पहचान घटक

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत , एक समूह (गणित) जी का पहचान घटक जी के सबसे बड़े जुड़े अंतरिक्ष उपसमूह की कई निकट संबंधी धारणाओं को संदर्भित करता है जिसमें पहचान तत्व होता है।

बिंदु सेट टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल समूह जी का पहचान घटक जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी) जी है^{G का 0} जिसमें समूह का पहचान तत्व शामिल है। एक टोपोलॉजिकल समूह का 'पहचान पथ घटक ' G, G का पथ घटक है जिसमें समूह का पहचान तत्व होता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, 'बीजगणितीय समूह का पहचान घटक' एक फ़ील्ड k पर G अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का पहचान घटक है। आधार योजना (गणित) के ऊपर 'समूह योजना का पहचान घटक' G, मोटे तौर पर बोल रहा है, समूह योजना G⁰ जिसका फाइबर (गणित) S के बिंदु s से जुड़ा हुआ घटक है (G_s)⁰ फाइबर जी_s, एक बीजगणितीय समूह।

गुण

पहचान घटक जी^{0 टोपोलॉजिकल या बीजगणितीय समूह G का G का एक बंद सेट सामान्य उपसमूह है। यह बंद है क्योंकि घटक हमेशा बंद रहते हैं। यह एक उपसमूह है क्योंकि किसी टोपोलॉजिकल या बीजगणितीय समूह में गुणन और व्युत्क्रम परिभाषा के अनुसार निरंतर मानचित्र (टोपोलॉजी) हैं। इसके अलावा, जी के किसी भी निरंतर automorphism के लिए हमारे पास है}

ए(जी⁰) = जी^{0</उप>।}

इस प्रकार, जी⁰ G का एक विशिष्ट उपसमूह है, इसलिए यह सामान्य है।

पहचान घटक जी^{एक टोपोलॉजिकल ग्रुप G के 0} को G में खुला सेट होने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हमारे पास G हो सकता है⁰ = {e}, जिस स्थिति में G पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया समूह है। हालाँकि, स्थानीय रूप से पथ से जुड़े स्थान (उदाहरण के लिए एक लाइ समूह) का पहचान घटक हमेशा खुला रहता है, क्योंकि इसमें {e} का पथ-जुड़ा पड़ोस होता है; और इसलिए एक क्लोपेन सेट है।

एक टोपोलॉजिकल समूह का पहचान पथ घटक सामान्य रूप से पहचान घटक से छोटा हो सकता है (चूंकि पथ जुड़ाव जुड़ाव की तुलना में एक मजबूत स्थिति है), लेकिन ये सहमत हैं कि जी स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है।

घटक समूह

भागफल समूह G/G⁰ घटकों का समूह या G का घटक समूह कहलाता है। इसके तत्व 'जी' के जुड़े घटक हैं। घटक समूह जी/जी⁰ एक असतत समूह है यदि और केवल यदि G⁰ खुला है। यदि जी बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली का एक बीजगणितीय समूह है, जैसे कि एफाइन बीजगणितीय समूह, तो जी/जी⁰ वास्तव में एक परिमित समूह है।

पथ घटक समूह को समान रूप से पथ घटकों के समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (पहचान पथ घटक द्वारा G का भागफल), और सामान्य तौर पर घटक समूह पथ घटक समूह का भागफल होता है, लेकिन यदि G स्थानीय पथ से जुड़ा है तो ये समूह सहमत हैं . पथ घटक समूह को ज़ीरोथ होमोटोपी समूह के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है, $\pi _{0}(G,e).$

उदाहरण

• गुणन (R*,•) के साथ गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के समूह में दो घटक होते हैं और घटकों का समूह ({1,−1},•) होता है।
• विभाजित-जटिल संख्या ओं के समूह में 'यू' इकाइयों के समूह पर विचार करें। प्लेन की साधारण टोपोलॉजी में {z = x + j y : x, y ∈ R}, U में बांटा गया है लाइनों द्वारा चार घटक y = x और y = - x जहां z का कोई व्युत्क्रम नहीं है। फिर 'यू'⁰ = { z : |y| <एक्स}। इस मामले में यू के घटकों का समूह क्लेन चार समूह के लिए समरूप है।
• योज्य समूह का पहचान घटक ('Z'_p,+) पी-एडिक नंबर | p-adic पूर्णांक सिंगलटन सेट {0} है, क्योंकि Z_p पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है।
• एक रिडक्टिव ग्रुप जी का वेइल समूह केंद्रक का घटक समूह है और जी के एक अधिकतम टोरस का नॉर्मलाइज़र है।
• समूह योजना μ पर विचार करें₂ = स्पेक (Z[x]/(x² - 1)) बेस स्कीम स्पेक (Z) पर परिभाषित एकता की दूसरी जड़। सामयिक रूप से, μ_n बिंदु (अर्थात, प्रधान आदर्श ) 2 पर एक साथ चिपके वक्र युक्ति (Z) की दो प्रतियाँ होती हैं। इसलिए, μ_n एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में जुड़ा हुआ है, इसलिए एक योजना के रूप में। हालाँकि, μ₂ इसकी पहचान घटक के बराबर नहीं है क्योंकि 2 को छोड़कर स्पेक (जेड) के हर बिंदु पर फाइबर में दो अलग-अलग बिंदु होते हैं।

एक टोपोलॉजिकल रिंग 'के' पर एक बीजगणितीय समूह 'जी' दो प्राकृतिक टोपोलॉजी, जरिस्की टोपोलॉजी और 'के' से विरासत में मिली टोपोलॉजी को स्वीकार करता है। टोपोलॉजी के आधार पर 'जी' का पहचान घटक अक्सर बदलता रहता है। उदाहरण के लिए, सामान्य रैखिक समूह जीएल_n(आर) एक बीजगणितीय समूह के रूप में जुड़ा हुआ है, लेकिन लाई समूह के रूप में दो पथ घटक हैं, सकारात्मक निर्धारक के मैट्रिक्स और नकारात्मक निर्धारक के मैट्रिक्स। गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र K पर कोई भी जुड़ा हुआ बीजगणितीय समूह K-टोपोलॉजी में पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है और इस प्रकार उस टोपोलॉजी में तुच्छ पहचान घटक होता है।

संदर्भ

• Lev Semenovich Pontryagin, Topological Groups, 1966.
• Demazure, Michel; Gabriel, Pierre (1970), Groupes algébriques. Tome I: Géométrie algébrique, généralités, groupes commutatifs, Paris: Masson, ISBN 978-2225616662, MR 0302656
• Demazure, Michel; Alexandre Grothendieck, eds. (1970). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962-64 - Schémas en groupes - (SGA 3) - vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151). Lecture Notes in Mathematics (in français). Vol. 151. Berlin; New York: Springer-Verlag. pp. xv+564. doi:10.1007/BFb0058993. ISBN 978-3-540-05179-4. MR 0274458.

बाहरी कड़ियाँ

• Demazure, M.; Grothendieck, A., Gille, P.; Polo, P. (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), I: Propriétés Générales des Schémas en Groupes Revised and annotated edition of the 1970 original.