अधिकतम टोरस

कॉम्पैक्ट लाई समूहों के गणित सिद्धांत में टोरस उपसमूहों द्वारा एक विशेष भूमिका निभाई जाती है, विशेष रूप से अधिकतम टोरस उपसमूहों द्वारा।

कॉम्पैक्ट झूठ समूह जी में एक टोरस एक सघन स्थान , जुड़ा हुआ स्थान , जी का एबेलियन समूह लाई उपसमूह है (और इसलिए आइसोमोर्फिक है) मानक टोरस टीⁿ). 'अधिकतम टोरस' वह है जो ऐसे उपसमूहों में अधिकतम होता है। अर्थात्, T एक अधिकतम टोरस है यदि T युक्त किसी टोरस T' के लिए हमारे पास T = T' है। प्रत्येक टोरस केवल आयाम (गणित और भौतिकी) के विचारों से अधिकतम टोरस में समाहित होता है। एक गैर-कॉम्पैक्ट लाई समूह को किसी भी गैर-तुच्छ टोरी की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए 'आर'ⁿ).

जी में अधिकतम टोरस के आयाम को जी का 'रैंक' कहा जाता है। रैंक अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि सभी अधिकतम टोरस संयुग्मित (समूह सिद्धांत) बन जाते हैं। अर्धसरल लाई समूह समूहों के लिए रैंक संबंधित डायनकिन आरेख में नोड्स की संख्या के बराबर है।

उदाहरण

एकात्मक समूह U(n) में अधिकतम टोरस के रूप में सभी विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह होता है। वह है,

$T=\left\{\operatorname {diag} \left(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\dots ,e^{i\theta _{n}}\right):\forall j,\theta _{j}\in \mathbb {R} \right\}.$

T, n वृत्तों के गुणनफल के लिए स्पष्ट रूप से समरूपी है, इसलिए एकात्मक समूह U(n) की रैंक n है। विशेष एकात्मक समूह SU(n) ⊂ U(n) में एक अधिकतम टोरस केवल T और SU(n) का प्रतिच्छेदन है जो आयाम n - 1 का एक टोरस है।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(2n) में एक अधिकतम टोरस n जोड़ीदार ऑर्थोगोनल विमानों (यानी, दो आयामी वेक्टर रिक्त स्थान) के किसी भी निश्चित विकल्प में एक साथ सभी घुमावों के सेट द्वारा दिया जाता है। सीधे तौर पर, एक अधिकतम टोरस में सभी ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स होते हैं $2\times 2$ विकर्ण ब्लॉक, जहां प्रत्येक विकर्ण ब्लॉक एक रोटेशन मैट्रिक्स है। यह समूह SO(2n+1) में एक अधिकतम टोरस भी है जहां क्रिया शेष दिशा तय करती है। इस प्रकार SO(2n) और SO(2n+1) दोनों की रैंक n है। उदाहरण के लिए, घूर्णन समूह SO(3) में अधिकतम टोरी एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन द्वारा दी जाती है।

सिंपलेक्टिक समूह Sp(n) की रैंक n है। एक अधिकतम टोरस सभी विकर्ण आव्यूहों के सेट द्वारा दिया जाता है जिनकी सभी प्रविष्टियाँ क्वाटरनियन|'एच' के एक निश्चित जटिल उपबीजगणित में होती हैं।

गुण

मान लीजिए G एक सघन, जुड़ा हुआ झूठ ​​समूह है और चलो ${\mathfrak {g}}$ जी का बीजगणित हो। पहला मुख्य परिणाम टोरस प्रमेय है, जिसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

टोरस प्रमेय: यदि टी जी में एक निश्चित अधिकतम टोरस है, तो जी का प्रत्येक तत्व टी के एक तत्व से संयुग्मित है।

इस प्रमेय के निम्नलिखित परिणाम हैं:

• जी में सभी अधिकतम टोरी संयुग्मी हैं। * सभी अधिकतम टोरी का आयाम समान होता है, जिसे जी की रैंक के रूप में जाना जाता है।
• जी में एक अधिकतम टोरस एक अधिकतम एबेलियन उपसमूह है, लेकिन इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है।
• जी में अधिकतम टोरी बिल्कुल लाई उपसमूह हैं जो कि अधिकतम एबेलियन उपबीजगणित के अनुरूप हैं ${\mathfrak {g}}$ (सीएफ. कार्टन उपबीजगणित)
• G का प्रत्येक तत्व किसी अधिकतम टोरस में स्थित है; इस प्रकार, G के लिए एक्सपोनेंशियल_मैप_(Lie_theory) विशेषण है।
• यदि G का आयाम n और रैंक r है तो n - r सम है।

जड़ तंत्र

यदि T एक कॉम्पैक्ट लाई समूह G में एक अधिकतम टोरस है, तो कोई जड़ प्रणाली को निम्नानुसार परिभाषित कर सकता है। जड़ें G के जटिल झूठ बीजगणित पर T की सहायक क्रिया के लिए Compact_group#Repretation_theory_of_a_connected_compact_Lie_group हैं। अधिक स्पष्ट होने के लिए, आइए ${\mathfrak {t}}$ T के झूठ बीजगणित को निरूपित करें, मान लीजिए ${\mathfrak {g}}$ के झूठ बीजगणित को निरूपित करें $G$, और जाने ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\oplus i{\mathfrak {g}}$ की जटिलता को निरूपित करें ${\mathfrak {g}}$. तब हम कहते हैं कि एक तत्व $\alpha \in {\mathfrak {t}}$ यदि T के सापेक्ष G का मूल है $\alpha \neq 0$ और वहां एक शून्येतर मौजूद है $X\in {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ ऐसा है कि

$\mathrm {Ad} _{e^{H}}(X)=e^{i\langle \alpha ,H\rangle }X$

सभी के लिए $H\in {\mathfrak {t}}$. यहाँ $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पर एक निश्चित आंतरिक उत्पाद है ${\mathfrak {g}}$ यह जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूहों की सहायक कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है।

जड़ प्रणाली, लाई बीजगणित के उपसमुच्चय के रूप में ${\mathfrak {t}}$ टी में जड़ प्रणाली के सभी सामान्य गुण होते हैं, सिवाय इसके कि जड़ें फैलती नहीं हैं ${\mathfrak {t}}$. रूट सिस्टम G के Compact_group#Classification और Compact_group#Repretation_theory_of_a_connected_compact_Lie_group को समझने में एक महत्वपूर्ण उपकरण है।

वेइल समूह

टोरस टी (आवश्यक रूप से अधिकतम नहीं) को देखते हुए, टी के संबंध में जी के वेइल समूह को टी मॉड्यूलो के सामान्यीकरणकर्ता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

$W(T,G):=N_{G}(T)/C_{G}(T).$ अधिकतम टोरस ठीक करें $T=T_{0}$ जी में; तब संबंधित वेइल समूह को जी का वेइल समूह कहा जाता है (यह टी की पसंद पर समरूपता पर निर्भर करता है)।

वेइल समूह के बारे में पहले दो प्रमुख परिणाम इस प्रकार हैं।

• G में T का सेंट्रलाइज़र T के बराबर है, इसलिए Weyl समूह N(T)/T के बराबर है।
• वेइल समूह संबंधित लाई बीजगणित की जड़ों के बारे में प्रतिबिंबों से उत्पन्न होता है। इस प्रकार, टी का वेइल समूह जी के ली बीजगणित की जड़ प्रणाली के वेइल समूह के समरूपी है।

अब हम इन मुख्य परिणामों के कुछ परिणामों को सूचीबद्ध करते हैं।

• टी में दो तत्व संयुग्मित होते हैं यदि और केवल यदि वे डब्ल्यू के एक तत्व द्वारा संयुग्मित होते हैं। यानी, जी का प्रत्येक संयुग्मन वर्ग टी को बिल्कुल एक वेइल कक्षा (समूह सिद्धांत) में काटता है। वास्तव में, G में संयुग्मी वर्गों का स्थान कक्षा स्थान T/W के समरूप है।
• वेइल समूह टी (और इसके लाई बीजगणित) पर (बाहरी स्वचालितता बाहरी स्वचालितता द्वारा कार्य करता है।
• टी के नॉर्मलाइज़र का पहचान घटक भी टी के बराबर है। वेइल समूह इसलिए एन (टी) के घटक समूह के बराबर है।
• वेइल समूह परिमित है।

G का Compact_group#Repretation_theory_of_a_connected_compact_Lie_group अनिवार्य रूप से T और W द्वारा निर्धारित होता है।

उदाहरण के तौर पर मामले पर विचार करें $G=SU(n)$ साथ $T$ का विकर्ण उपसमूह होना $G$. तब $x\in G$ से संबंधित $N(T)$ अगर और केवल अगर $x$ प्रत्येक मानक आधार तत्व को मैप करता है $e_{i}$ किसी अन्य मानक आधार तत्व के गुणज के लिए $e_{j}$, अर्थात्, यदि और केवल यदि $x$ मानक आधार तत्वों को कुछ स्थिरांकों से गुणा करने तक क्रमपरिवर्तित करता है। इस मामले में वेइल समूह तब क्रमपरिवर्तन समूह है $n$ तत्व.

वेइल इंटीग्रल फॉर्मूला

मान लीजिए कि f, G पर एक सतत फलन है। तब सामान्यीकृत Haar माप dg के संबंध में f के G पर अभिन्न अंग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$\displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}|\Delta (t)|^{2}\int _{G/T}f\left(yty^{-1}\right)\,d[y]\,dt,}$

कहाँ $d[y]$ भागफल मैनिफ़ोल्ड पर सामान्यीकृत आयतन माप है $G/T$ और $dt$ टी पर सामान्यीकृत हार माप है। यहाँ Δ वेइल हर सूत्र द्वारा दिया गया है और $|W|$ वेइल समूह का क्रम है। इस परिणाम का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला तब होता है जब एफ एक वर्ग समारोह होता है, यानी, संयुग्मन के तहत एक फ़ंक्शन अपरिवर्तनीय होता है। उस मामले में, हमारे पास है

$\displaystyle {\int _{G}f(g)\,dg=|W|^{-1}\int _{T}f(t)|\Delta (t)|^{2}\,dt.}$

उदाहरण के तौर पर इस मामले पर विचार करें $G=SU(2)$, साथ $T$ विकर्ण उपसमूह होना। तब क्लास फ़ंक्शंस के लिए वेइल इंटीग्रल फॉर्मूला निम्नलिखित स्पष्ट रूप लेता है:

$\displaystyle {\int _{SU(2)}f(g)\,dg={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }f\left(\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)\right)\,4\,\mathrm {sin} ^{2}(\theta )\,{\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

यहाँ $|W|=2$, सामान्यीकृत Haar माप पर $T$ है ${\frac {d\theta }{2\pi }}$, और $\mathrm {diag} \left(e^{i\theta },e^{-i\theta }\right)$ विकर्ण प्रविष्टियों के साथ विकर्ण मैट्रिक्स को दर्शाता है $e^{i\theta }$ और $e^{-i\theta }$.

यह भी देखें

• सघन समूह
• कार्टन उपसमूह
• कार्टन उपबीजगणित
• तोरल लाई बीजगणित
• ब्रुहट अपघटन
• वेइल चरित्र सूत्र
• कॉम्पैक्ट_ग्रुप#प्रतिनिधित्व_सिद्धांत_ऑफ_ए_कनेक्टेड_कॉम्पैक्ट_ली_ग्रुप

संदर्भ

• Adams, J. F. (1969), Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, ISBN 0226005305
• Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
• Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, vol. 5, Academic Press, ISBN 012215505X
• Duistermaat, J.J.; Kolk, A. (2000), Lie groups, Universitext, Springer, ISBN 3540152938
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• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0821828487
• Hochschild, G. (1965), The structure of Lie groups, Holden-Day