अंतरिक्ष रूप

गणित में, एक अंतरिक्ष रूप निरंतर वक्रता अनुभागीय वक्रता के का एक पूर्ण स्थान रीमैनियन कई गुना एम है। तीन सबसे मौलिक उदाहरण हैं यूक्लिडियन स्पेस|यूक्लिडियन एन-स्पेस, एन-स्फीयर|एन-डायमेंशनल स्फेयर, और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान, हालांकि स्पेस फॉर्म को बस जुड़ा हुआ स्थान नहीं होना चाहिए।

सामान्यीकृत क्रिस्टलोग्राफी में कमी

रीमैनियन ज्यामिति के किलिंग-हॉप प्रमेय में कहा गया है कि एन-डायमेंशनल स्पेस फॉर्म का सार्वभौमिक आवरण $M^{n}$ वक्रता के साथ $K=-1$ के लिए सममितीय है $H^{n}$, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान, वक्रता के साथ $K=0$ के लिए सममितीय है $R^{n}$, यूक्लिडियन स्पेस | यूक्लिडियन एन-स्पेस, और वक्रता के साथ $K=+1$ के लिए सममितीय है $S^{n}$, N-sphere|n-विमीय क्षेत्र बिंदुओं की दूरी 1 में मूल से $R^{n+1}$.

रिमेंनियन मीट्रिक को फिर से स्केल करके $H^{n}$, हम एक स्थान बना सकते हैं $M_{K}$ निरंतर वक्रता का $K$ किसी के लिए $K<0$. इसी तरह, रिमेंनियन मेट्रिक को फिर से स्केल करके $S^{n}$, हम एक स्थान बना सकते हैं $M_{K}$ निरंतर वक्रता का $K$ किसी के लिए $K>0$. इस प्रकार एक अंतरिक्ष रूप का सार्वभौमिक आवरण $M$ निरंतर वक्रता के साथ $K$ के लिए सममितीय है $M_{K}$.

यह आइसोमेट्री के असतत अंतरिक्ष समूह (गणित) के अध्ययन के लिए अंतरिक्ष रूपों का अध्ययन करने की समस्या को कम करता है $\Gamma$ का $M_{K}$ जो लगातार ठीक से कार्य करते हैं। ध्यान दें कि का मौलिक समूह $M$, $\pi _{1}(M)$, के लिए आइसोमॉर्फिक होगा $\Gamma$. इस तरह से काम करने वाले समूह $R^{n}$ क्रिस्टलोग्राफिक समूह कहलाते हैं। इस तरह से काम करने वाले समूह $H^{2}$ और $H^{3}$ क्रमशः फुचियन समूह और क्लेनियन समूह कहलाते हैं।

यह भी देखें

• बोरेल अनुमान

संदर्भ

• Goldberg, Samuel I. (1998), Curvature and Homology, Dover Publications, ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Riemannian manifolds: an introduction to curvature, Springer