"अतिपरवलिक बहुविध"

गणित में, टोपोलॉजी और विभेदक ज्यामिति में अधिक सटीक रूप से, एक हाइपरबोलिक [[3-कई गुना]] एक अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक से सुसज्जित आयाम 3 का मैनिफोल्ड है, जो कि एक रीमैनियन मीट्रिक है जिसके सभी अनुभागीय वक्रताएं -1 के बराबर हैं। आम तौर पर यह आवश्यक है कि यह मीट्रिक पूर्ण स्थान भी हो: इस मामले में मैनिफोल्ड को आइसोमेट्रीज़ (एक क्लेनियन समूह) के एक अलग समूह द्वारा 3-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के भागफल के रूप में महसूस किया जा सकता है।

परिमित आयतन के अतिपरवलयिक 3-मैनिफोल्ड का 3-मैनिफोल्ड|3-आयामी टोपोलॉजी में एक विशेष महत्व है, जैसा कि पेरेलमैन द्वारा सिद्ध थर्स्टन के ज्यामितिकरण अनुमान से मिलता है। ज्यामितीय समूह सिद्धांत में क्लेनियन समूहों का अध्ययन भी एक महत्वपूर्ण विषय है।

टोपोलॉजी में महत्व

हाइपरबोलिक ज्यामिति आयाम 3 में आठ ज्यामितियों में सबसे समृद्ध और सबसे कम समझी जाने वाली है (उदाहरण के लिए, अन्य सभी ज्यामितियों के लिए इस ज्यामिति के साथ परिमित-आयतन मैनिफोल्ड्स की स्पष्ट गणना देना कठिन नहीं है, जबकि यह होने से बहुत दूर है) अतिशयोक्तिपूर्ण अनेक गुना ्स के लिए मामला)। जियोमेट्रिसेशन अनुमान के प्रमाण के बाद, हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के टोपोलॉजिकल गुणों को समझना 3-आयामी टोपोलॉजी का एक प्रमुख लक्ष्य है। काह्न-मार्कोविक, वाइज़, एगोल और अन्य की हालिया सफलताओं ने इस विषय पर लंबे समय से चले आ रहे अधिकांश खुले प्रश्नों के उत्तर दे दिए हैं, लेकिन अभी भी कई कम प्रमुख प्रश्न हैं जिन्हें हल नहीं किया जा सका है।

आयाम 2 में लगभग सभी बंद सतहें अतिशयोक्तिपूर्ण हैं (गोले, प्रक्षेप्य तल, टोरस और क्लेन बोतल को छोड़कर सभी)। आयाम 3 में यह सत्य से बहुत दूर है: अनंत रूप से कई गैर-अतिशयोक्तिपूर्ण बंद मैनिफोल्ड्स का निर्माण करने के कई तरीके हैं। दूसरी ओर, अनुमानी कथन कि एक सामान्य 3-मैनिफोल्ड अतिशयोक्तिपूर्ण होता है, कई संदर्भों में सत्यापित है। उदाहरण के लिए, कोई भी गाँठ जो उपग्रह गाँठ या टोरस गाँठ नहीं है, अतिशयोक्तिपूर्ण है। इसके अलावा, हाइपरबोलिक गाँठ पर लगभग सभी डेन सर्जरी से हाइपरबोलिक मैनिफ़ोल्ड प्राप्त होता है। एक समान परिणाम लिंक (थर्स्टन की अतिपरवलयिक देहन सर्जरी प्रमेय) के लिए सच है, और चूंकि सभी 3-मैनिफोल्ड्स 3-क्षेत्र में एक लिंक पर सर्जरी के रूप में प्राप्त किए जाते हैं, यह अनौपचारिक कथन को अधिक सटीक अर्थ देता है। एक और अर्थ जिसमें आयाम 3 में लगभग सभी मैनिफोल्ड अतिपरवलयिक हैं, वह है यादृच्छिक मॉडल। उदाहरण के लिए, कम से कम 2 जीनस के यादृच्छिक हीगार्ड विभाजन लगभग निश्चित रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण होते हैं (जब ग्लूइंग मानचित्र की जटिलता अनंत तक जाती है)।

इसकी टोपोलॉजी के लिए 3-मैनिफोल्ड की हाइपरबोलिक ज्यामिति की प्रासंगिकता भी मोस्टो कठोरता प्रमेय से आती है, जिसमें कहा गया है कि परिमित मात्रा के हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड की हाइपरबोलिक संरचना विशिष्ट रूप से इसके होमोटॉपी प्रकार द्वारा निर्धारित की जाती है। विशेष रूप से ज्यामितीय अपरिवर्तनीय जैसे अतिशयोक्तिपूर्ण मात्रा का उपयोग नए टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

संरचना

परिमित आयतन का अनेक गुना

इस मामले में मैनिफोल्ड की ज्यामिति को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण मोटा-पतला अपघटन है। इसमें कहा गया है कि परिमित आयतन के एक अतिशयोक्तिपूर्ण 3-गुना में दो भागों में विघटित होता है:

• मोटा हिस्सा, जहां इंजेक्टिविटी त्रिज्या पूर्ण स्थिरांक से बड़ी है;
• और इसका पूरक, पतला हिस्सा, जो ठोस टोरी और कस्प पड़ोस का एक असंयुक्त संघ है।

ज्यामितीय रूप से परिमित अनेक गुना

मोटा-पतला अपघटन सभी हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड के लिए मान्य है, हालांकि सामान्य तौर पर पतला हिस्सा ऊपर वर्णित जैसा नहीं है। एक हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड को ज्यामितीय रूप से परिमित कहा जाता है यदि इसमें एक उत्तल सबमैनिफोल्ड (इसका उत्तल कोर) होता है जिस पर यह पीछे हटता है, और जिसका मोटा हिस्सा कॉम्पैक्ट होता है (ध्यान दें कि सभी मैनिफोल्ड में उत्तल कोर होता है, लेकिन सामान्य तौर पर यह कॉम्पैक्ट नहीं होता है) ). सबसे सरल मामला तब होता है जब मैनिफोल्ड में क्यूप्स नहीं होते हैं (यानी मौलिक समूह में परवलयिक तत्व नहीं होते हैं), उस स्थिति में मैनिफोल्ड ज्यामितीय रूप से परिमित होता है यदि और केवल यदि यह हाइपरबोलिक स्पेस के एक बंद, उत्तल उपसमुच्चय का भागफल है इस उपसमुच्चय पर सह-संक्षिप्त रूप से कार्य करने वाला एक समूह।

परिमित रूप से उत्पन्न मौलिक समूह के साथ कई गुना

यह हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स का बड़ा वर्ग है जिसके लिए एक संतोषजनक संरचना सिद्धांत है। यह दो प्रमेयों पर आधारित है:

• टैमनेस प्रमेय जो बताता है कि इस तरह का मैनिफोल्ड सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के इंटीरियर के लिए होमियोमॉर्फिक है;
• अंतिम लेमिनेशन प्रमेय जो एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड के आंतरिक भाग पर उसके अंत अपरिवर्तनीयों द्वारा हाइपरबोलिक संरचना का वर्गीकरण प्रदान करता है।

परिमित आयतन के अतिपरवलयिक 3-गुणकों का निर्माण

अतिशयोक्तिपूर्ण पॉलीहेड्रा, प्रतिबिंब समूह

हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स का सबसे पुराना निर्माण, जो कम से कम पोंकारे के समय का है, इस प्रकार है: 3-आयामी हाइपरबोलिक परिमित बहुवचन ्स के एक सीमित संग्रह से शुरू करें। मान लीजिए कि इन पॉलीहेड्रा के 2-आयामी चेहरों के बीच एक साइड-पेयरिंग है (यानी प्रत्येक ऐसे चेहरे को दूसरे, अलग, एक के साथ जोड़ा जाता है ताकि वे 2-आयामी हाइपरबोलिक बहुभुज के रूप में एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हों), और स्थान पर विचार करें युग्मित चेहरों को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है (औपचारिक रूप से इसे भागफल स्थान (टोपोलॉजी) के रूप में प्राप्त किया जाता है)। इसमें एक अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक है जो पॉलीहेड्रा के 1-कंकालों की छवि के बाहर अच्छी तरह से परिभाषित है। यदि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं तो यह मीट्रिक संपूर्ण स्थान पर एक अतिपरवलयिक मीट्रिक तक विस्तारित हो जाती है:

• ग्लूइंग में प्रत्येक (गैर-आदर्श) शीर्ष के लिए पॉलीहेड्रा के ठोस कोणों का योग, जिससे वह संबंधित है, के बराबर है $4\pi$;
• ग्लूइंग में प्रत्येक किनारे के लिए पॉलीहेड्रा के डायहेड्रल कोणों का योग, जिससे वह संबंधित है, के बराबर है $2\pi$.

इस निर्माण का एक उल्लेखनीय उदाहरण सीफर्ट-वेबर स्पेस है जो एक नियमित द्वादशफ़लक के विपरीत चेहरों को चिपकाकर प्राप्त किया जाता है।

इस निर्माण में एक बदलाव हाइपरबोलिक कॉक्सेटर पॉलीटोप्स (पॉलीटोप्स जिनके डायहेड्रल कोण के रूप में होते हैं) का उपयोग करके किया जाता है $\pi /m,m\in \mathbb {N}$). ऐसा पॉलीटोप क्लेनियन प्रतिबिंब समूह को जन्म देता है, जो हाइपरबोलिक स्पेस के आइसोमेट्री का एक अलग उपसमूह है। एक मरोड़-मुक्त परिमित-सूचकांक उपसमूह लेने से एक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड प्राप्त होता है (जिसे पिछले निर्माण द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, एक उपयुक्त श्रेयर कोसेट ग्राफ़ द्वारा निर्धारित तरीके से मूल कॉक्सेटर पॉलीटोप की प्रतियों को चिपकाकर)।

ग्लूइंग आदर्श टेट्राहेड्रा और हाइपरबोलिक डेन सर्जरी

Main article: Hyperbolic Dehn surgery

पिछले निर्माण में प्राप्त मैनिफ़ोल्ड हमेशा कॉम्पैक्ट होते हैं। क्यूप्स के साथ मैनिफोल्ड्स प्राप्त करने के लिए किसी को पॉलीटोप्स का उपयोग करना पड़ता है जिसमें आदर्श शीर्ष होता है (यानी कोने जो अनंत पर गोले पर स्थित होते हैं)। इस सेटिंग में ग्लूइंग निर्माण हमेशा पूर्ण विविधता प्रदान नहीं करता है। पूर्णता का पता एक आदर्श शीर्ष से सटे किनारों के चारों ओर डायहेड्रल कोणों को शामिल करने वाले समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा लगाया जाता है, जिन्हें आमतौर पर थर्स्टन के ग्लूइंग समीकरण कहा जाता है। यदि ग्लूइंग पूरी हो जाती है तो आदर्श शीर्ष मैनिफोल्ड में कस्प पड़ोस बन जाते हैं। इस तरह से प्राप्त एक गैर-कॉम्पैक्ट, परिमित मात्रा वाले हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड का एक उदाहरण गिसेकिंग मैनिफ़ोल्ड है जो एक नियमित आदर्श हाइपरबोलिक चतुर्पाश्वीय के चेहरों को एक साथ जोड़कर बनाया गया है।

जब ग्लूइंग पूरी नहीं होती है तो एक परिमित-मात्रा, पूर्ण हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड का निर्माण करना भी संभव है। इस मामले में प्राप्त मीट्रिक स्थान की पूर्णता टोरस सीमा के साथ कई गुना है और कुछ (सामान्य नहीं) स्थितियों के तहत प्रत्येक सीमा घटक पर हाइपरबोलिक ठोस टोरस को गोंद करना संभव है ताकि परिणामी स्थान में पूर्ण हाइपरबोलिक मीट्रिक हो। टोपोलॉजिकली, मैनिफोल्ड को पूर्ण हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड पर हाइपरबोलिक डेन सर्जरी द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो पूर्ण ग्लूइंग के परिणामस्वरूप होता है।

यह ज्ञात नहीं है कि परिमित आयतन के सभी अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड्स का निर्माण इस तरह से किया जा सकता है या नहीं। हालाँकि व्यवहार में कम्प्यूटेशनल सॉफ़्टवेयर (जैसे कि SnapPea या रेजिना (कार्यक्रम) ) हाइपरबोलिक मैनिफ़ोल्ड को संग्रहीत करता है।

अंकगणितीय निर्माण

Main article: Arithmetic hyperbolic 3-manifold

चतुर्धातुक बीजगणित से अंकगणितीय क्लेनियन समूहों का निर्माण विशेष रूप से दिलचस्प अतिपरवलयिक विविधताओं को जन्म देता है। दूसरी ओर, वे कुछ अर्थों में हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड के बीच दुर्लभ हैं (उदाहरण के लिए एक निश्चित मैनिफोल्ड पर हाइपरबोलिक डेन सर्जरी के परिणामस्वरूप लगभग सभी मापदंडों के लिए गैर-अंकगणितीय मैनिफोल्ड होता है)।

अतिशयोक्ति प्रमेय

उपरोक्त स्पष्ट निर्माणों के विपरीत, विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल जानकारी से 3-गुना पर एक पूर्ण हाइपरबोलिक संरचना के अस्तित्व का अनुमान लगाना संभव है। यह जियोमेट्रिसेशन अनुमान का परिणाम है और इसे इस प्रकार कहा जा सकता है (एक बयान जिसे कभी-कभी हाइपरबोलाइजेशन प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिसे थर्स्टन ने हेकेन मैनिफोल्ड्स के विशेष मामले में सिद्ध किया था):

If a compact 3-manifold with toric boundary is irreducible and algebraically atoroidal (meaning that every $\pi _{1}$-injectively immersed torus is homotopic to a boundary component) then its interior carries a complete hyperbolic metric of finite volume.

एक विशेष मामला वृत्त के ऊपर एक सतह बंडल का है: ऐसे मैनिफ़ोल्ड हमेशा अपरिवर्तनीय होते हैं, और वे एक पूर्ण हाइपरबोलिक मीट्रिक ले जाते हैं यदि और केवल यदि मोनोड्रोमी एक छद्म-एनोसोव मानचित्र है।

जियोमेट्रिसेशन अनुमान का एक और परिणाम यह है कि कोई भी बंद 3-मैनिफोल्ड जो नकारात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ एक रीमैनियन मीट्रिक को स्वीकार करता है, वास्तव में निरंतर अनुभागीय वक्रता -1 के साथ एक रीमैनियन मीट्रिक को स्वीकार करता है। उच्च आयामों में यह सत्य नहीं है।

आभासी गुण

3-मैनिफोल्ड्स के टोपोलॉजिकल गुण इतने जटिल हैं कि कई मामलों में यह जानना दिलचस्प है कि एक संपत्ति वस्तुतः मैनिफोल्ड्स के एक वर्ग के लिए होती है, अर्थात वर्ग में किसी भी मैनिफोल्ड के लिए संपत्ति के साथ मैनिफोल्ड का एक सीमित कवरिंग स्थान मौजूद होता है। . हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड्स के आभासी गुण वाल्डहाउज़ेन और थर्स्टन द्वारा अनुमानों की एक श्रृंखला की वस्तुएं हैं, जिन्हें हाल ही में जेरेमी काह्न, व्लाद मार्कोविक, फ्रेडरिक हैग्लंड, दानी वाइज और अन्य के काम के बाद इयान एगोल द्वारा सिद्ध किया गया था। अनुमानों का पहला भाग तार्किक रूप से वस्तुतः हेकेन अनुमान से संबंधित था। शक्ति के क्रम में वे हैं:

1. (सतह उपसमूह अनुमान) परिमित आयतन के किसी भी हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड के मूल समूह में एक (गैर-मुक्त) सतह समूह (एक बंद सतह का मूल समूह) होता है।
2. (वस्तुतः हेकेन अनुमान) परिमित आयतन का कोई भी अतिपरवलयिक 3-गुना वस्तुतः हेकेन है; यानी, इसमें एक एम्बेडेड बंद सतह होती है जैसे कि एम्बेडिंग मौलिक समूहों के बीच एक इंजेक्शन मानचित्र उत्पन्न करती है।
3. परिमित आयतन के किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण 3-गुना में एक गैर-शून्य प्रथम बेट्टी संख्या के साथ एक परिमित आवरण होता है।
4. परिमित आयतन के किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण 3-गुना में एक परिमित आवरण होता है जिसका मौलिक समूह एक गैर-एबेलियन मुक्त समूह पर निर्भर करता है (ऐसे समूहों को आमतौर पर बड़े कहा जाता है)।

एक अन्य अनुमान (एगोल द्वारा भी सिद्ध) जो उपरोक्त 1-3 को दर्शाता है लेकिन एक प्राथमिकता का 4 से कोई संबंध नहीं है, निम्नलिखित है:

5. (वस्तुतः रेशेदार अनुमान) परिमित आयतन के किसी भी अतिशयोक्तिपूर्ण 3-गुना में एक परिमित आवरण होता है जो वृत्त के ऊपर एक सतह बंडल होता है।

सभी अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड का स्थान

ज्यामितीय अभिसरण

क्लेनियन समूहों के अनुक्रम को ज्यामितीय रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि यह चाबाउटी टोपोलॉजी में अभिसरण करता है। भागफल के रूप में प्राप्त मैनिफोल्ड्स के लिए यह इंगित ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ़ मीट्रिक में अभिसरण होने के बराबर है।

जोर्गेंसन-थर्स्टन सिद्धांत

हाइपरबोलिक वॉल्यूम का उपयोग सभी हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड के स्थान को ऑर्डर करने के लिए किया जा सकता है। किसी दिए गए वॉल्यूम के अनुरूप मैनिफोल्ड्स का सेट अधिकतम परिमित होता है, और वॉल्यूम्स का सेट सुव्यवस्थित और ऑर्डर प्रकार का होता है $\omega ^{\omega }$. अधिक सटीक रूप से, थर्स्टन की हाइपरबोलिक डेन सर्जरी प्रमेय का तात्पर्य है कि कई गुना $m$ क्यूस्प्स मैनिफोल्ड्स के अनुक्रम की एक सीमा है $l$ किसी के लिए cusps $0\leq l<m$, ताकि अलग-अलग बिंदु कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स की मात्राएं हों, बिल्कुल एक पुच्छल वाले मैनिफोल्ड्स कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स की सीमाएं हों, और इसी तरह। जोर्जेंसन के परिणामों के साथ-साथ प्रमेय यह भी साबित करता है कि किसी भी अभिसरण अनुक्रम को डेन सर्जरी द्वारा लिमिट मैनिफोल्ड पर प्राप्त किया जाना चाहिए।

अर्ध-फ़ुचियन समूह

क्वासी-फुचियन समूह के अनुक्रम|दिए गए जीनस के अर्ध-फुचियन सतह समूह दोहरे सीमा प्रमेय के अनुसार, दोगुने पतित सतह समूह में परिवर्तित हो सकते हैं।

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