कार्यात्मक समीकरण

Not to be confused with Functional model.

गणित में, एक कार्यात्मक समीकरण , व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या कई फ़ंक्शन अज्ञात (गणित) के रूप में दिखाई देते हैं। अतः, अवकल समीकरण और अभिन्न समीकरण कार्यात्मक समीकरण हैं। हालाँकि, अधिक प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग अक्सर किया जाता है, जहाँ एक कार्यात्मक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फ़ंक्शन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फ़ंक्शन लघुगणक हैं#लघुगणक कार्यात्मक समीकरण द्वारा उत्पाद सूत्र द्वारा लक्षण वर्णन $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$ यदि अज्ञात फ़ंक्शन के किसी फ़ंक्शन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फ़ंक्शन को आम तौर पर अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है, और, इस मामले में, एक कार्यात्मक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है . इस प्रकार कार्यात्मक समीकरण शब्द का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक कार्यों और जटिल कार्यों के लिए किया जाता है। इसके अलावा समाधानों के लिए अक्सर एक सुचारू कार्य मान लिया जाता है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना, अधिकांश कार्यात्मक समीकरणों में बहुत अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है जो कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $f(x+1)=xf(x)$ और प्रारंभिक मूल्य $f(1)=1.$ ऐसे कई फ़ंक्शन हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं, लेकिन गामा फ़ंक्शन अद्वितीय है जो पूरे जटिल विमान में मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है, और लघुगणकीय रूप से उत्तल फ़ंक्शन है x वास्तविक और सकारात्मक (बोह्र-मोलेरुप प्रमेय)।

उदाहरण

• पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के कार्यों में कार्यात्मक समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें पदों के सूचकांकों के बीच अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध, $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$, कहाँ $F_{0}=0$ और $F_{1}=1$
• $f(x+P)=f(x)$, जो आवधिक कार्यों की विशेषता बताता है

• $f(x)=f(-x)$, जो सम कार्यों की विशेषता बताता है, और इसी तरह $f(x)=-f(-x)$, जो विषम कार्यों की विशेषता बताता है

• $f(f(x))=g(x)$, जो फ़ंक्शन g के कार्यात्मक वर्गमूल की विशेषता बताता है

• $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (कौची का कार्यात्मक समीकरण), रैखिक मानचित्रों से संतुष्ट। पसंद के सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य पैथोलॉजिकल नॉनलाइनियर समाधान भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हैमेल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
• $f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ सभी घातीय कार्यों से संतुष्ट। कॉची के योगात्मक कार्यात्मक समीकरण की तरह, इसमें भी पैथोलॉजिकल, असंतत समाधान हो सकते हैं
• $f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$, सभी लघुगणकीय कार्यों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक कार्यों से संतुष्ट
• $f(xy)=f(x)f(y)\,\!$, सभी ऊर्जा समीकरण से संतुष्ट और, सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों से अधिक, गुणक फ़ंक्शंस
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)
• $f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (जेन्सेन का कार्यात्मक समीकरण)
• $g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!$ (डी'अलेम्बर्ट का कार्यात्मक समीकरण)
• $f(h(x))=h(x+1)\,\!$ (हाबिल समीकरण)
• $f(h(x))=cf(x)\,\!$ (श्रोडर का समीकरण)।
• $f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!$ (बॉटचर का समीकरण)।
• $f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!$ (श्रोडर का समीकरण#कार्यात्मक महत्व|जूलिया का समीकरण)।
• $f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!$ (लेवी-सिविटा),
• $f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!$ (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#कोण योग और अंतर सर्वसमिकाएं और अतिपरवलयिक फलन),
• $g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!$ (त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#कोण योग और अंतर सर्वसमिकाएँ),
• $g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!$ (अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य)।
• क्रमविनिमेय नियम और साहचर्य नियम कार्यात्मक समीकरण हैं। अपने परिचित रूप में, साहचर्य नियम को इन्फिक्स संकेतन में बाइनरी ऑपरेशन लिखकर व्यक्त किया जाता है,
  $$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,$$
  लेकिन अगर हम इसके स्थान पर f(a, b) लिखते हैं a ○ b तो साहचर्य कानून एक पारंपरिक कार्यात्मक समीकरण की तरह दिखता है,
  $$f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!$$
• कार्यात्मक समीकरण
  $$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$$
  रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन से संतुष्ट है, जैसा कि Riemann_zeta_function#Riemann's_functional_eqation सिद्ध हुआ है। राजधानी Γ गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है।

• गामा फ़ंक्शन तीन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का अद्वितीय समाधान है:
  • $f(x)={f(x+1) \over x}$
  • $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$
  • $f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}$          (लियोनहार्ड यूलर|यूलर का प्रतिबिंब सूत्र)
• कार्यात्मक समीकरण
  $$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$$
  कहाँ a, b, c, d पूर्णांक संतोषजनक हैं $ad-bc=1$, अर्थात। ${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}$ = 1, परिभाषित करता है f आदेश का एक मॉड्यूलर रूप होना k.

एक विशेषता यह है कि ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरण सामान्य बात यह है कि, प्रत्येक मामले में, दो या दो से अधिक ज्ञात फ़ंक्शन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चर का जोड़, कभी-कभी पहचान फ़ंक्शन) अज्ञात कार्यों के तर्क के अंदर होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।

जब सभी समाधान मांगने की बात आती है, तो ऐसा हो सकता है कि गणितीय विश्लेषण की शर्तों को लागू किया जाना चाहिए; उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित कॉची समीकरण के मामले में, जो समाधान निरंतर कार्य हैं वे 'उचित' हैं, जबकि अन्य समाधान जिनका व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है, उनका निर्माण किया जा सकता है (वास्तविक संख्याओं के लिए हैमेल आधार का उपयोग करके) परिमेय संख्याओं पर सदिश समष्टि के रूप में)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।

आक्षेप

इनवोल्यूशन (गणित) को कार्यात्मक समीकरण द्वारा चित्रित किया जाता है $f(f(x))=x$. ये चार्ल्स बैबेज|बैबेज के कार्यात्मक समीकरण (1820) में दिखाई देते हैं,

$f(f(x))=1-(1-x)=x\,.$

समीकरण के अन्य परिवर्तन और समाधान शामिल हैं

• $f(x)=a-x\,,$
• $f(x)={\frac {a}{x}}\,,$ और
• $f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,$

जिसमें पिछले तीन को विशेष मामलों या सीमाओं के रूप में शामिल किया गया है।

समाधान

प्राथमिक कार्यात्मक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।

कार्यात्मक समीकरणों के कुछ समाधानों ने विशेषण, विशेषण फलन, विषम फलन और सम फलन का उपयोग किया है।

कुछ कार्यात्मक समीकरणों को गणितीय प्रेरण, एन्सैटेज़ के उपयोग से हल किया गया है।

कार्यात्मक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है। गतिशील प्रोग्रामिंग में विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियाँ बेलमैन समीकरण को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है|बेलमैन के कार्यात्मक समीकरण, जिसमें निश्चित बिंदु पुनरावृत्तियों पर आधारित विधियां शामिल हैं।

यह भी देखें

• कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)
• बेलमैन समीकरण
• गतिशील प्रोग्रामिंग
• अंतर्निहित कार्य
• कार्यात्मक अंतर समीकरण

संदर्भ

• János Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232.
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables, Cambridge University Press, 1989.
• C. Efthimiou, Introduction to Functional Equations, AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; online.
• Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer, 2009.
• Marek Kuczma, Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, second edition, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Functional Equations on Groups, first edition, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 April 2007). Functional Equations and How to Solve Them. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

बाहरी संबंध

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text (archived) on functional equations in problem solving.