अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति

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गणित में, एक अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति या अस्पष्ट अभिव्यक्ति एक अभिव्यक्ति (गणित) है जिसकी परिभाषा इसे एक अद्वितीय व्याख्या या मूल्य प्रदान करती है।अन्यथा, अभिव्यक्ति को अच्छी तरह से परिभाषित नहीं कहा जाता है, बीमार परिभाषित किया गयाया अस्पष्ट । एक फ़ंक्शन को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है यदि यह एक ही परिणाम देता है जब इनपुट के मूल्य को बदले बिना इनपुट का प्रतिनिधित्व बदल दिया जाता है।उदाहरण के लिए, यदि एफ इनपुट के रूप में वास्तविक संख्याओं को लेता है, और यदि एफ (0.5) के बराबर नहीं होता है तो एफ (1/2) तो एफ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है (और इस प्रकार एक फ़ंक्शन नहीं)। अच्छी तरह से परिभाषित शब्द का उपयोग यह इंगित करने के लिए भी किया जा सकता है कि एक तार्किक अभिव्यक्ति अस्पष्ट या अनियंत्रित है।

एक फ़ंक्शन जिसे अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है, वह एक फ़ंक्शन के समान नहीं है जो अपरिभाषित (गणित) है।उदाहरण के लिए, यदि f (x) = 1/x है, तो तथ्य यह है कि f (0) अपरिभाषित है, इसका मतलब यह नहीं है कि F अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है - लेकिन यह 0 केवल F के एक फ़ंक्शन के डोमेन में नहीं है।

उदाहरण

होने देना $A_{0},A_{1}$ सेट होना, चलो $A=A_{0}\cup A_{1}$ और परिभाषित करें $f:A\rightarrow \{0,1\}$ जैसा $f(a)=0$ यदि $a\in A_{0}$ और $f(a)=1$ यदि $a\in A_{1}$।

फिर $f$ अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset \!$।उदाहरण के लिए, यदि $A_{0}:=\{2,4\}$ और $A_{1}:=\{3,5\}$, तब $f(a)$ अच्छी तरह से परिभाषित किया जाएगा और मोडुलो ऑपरेशन के बराबर |$\operatorname {mod} (a,2)$।

हालांकि, यदि $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$, तब $f$ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जाएगा क्योंकि $f(a)$ के लिए अस्पष्ट है $a\in A_{0}\cap A_{1}$।उदाहरण के लिए, यदि $A_{0}:=\{2\}$ और $A_{1}:=\{2\}$, तब $f(2)$ 0 और 1 दोनों होना होगा, जो इसे अस्पष्ट बनाता है।नतीजतन, बाद में$f$अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है और इस प्रकार एक फ़ंक्शन नहीं है।

परिभाषा की प्रत्याशा के रूप में परिभाषा

पिछले सरल उदाहरण में परिभाषित के आसपास उद्धरण चिह्नों से बचने के लिए, की परिभाषा $f$ दो सरल तार्किक चरणों में तोड़ा जा सकता है:

1. The definition of the binary relation: In the example

   $f:={\bigl \{}(a,i)\mid i\in \{0,1\}\wedge a\in A_{i}{\bigr \}},$

   (which so far is nothing but a certain subset of the Cartesian product $A\times \{0,1\}$.)
2. The assertion: The binary relation $f$ is a function; in the example

   $f:A\rightarrow \{0,1\}.$

जबकि चरण 1 में परिभाषा किसी भी परिभाषा की स्वतंत्रता के साथ तैयार की गई है और निश्चित रूप से प्रभावी है (इसे परिभाषित करने की आवश्यकता के बिना), चरण 2 में दावे को साबित करना होगा।वह है, $f$ एक फ़ंक्शन है अगर और केवल अगर $A_{0}\cap A_{1}=\emptyset$, कौनसे मामलेमें $f$ - एक फ़ंक्शन के रूप में - अच्छी तरह से परिभाषित है। दूसरी ओर, अगर $A_{0}\cap A_{1}\neq \emptyset$, तो एक के लिए $a\in A_{0}\cap A_{1}$, हमारे पास होगा $(a,0)\in f$ और $(a,1)\in f$, जो द्विआधारी संबंध बनाता है $f$ कार्यात्मक नहीं है (जैसा कि बाइनरी रिलेशन#बाइनरी रिलेशंस में परिभाषित किया गया है) और इस प्रकार एक फ़ंक्शन के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है।बोलचाल की भाषा, कार्य $f$ बिंदु पर अस्पष्ट भी कहा जाता है $a$ (हालांकि डेफिनिशनम कभी भी अस्पष्ट कार्य नहीं है), और मूल परिभाषा व्यर्थ है। इन सूक्ष्म तार्किक समस्याओं के बावजूद, इस तरह की परिभाषाओं के लिए शब्द परिभाषा (बिना एपोस्ट्रोफेस) का उपयोग करना काफी आम है - तीन कारणों से:

1. यह दो-चरण दृष्टिकोण का एक आसान शॉर्टहैंड प्रदान करता है।
2. प्रासंगिक गणितीय तर्क (यानी, चरण 2) दोनों मामलों में समान है।
3. गणितीय ग्रंथों में, दावा 100% तक सच है।

प्रतिनिधि की स्वतंत्रता

एक फ़ंक्शन की अच्छी तरह से परिभाषितता का प्रश्न शास्त्रीय रूप से तब उत्पन्न होता है जब किसी फ़ंक्शन का परिभाषित समीकरण (केवल) स्वयं तर्कों को संदर्भित नहीं करता है, लेकिन तर्क के तत्वों के लिए (भी), प्रतिनिधि (गणित) के रूप में सेवा करता है।यह कभी -कभी अपरिहार्य होता है जब तर्क cosets होते हैं और समीकरण COSET प्रतिनिधियों को संदर्भित करता है।फ़ंक्शन एप्लिकेशन का परिणाम तब प्रतिनिधि की पसंद पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

एक तर्क के साथ कार्य

उदाहरण के लिए, निम्न फ़ंक्शन पर विचार करें

${\begin{matrix}f:&\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{8}&\mapsto &{\overline {n}}_{4},\end{matrix}}$

कहां $n\in \mathbb {Z} ,m\in \{4,8\}$ और $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ मॉड्यूलर अंकगणित हैं और ${\overline {n}}_{m}$ एन मॉड एम के मॉड्यूलर अंकगणित#बधाई वर्गों को दर्शाता है।

N.B।: ${\overline {n}}_{4}$ तत्व का संदर्भ है $n\in {\overline {n}}_{8}$, और ${\overline {n}}_{8}$ का तर्क है$f$।

कार्यक्रम$f$अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि

$n\equiv n'{\bmod {8}}\;\Leftrightarrow \;8{\text{ divides }}(n-n')\Rightarrow \;4{\text{ divides }}(n-n')\;\Leftrightarrow \;n\equiv n'{\bmod {4}}.$

एक काउंटर उदाहरण के रूप में, कन्वर्स्ट परिभाषा

${\begin{matrix}g:&\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} \\&{\overline {n}}_{4}&\mapsto &{\overline {n}}_{8},\end{matrix}}$

एक अच्छी तरह से परिभाषित फ़ंक्शन के लिए नेतृत्व नहीं करता है, क्योंकि उदा। ${\overline {1}}_{4}$ बराबरी ${\overline {5}}_{4}$ में $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$, लेकिन पहले द्वारा मैप किया जाएगा $g$ को ${\overline {1}}_{8}$, जबकि दूसरे को मैप किया जाएगा ${\overline {5}}_{8}$, और ${\overline {1}}_{8}$ और ${\overline {5}}_{8}$ में असमान हैं $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$।

संचालन

विशेष रूप से, अच्छी तरह से परिभाषित शब्द का उपयोग कॉसेट्स पर (बाइनरी) ऑपरेशन (गणित) के संबंध में किया जाता है।इस मामले में कोई भी ऑपरेशन को दो चर के एक समारोह के रूप में देख सकता है और अच्छी तरह से परिभाषित होने की संपत्ति एक फ़ंक्शन के लिए समान है।उदाहरण के लिए, पूर्णांक modulo पर इसके अलावा कुछ n को पूर्णांक जोड़ के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

$[a]\oplus [b]=[a+b]$

तथ्य यह है कि यह अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है कि हम किसी भी प्रतिनिधि को लिख सकते हैं $[a]$ जैसा $a+kn$, कहां $k$ एक पूर्णांक है।इसलिए,

$[a]\oplus [b]=[a+kn]\oplus [b]=[(a+kn)+b]=[(a+b)+kn]=[a+b];$

और इसी तरह के किसी भी प्रतिनिधि के लिए $[b]$, जिससे बना $[a+b]$ प्रतिनिधि की पसंद के बावजूद समान।

अच्छी तरह से परिभाषित संकेतन

वास्तविक संख्या के लिए, उत्पाद $a\times b\times c$ असंदिग्ध है क्योंकि $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$ (और इसलिए संकेतन को अच्छी तरह से परिभाषित कहा जाता है)।यह संपत्ति, जिसे गुणा की संबद्धता के रूप में भी जाना जाता है, गारंटी देता है कि परिणाम गुणन के अनुक्रम पर निर्भर नहीं करता है, ताकि अनुक्रम के एक विनिर्देश को छोड़ दिया जा सके।

दूसरी ओर, घटाव संचालन साहचर्य नहीं है।हालांकि, एक सम्मेलन है कि $a-b-c$ के लिए शॉर्टहैंड है $(a-b)-c$, इस प्रकार यह अच्छी तरह से परिभाषित है।

डिवीजन (गणित) भी गैर-सहयोगी है।हालांकि, के मामले में $a/b/c$, कोष्ठक सम्मेलन इतनी अच्छी तरह से स्थापित नहीं हैं, इसलिए इस अभिव्यक्ति को अक्सर बीमार माना जाता है।

कार्यों के विपरीत, अतिरिक्त परिभाषाओं (जैसे, ऑपरेटर की पूर्वता के नियम, ऑपरेटर की सहयोगीता) के माध्यम से उल्लेखनीय अस्पष्टताओं को कम या ज्यादा आसानी से दूर किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) ऑपरेटर में - घटाव के लिए बाएं-से-दाएं-सहयोगी है, जिसका अर्थ है a-b-c की तरह परिभाषित किया गया है (a-b)-c, और ऑपरेटर = असाइनमेंट के लिए राइट-टू-लेफ्ट-एसोसिएटिव है, जिसका अर्थ है a=b=c की तरह परिभाषित किया गया है a=(b=c). प्रोग्रामिंग लैंग्वेज APL (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में केवल एक ही नियम है: APL (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) #Design - लेकिन कोष्ठक पहले।

शब्द के अन्य उपयोग

एक आंशिक अंतर समीकरण के समाधान को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है यदि यह सीमा की स्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है तो एक निरंतर तरीके से निर्धारित किया जाता है क्योंकि सीमा की स्थिति बदल जाती है।

यह भी देखें

• Equivalence relation § Well-definedness under an equivalence relation
• परिभाषावाद
• अस्तित्व
• विशिष्टता
• विशिष्टता परिमाणीकरण
• अपरिभाषित (गणित)
• अच्छी तरह से गठित सूत्र

स्रोत ========

• समकालीन सार बीजगणित, जोसेफ ए। गैलियन, 6 वें संस्करण, हॉगलिन मिफ्लिन, 2006, ISBN 0-618-51471-6।
• बीजगणित: अध्याय 0, पाओलो अलफी, ISBN 978-0821847817।पृष्ठ 16।
• सार बीजगणित, डुमिट और फूटे, 3 संस्करण, ISBN 978-0471433347।पृष्ठ 1।

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