अंकगणितीय प्रगति

एक अंकगणितीय प्रगति या अंकगणितीय अनुक्रम (AP) संख्याओं का एक क्रम है जिससे कि किसी भी अगले पद से उसके पिछले पद का अंतर पूरे अनुक्रम में स्थिर रहता है। निरंतर अंतर को उस अंकगणितीय प्रगति का सामान्य अंतर कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 5, 7, 9, 11, 13, 15,। . . 2 के सामान्य अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है।

यदि अंकगणितीय प्रगति का प्रारंभिक पद है $a_{1}$ और क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर है $d$, फिर $n$अनुक्रम का -वाँ पद ($a_{n}$) द्वारा दिया गया है:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

अंकगणितीय प्रगति के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है और कभी-कभी इसे अंकगणितीय प्रगति भी कहा जाता है। एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के योग को अंकगणितीय श्रृंखला कहा जाता है।

इतिहास

अनिश्चित विश्वसनीयता के एक किस्से के अनुसार, युवा कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जो प्राथमिक विद्यालय में थे, ने 1 से 100 तक के पूर्णांकों के योग को गुणा करके गणना करने के लिए इस विधि का पुन: आविष्कार किया। n/2प्रत्येक जोड़ी के मानों के योग में संख्याओं के जोड़े n + 1. हालाँकि, इस कहानी की सच्चाई के बावजूद, गॉस इस सूत्र की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे, और कुछ लोगों का मानना ​​है कि इसकी उत्पत्ति 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में पाइथोगोरस से हुई थी। इसी तरह के नियम प्राचीन काल में आर्किमिडीज़, हिप्सिकल्स और डायोफैंटस को ज्ञात थे; चीन में झांग क्यू आईयू कुंजी तक; भारत में आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त और भास्कर द्वितीय तक; और मध्ययुगीन यूरोप में अलकुइन तक, डिकुइल, फाइबोनैचि, सैक्रोबोस्को और तल्मूड के अज्ञात टिप्पणीकारों को तोसाफोट के नाम से जाना जाता है।

योग

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

योग 2 + 5 + 8 + 11 + 14 की गणना। जब अनुक्रम को उलट दिया जाता है और पद दर पद जोड़ा जाता है, तो परिणामी अनुक्रम में एक बार दोहराया गया मान होता है, जो पहले और अंतिम संख्याओं के योग के बराबर होता है (2) + 14 = 16). इस प्रकार 16 × 5 = 80 योग का दोगुना है।

एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग को अंकगणितीय श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए, योग पर विचार करें:

$2+5+8+11+14=40$

इस योग को जोड़े जाने वाले पदों की संख्या n लेकर (यहाँ 5), प्रगति में पहली और अंतिम संख्या के योग से गुणा करके (यहाँ 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करके शीघ्रता से पाया जा सकता है:

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

उपरोक्त मामले में, यह समीकरण देता है:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

यह सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए काम करता है $a_{1}$ और $a_{n}$. उदाहरण के लिए: यह

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

व्युत्पत्ति

पहले पूर्णांक 1+2+...+n का योग बताने वाले सूत्र के लिए एनिमेटेड प्रमाण।

उपरोक्त सूत्र प्राप्त करने के लिए, अंकगणितीय श्रृंखला को दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त करके प्रारंभ करें:

$S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}$

$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).$

शब्दों को उल्टे क्रम में पुनः लिखना:

$S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.$

दो समीकरणों के दोनों पक्षों के संगत पदों को जोड़ना और दोनों पक्षों को आधा करना:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].$

इस सूत्र को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है:

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}$

इसके अलावा, श्रृंखला के औसत मूल्य की गणना इस प्रकार की जा सकती है: $S_{n}/n$:

${\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

यह सूत्र असतत समान वितरण के माध्य के समान है।

उत्पाद

एक प्रारंभिक तत्व के साथ एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का उत्पाद (गणित)₁, सामान्य अंतर d, और n कुल मिलाकर तत्वों को एक बंद अभिव्यक्ति में निर्धारित किया जाता है

$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$

कहाँ $\Gamma$ गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है। जब फार्मूला मान्य नहीं है $a_{1}/d$ ऋणात्मक या शून्य है.

यह इस तथ्य से एक सामान्यीकरण है कि प्रगति का उत्पाद $1\times 2\times \cdots \times n$ कारख़ाने का द्वारा दिया गया है $n!$ और वह उत्पाद

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n$

प्राकृतिक संख्याओं के लिए $m$ और $n$ द्वारा दिया गया है

${\frac {n!}{(m-1)!}}.$

व्युत्पत्ति

${\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}$

कहाँ $x^{\overline {n}}$ पोचहैमर प्रतीक को दर्शाता है।

पुनरावृत्ति सूत्र द्वारा $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$, एक सम्मिश्र संख्या के लिए मान्य $z>0$,

$\Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)$,

$\Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)$,

ताकि

${\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)$

के लिए $m$ एक सकारात्मक पूर्णांक और $z$ एक धनात्मक सम्मिश्र संख्या.

इस प्रकार, यदि $a_{1}/d>0$,

$\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$,

और अंत में,

$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$

उदाहरण

उदाहरण 1

उदाहरण लेते हुए $3,8,13,18,23,28,\ldots$, द्वारा दी गई अंकगणितीय प्रगति की शर्तों का उत्पाद $a_{n}=3+5(n-1)$ 50वें पद तक है

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

उदाहरण 2

प्रथम 10 विषम संख्याओं का गुणनफल $(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)$ द्वारा दिया गया है

$1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}$ = 654,729,075

मानक विचलन

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के मानक विचलन की गणना इस प्रकार की जा सकती है

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

कहाँ $n$ प्रगति में पदों की संख्या है और $d$ पदों के बीच सामान्य अंतर है. सूत्र असतत समान वितरण के मानक विचलन के समान है।

अंतर्विभाजन

किन्हीं दो दोगुनी अनंत अंकगणितीय प्रगति का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) या तो खाली है या कोई अन्य अंकगणितीय प्रगति है, जिसे चीनी शेषफल प्रमेय का उपयोग करके पाया जा सकता है। यदि दोगुनी अनंत अंकगणितीय प्रगति के परिवार में प्रगति की प्रत्येक जोड़ी में एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है, तो उन सभी के लिए एक सामान्य संख्या मौजूद होती है; अर्थात्, अनंत अंकगणितीय प्रगतियाँ एक हेली परिवार बनाती हैं। हालाँकि, अनंत अनेक अनंत अंकगणितीय प्रगतियों का प्रतिच्छेदन स्वयं अनंत प्रगति होने के बजाय एक एकल संख्या हो सकता है।

यह भी देखें

• ज्यामितीय अनुक्रम
• हार्मोनिक प्रगति (गणित)
• त्रिकोणीय संख्या
• अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम
• अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता
• अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य
• रैखिक अंतर समीकरण
• सामान्यीकृत अंकगणितीय प्रगति, अंकगणितीय प्रगति के रूप में निर्मित पूर्णांकों का एक सेट है, लेकिन कई संभावित अंतरों की अनुमति देता है
• पूर्णांक त्रिभुज # अंकगणितीय प्रगति में भुजाओं वाला हेरोनियन त्रिभुज
• अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं
• निरंकुशता
• अंकगणितीय प्रगति की शक्तियों के योग की गणना करने वाले बहुपद

बाहरी संबंध

• "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.