $\operatorname {tr}$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर है। जब मापी जा रही क्वांटम अवस्था एक शुद्ध अवस्था होती है $|\psi \rangle$ यह सूत्र कम हो जाता है

${\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle$.

पीओवीएम का सबसे सरल मामला पीवीएम के सबसे सरल मामले को सामान्यीकृत करता है, जो प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) #ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का एक सेट है $\{\Pi _{i}\}$ पहचान मैट्रिक्स का योग:

$\sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.$

पीवीएम के लिए संभाव्यता सूत्र पीओवीएम के समान ही हैं। एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि POVM के तत्व आवश्यक रूप से ऑर्थोगोनल नहीं होते हैं। परिणामस्वरूप, तत्वों की संख्या $n$ POVM का आकार हिल्बर्ट स्थान के आयाम से बड़ा हो सकता है जिसमें वे कार्य करते हैं। दूसरी ओर, तत्वों की संख्या $N$ पीवीएम का अधिकतम आयाम हिल्बर्ट स्थान का है।

सामान्य तौर पर, पीओवीएम को उन स्थितियों में भी परिभाषित किया जा सकता है जहां तत्वों की संख्या और हिल्बर्ट स्पेस का आयाम सीमित नहीं है:

परिभाषा। होने देना $(X,M)$ मापने योग्य स्थान हो; वह है $M$ के उपसमुच्चय का एक सिग्मा बीजगणित|σ-बीजगणित है $X$. POVM एक फ़ंक्शन है $F$ पर परिभाषित $M$ जिनके मान हिल्बर्ट स्पेस पर गैर-नकारात्मक स्व-सहायक ऑपरेटरों से बंधे हैं ${\mathcal {H}}$ ऐसा है कि $F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}$ और हर किसी के लिए $\psi \in {\mathcal {H}}$,

$E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle \ ({\text{for every }}E\in M)$

σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक गणनीय योगात्मक माप है $M$.

इसकी मुख्य संपत्ति यह है कि यह परिणाम स्थान पर संभाव्यता माप निर्धारित करता है, ताकि $\langle F(E)\psi \mid \psi \rangle$ परिणाम की संभावना (घनत्व) के रूप में व्याख्या की जा सकती है $E$ क्वांटम अवस्था पर माप करते समय $|\psi \rangle$.

इस परिभाषा की तुलना प्रक्षेपण-मूल्य माप से की जानी चाहिए, जो समान है, सिवाय इसके कि प्रक्षेपण-मूल्य माप के लिए, के मान $F$ प्रोजेक्शन ऑपरेटर होना आवश्यक है।

नैमार्क का फैलाव प्रमेय

Main article: Naimark's dilation theorem

नोट: इसकी एक वैकल्पिक वर्तनी न्यूमार्क का प्रमेय है

नैमार्क का फैलाव प्रमेय दिखाता है कि बड़े स्थान पर काम करने वाले पीवीएम से पीओवीएम कैसे प्राप्त किए जा सकते हैं। यह परिणाम क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण महत्व रखता है, क्योंकि यह भौतिक रूप से POVM माप को साकार करने का एक तरीका प्रदान करता है।

सरलतम मामले में, एक POVM जिसमें परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, नैमार्क का प्रमेय कहता है कि यदि $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाला एक POVM है ${\mathcal {H}}_{A}$ आयाम का $d_{A}$, तो वहां एक पीवीएम मौजूद है $\{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}$ हिल्बर्ट स्थान पर अभिनय ${\mathcal {H}}_{A'}$ आयाम का $d_{A'}$ और एक आइसोमेट्री#रैखिक आइसोमेट्री $V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}$ ऐसा कि सभी के लिए $i$,

$F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V.$

ऐसे पीवीएम और आइसोमेट्री के निर्माण का एक तरीका देना है ${\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$, $\Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}$, और

$V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}.$

परिणाम प्राप्त होने की संभावना $i$ इस पीवीएम के साथ, और आइसोमेट्री द्वारा उपयुक्त रूप से रूपांतरित स्थिति, मूल पीओवीएम के साथ इसे प्राप्त करने की संभावना के समान है:

${\begin{aligned}{\text{Prob}}(i)&=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\Pi _{i}\right)\\&=\operatorname {tr} \left(V\rho _{A}V^{\dagger }\left[\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}\right]\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}\left(\sum _{j=1}^{n}{\sqrt {F_{j}}}_{A}^{\dagger }\otimes {\langle j|}_{B}\right)\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}\left(\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {F_{k}}}_{A}\otimes {|k\rangle }_{B}\right)\right)\\&=\operatorname {tr} \left(\rho _{A}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\operatorname {I} _{A}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\right)\\&=\operatorname {tr} (\rho _{A}F_{i})\end{aligned}}$

इस निर्माण को आइसोमेट्री का विस्तार करके पीओवीएम की भौतिक प्राप्ति के लिए एक नुस्खा में बदला जा सकता है $V$ एकात्मक में $U$, अर्थात् खोजना $U$ ऐसा है कि

$V=U(\operatorname {I} _{A}\otimes |0\rangle _{B}).$

यह हमेशा किया जा सकता है. पीओवीएम माप को साकार करने का नुस्खा वर्णित है $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ क्वांटम अवस्था पर $\rho$ इसके बाद राज्य में एक एंसीला तैयार करना है $|0\rangle _{B}$, साथ मिलकर इसे विकसित करें $\rho$ एकात्मक के माध्यम से $U$, और पीवीएम द्वारा वर्णित एंसीला पर प्रक्षेप्य माप करें $\{|i\rangle \langle i|_{B}\}_{i=1}^{n}$.

ध्यान दें कि इस निर्माण में बड़े हिल्बर्ट स्थान का आयाम है ${\mathcal {H}}_{A'}$ द्वारा दिया गया है $d_{A'}=nd_{A}$. यह न्यूनतम संभव नहीं है, जैसा कि अधिक जटिल निर्माण देता है $d_{A'}=n$ रैंक-1 पीओवीएम के लिए।

माप के बाद की स्थिति

माप के बाद की स्थिति स्वयं पीओवीएम द्वारा निर्धारित नहीं की जाती है, बल्कि पीवीएम द्वारा निर्धारित की जाती है जो इसे भौतिक रूप से महसूस करती है। चूंकि अनंत रूप से कई अलग-अलग पीवीएम हैं जो एक ही पीओवीएम का एहसास करते हैं, ऑपरेटर $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ अकेले यह निर्धारित नहीं करते कि माप के बाद की स्थिति क्या होगी। इसे देखने के लिए, किसी भी एकात्मक के लिए इसे नोट करें $W$ संचालक

$M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}$

वह संपत्ति भी होगी $M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}$, ताकि आइसोमेट्री का उपयोग किया जा सके

$V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}$

उपरोक्त निर्माण में भी वही POVM लागू किया जाएगा। ऐसे मामले में जहां मापी जा रही अवस्था शुद्ध अवस्था में है $|\psi \rangle _{A}$, परिणामी एकात्मक $U_{W}$ इसे बताने के लिए एंसीला के साथ मिलकर लेता है

$U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},$

और एंसीला पर प्रक्षेप्य माप ध्वस्त हो जाएगा $|\psi \rangle _{A}$ राज्य को

$|\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}$

परिणाम प्राप्त करने पर $i_{0}$. जब मापी जा रही अवस्था का वर्णन घनत्व मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है $\rho _{A}$, संबंधित माप-पश्चात स्थिति द्वारा दी गई है

$\rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}$.

इसलिए हम देखते हैं कि माप के बाद की स्थिति स्पष्ट रूप से एकात्मक पर निर्भर करती है $W$. ध्यान दें कि जब तक $M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}$ आम तौर पर हमेशा हर्मिटियन होता है, $M_{i}$ हर्मिटियन होना जरूरी नहीं है।

प्रक्षेप्य मापों से एक और अंतर यह है कि POVM माप सामान्यतः दोहराने योग्य नहीं होता है। यदि पहले माप परिणाम पर $i_{0}$ प्राप्त किया गया था, एक अलग परिणाम प्राप्त करने की संभावना $i_{1}$ दूसरे माप पर है

${\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}$,

जो शून्येतर हो सकता है यदि $M_{i_{0}}$ और $M_{i_{1}}$ ऑर्थोगोनल नहीं हैं. प्रक्षेप्य माप में ये ऑपरेटर हमेशा ऑर्थोगोनल होते हैं और इसलिए माप हमेशा दोहराए जाने योग्य होता है।

एक उदाहरण: असंदिग्ध क्वांटम राज्य भेदभाव

राज्यों पर स्पष्ट क्वांटम राज्य भेदभाव के लिए राज्यों का बलोच क्षेत्र प्रतिनिधित्व (नीले रंग में) और इष्टतम पीओवीएम (लाल रंग में) $|\psi \rangle =|0\rangle$ और $|\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}$. ध्यान दें कि बलोच क्षेत्र पर ऑर्थोगोनल अवस्थाएँ प्रतिसमानांतर हैं।

मान लीजिए कि आपके पास 2-आयामी हिल्बर्ट स्पेस वाला एक क्वांटम सिस्टम है जिसके बारे में आप जानते हैं कि यह किसी भी स्थिति में है $|\psi \rangle$ या राज्य $|\varphi \rangle$, और आप यह निर्धारित करना चाहते हैं कि यह कौन सा है। अगर $|\psi \rangle$ और $|\varphi \rangle$ ऑर्थोगोनल हैं, यह कार्य आसान है: सेट $\{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}$ एक पीवीएम बनाएगा, और इस आधार पर एक प्रक्षेप्य माप निश्चितता के साथ राज्य का निर्धारण करेगा। जो कुछ भी हो, $|\psi \rangle$ और $|\varphi \rangle$ ऑर्थोगोनल नहीं हैं, यह कार्य असंभव है, इस अर्थ में कि कोई माप नहीं है, या तो पीवीएम या पीओवीएम, जो उन्हें निश्चित रूप से अलग कर देगा। गैर-ऑर्थोगोनल राज्यों के बीच पूरी तरह से भेदभाव करने की असंभवता क्वांटम सूचना प्रोटोकॉल जैसे क्वांटम क्रिप्टोग्राफी, क्वांटम सिक्का उछालना और क्वांटम पैसा का आधार है।

असंदिग्ध क्वांटम राज्य भेदभाव (यूक्यूएसडी) का कार्य अगली सबसे अच्छी बात है: इस बारे में कभी गलती न करें कि राज्य है या नहीं $|\psi \rangle$ या $|\varphi \rangle$, कभी-कभी अनिर्णायक परिणाम की कीमत पर। प्रक्षेप्य मापों से ऐसा करना संभव है।उदाहरण के लिए, यदि आप पीवीएम मापते हैं $\{|\psi \rangle \langle \psi |,|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|\}$, कहाँ $|\psi ^{\perp }\rangle$ क्वांटम अवस्था ओर्थोगोनल है $|\psi \rangle$, और परिणाम प्राप्त करें $|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|$, तो आप निश्चित रूप से जानते हैं कि राज्य था $|\varphi \rangle$. यदि परिणाम था $|\psi \rangle \langle \psi |$, तो यह अनिर्णायक है। पीवीएम के लिए भी यही तर्क लागू है $\{|\varphi \rangle \langle \varphi |,|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|\}$, कहाँ $|\varphi ^{\perp }\rangle$ राज्य ओर्थोगोनल है $|\varphi \rangle$.

हालाँकि, यह असंतोषजनक है, क्योंकि आप दोनों का पता नहीं लगा सकते $|\psi \rangle$ और $|\varphi \rangle$ एकल माप के साथ, और निर्णायक परिणाम प्राप्त करने की संभावना पीओवीएम की तुलना में कम है। POVM जो इस कार्य में निर्णायक परिणाम की उच्चतम संभावना देता है, द्वारा दिया गया है

$F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|$

$F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|$

$F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi }.$

ध्यान दें कि $\operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0$, तो जब परिणाम $\psi$ प्राप्त होने पर हम निश्चित हैं कि क्वांटम अवस्था है $|\psi \rangle$, और जब परिणाम $\varphi$ प्राप्त होने पर हम निश्चित हैं कि क्वांटम अवस्था है $|\varphi \rangle$.

निर्णायक परिणाम होने की संभावना इसके द्वारा दी गई है

$1-|\langle \varphi |\psi \rangle |,$

जब क्वांटम प्रणाली स्थिति में होती है $|\psi \rangle$ या $|\varphi \rangle$ उसी संभावना के साथ. इस परिणाम को इवानोविच-डाइक्स-पेरेज़ सीमा के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम उन लेखकों के नाम पर रखा गया है जिन्होंने यूक्यूएसडी अनुसंधान का नेतृत्व किया था। उपरोक्त निर्माण का उपयोग करके हम एक प्रक्षेपी माप प्राप्त कर सकते हैं जो भौतिक रूप से इस POVM को साकार करता है। POVM तत्वों के वर्गमूल दिए गए हैं

${\sqrt {F_{\psi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|$

${\sqrt {F_{\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|$

${\sqrt {F_{?}}}={\sqrt {\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,$

कहाँ

$|\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).$

एंसीला की तीन संभावित अवस्थाओं को इस प्रकार लेबल करना $|{\text{result ?}}\rangle$, $|{\text{result ψ}}\rangle$, $|{\text{result φ}}\rangle$, और इसे राज्य पर प्रारंभ करना $|{\text{result ?}}\rangle$, हम देखते हैं कि परिणाम एकात्मक है $U_{\text{UQSD}}$ राज्य लेता है $|\psi \rangle$ एंसीला के साथ मिलकर

$U_{\text{UQSD}}(|\psi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle |{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle ,$

और इसी प्रकार यह राज्य को लेता है $|\varphi \rangle$ एंसीला के साथ मिलकर

$U_{\text{UQSD}}(|\varphi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle |{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle .$

एंसीला पर एक माप पीओवीएम के समान संभावनाओं के साथ वांछित परिणाम देता है।

इस पीओवीएम का उपयोग फोटॉन के गैर-ऑर्थोगोनल ध्रुवीकरण राज्यों को प्रयोगात्मक रूप से अलग करने के लिए किया गया है, जिसमें स्वतंत्रता की पथ डिग्री को एंसीला के रूप में उपयोग किया जाता है। प्रक्षेप्य माप के साथ पीओवीएम का एहसास यहां वर्णित से थोड़ा अलग था।

यह भी देखें

• एसआईसी-POVM
• क्वांटम माप
• क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण
• घनत्व मैट्रिक्स
• क्वांटम ऑपरेशन
• प्रक्षेपण-मूल्य माप
• वेक्टर माप

संदर्भ

• POVMs
  • K. Kraus, States, Effects, and Operations, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  • E.B.Davies, Quantum Theory of Open Systems, Academic Press (1976).
  • A.S. Holevo, Probabilistic and statistical aspects of quantum theory, North-Holland Publ. Cy., Amsterdam (1982).

बाहरी संबंध

• Interactive demonstration about quantum state discrimination