हस्से सिद्धांत

गणित में, हेल्मुट हास का स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत, जिसे हस्से सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है, यह विचार है कि चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करके प्रत्येक भिन्न अभाज्य संख्या की मॉड्यूलर अंकगणितीय शक्तियों को एक साथ जोड़कर एक डायोफैंटाइन समीकरण प्राप्त किया जा सकता है। इसे परिमेय संख्याओं के समापन (रिंग थ्योरी) में समीकरण की जांच करके नियंत्रित किया जाता है: वास्तविक संख्याएँ और p-adic number|p-adic नंबर। हस्से सिद्धांत का एक अधिक औपचारिक संस्करण बताता है कि कुछ प्रकार के समीकरणों का एक तर्कसंगत समाधान होता है यदि और केवल अगर उनके पास वास्तविक संख्या और पी में एक समाधान होता है - प्रत्येक अभाज्य संख्या पी।

अंतर्ज्ञान

तर्कसंगत गुणांक के साथ एक बहुपद समीकरण दिया गया है, यदि इसका एक तर्कसंगत समाधान है, तो यह एक वास्तविक समाधान और एक पी-एडिक समाधान भी देता है, क्योंकि परिमेय वास्तविक और पी-एडिक्स में एम्बेड होते हैं: एक वैश्विक समाधान प्रत्येक अभाज्य पर स्थानीय समाधान प्राप्त करता है। . हस्से सिद्धांत पूछता है कि जब रिवर्स किया जा सकता है, या बल्कि, पूछता है कि बाधा क्या है: जब आप तर्कसंगत पर समाधान प्राप्त करने के लिए वास्तविक और पी-एडिक्स पर एक साथ समाधान कर सकते हैं: स्थानीय समाधानों को एक बनाने के लिए कब जोड़ा जा सकता है वैश्विक समाधान?

कोई इसे अन्य छल्ले या फ़ील्ड के लिए पूछ सकता है: पूर्णांक, उदाहरण के लिए, या संख्या फ़ील्ड। संख्या क्षेत्रों के लिए, वास्तविक और पी-एडिक्स के बजाय, जटिल एम्बेडिंग का उपयोग किया जाता है और ${\mathfrak {p}}$ -एडिक्स, प्रमुख आदर्शों के लिए ${\mathfrak {p}}$ .

== 0 == का प्रतिनिधित्व करने वाले फॉर्म

द्विघात रूप

हस्से-मिन्कोव्स्की प्रमेय कहता है कि स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत परिमेय संख्याओं (जो हरमन मिन्कोव्स्की का परिणाम है) पर द्विघात रूपों द्वारा 0 का प्रतिनिधित्व करने की समस्या के लिए मान्य है; और आम तौर पर किसी भी संख्या क्षेत्र पर (जैसा कि हस्से द्वारा सिद्ध किया गया है), जब कोई सभी उपयुक्त स्थानीय क्षेत्र आवश्यक शर्तों का उपयोग करता है। चक्रीय विस्तार पर हासे के प्रमेय में कहा गया है कि स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत संख्या क्षेत्रों के चक्रीय विस्तार के लिए सापेक्ष मानदंड होने की स्थिति पर लागू होता है।

घन रूप

अर्न्स्ट एस. सेल्मर द्वारा एक प्रति उदाहरण से पता चलता है कि हस्से-मिन्कोव्स्की प्रमेय को डिग्री 3 के रूपों तक नहीं बढ़ाया जा सकता है: क्यूबिक समीकरण 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 का वास्तविक संख्याओं में और सभी p-adic क्षेत्रों में एक समाधान है, लेकिन इसका कोई गैर-तुच्छ समाधान नहीं है जिसमें x, y, और z सभी परिमेय संख्याएं हैं।^[1] रोजर हीथ-ब्राउन ने दिखाया^[2] हेरोल्ड डेवनपोर्ट के पिछले परिणामों में सुधार करते हुए, कम से कम 14 चरों में पूर्णांकों पर प्रत्येक घन रूप 0 का प्रतिनिधित्व करता है।^[3] चूंकि कम से कम दस चर वाले पी-एडिक नंबरों पर प्रत्येक घन रूप 0 का प्रतिनिधित्व करता है,^[2]स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत कम से कम 14 चरों में परिमेय पर घन रूपों के लिए तुच्छ रूप से धारण करता है।

गैर-एकवचन रूपों तक सीमित, कोई इससे बेहतर कर सकता है: हीथ-ब्राउन ने साबित किया कि कम से कम 10 चरों में परिमेय संख्याओं पर प्रत्येक गैर-एकवचन घन रूप 0 का प्रतिनिधित्व करता है,^[4] इस प्रकार इस वर्ग के रूपों के लिए हस सिद्धांत को तुच्छ रूप से स्थापित करना। यह ज्ञात है कि हीथ-ब्राउन का परिणाम इस अर्थ में सर्वोत्तम संभव है कि 9 चरों में परिमेय पर गैर-एकवचन घन रूप मौजूद हैं जो शून्य का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।^[5] हालांकि, क्रिस्टोफर हूले ने दिखाया कि हस सिद्धांत कम से कम नौ चरों में तर्कसंगत संख्याओं पर गैर-एकवचन घन रूपों द्वारा 0 के प्रतिनिधित्व के लिए है।^[6] डेवनपोर्ट, हीथ-ब्राउन और हूले सभी ने अपने प्रमाणों में हार्डी-लिटिलवुड सर्कल पद्धति का उपयोग किया। यूरी इवानोविच मैनिन के एक विचार के अनुसार, क्यूबिक रूपों के लिए धारण करने वाले हसे सिद्धांत के अवरोधों को ब्राउर समूह के सिद्धांत में बांधा जा सकता है; यह ब्राउर-मैनिन बाधा है, जो विविधता के कुछ वर्गों के लिए हसे सिद्धांत की विफलता के लिए पूरी तरह जिम्मेदार है। हालांकि, एलेक्सी स्कोरोबोगाटोव ने दिखाया है कि ब्राउर-मैनिन बाधा हस सिद्धांत की सभी विफलताओं की व्याख्या नहीं कर सकती है।^[7]

उच्च डिग्री के रूप

मासाहिको फुजिवारा और मसाकी सुडो द्वारा प्रतिउदाहरण दिखाते हैं कि हस्से-मिन्कोव्स्की प्रमेय डिग्री 10n + 5 के रूपों के लिए विस्तार योग्य नहीं है, जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।^[8] दूसरी ओर, बर्च के प्रमेय से पता चलता है कि यदि डी कोई विषम प्राकृतिक संख्या है, तो एक संख्या एन (डी) है, जैसे एन (डी) से अधिक चर में डिग्री डी का कोई भी रूप 0 का प्रतिनिधित्व करता है: हस्से सिद्धांत तुच्छ रूप से रखता है।

अल्बर्ट-ब्राउर-हस्से-नोएदर प्रमेय

अल्बर्ट-ब्रुएर-हस्से-नोथेर प्रमेय एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित A के विभाजन के लिए एक स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत स्थापित करता है। यह बताता है कि यदि A प्रत्येक स्थानीय क्षेत्र K पर विभाजित होता है_v तो यह K के ऊपर एक मैट्रिक्स रिंग के लिए आइसोमोर्फिक है।

बीजगणितीय समूहों के लिए हस्से सिद्धांत

बीजगणितीय समूहों के लिए हस्से सिद्धांत कहता है कि यदि G एक सामान्य रूप से जुड़ा हुआ बीजगणितीय समूह है जिसे वैश्विक क्षेत्र k पर परिभाषित किया गया है तो मानचित्र से

H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)

अंतःक्षेपी है, जहाँ गुणनफल k के सभी स्थानों पर है।

ऑर्थोगोनल समूहों के लिए हस्से सिद्धांत संबंधित द्विघात रूपों के लिए हस्से सिद्धांत से निकटता से संबंधित है।

Kneser (1966) और कई अन्य ने प्रत्येक समूह के मामले-दर-मामले सबूतों द्वारा हासे सिद्धांत को सत्यापित किया। अंतिम मामला समूह E8 (गणित)|E था₈द्वारा ही पूरा किया गया था Chernousov (1989) अन्य मामलों के कई साल बाद।

बीजगणितीय समूहों के लिए हस्से सिद्धांत का उपयोग तमागावा संख्या और मजबूत सन्निकटन प्रमेय के लिए वील अनुमान के प्रमाण में किया गया था।

यह भी देखें

स्थानीय विश्लेषण
ग्रुनवल्ड-वांग प्रमेय
ग्रोथेंडिक-काट्ज़ पी-वक्रता अनुमान

↑ Ernst S. Selmer (1951). "The Diophantine equation ax³ + by³ + cz³ = 0". Acta Mathematica. 85: 203–362. doi:10.1007/BF02395746.
↑ ^2.0 ^2.1 D.R. Heath-Brown (2007). "Cubic forms in 14 variables". Invent. Math. 170 (1): 199–230. Bibcode:2007InMat.170..199H. doi:10.1007/s00222-007-0062-1. S2CID 16600794.
↑ H. Davenport (1963). "Cubic forms in sixteen variables". Proceedings of the Royal Society A. 272 (1350): 285–303. Bibcode:1963RSPSA.272..285D. doi:10.1098/rspa.1963.0054. S2CID 122443854.
↑ D. R. Heath-Brown (1983). "Cubic forms in ten variables". Proceedings of the London Mathematical Society. 47 (2): 225–257. doi:10.1112/plms/s3-47.2.225.
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संदर्भ

Chernousov, V. I. (1989), "The Hasse principle for groups of type E8", Soviet Math. Dokl., 39: 592–596, MR 1014762
Kneser, Martin (1966), "Hasse principle for H¹ of simply connected groups", Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 159–163, MR 0220736
Serge Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. pp. 250–258. ISBN 3-540-61223-8.
Alexei Skorobogatov (2001). Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 144. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 1–7, 112. ISBN 0-521-80237-7.

बाहरी संबंध

"Hasse principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
PlanetMath article Archived 2004-03-13 at the Wayback Machine
Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes
J. Franklin, Global and local, Mathematical Intelligencer 36 (4) (Dec 2014), 4–9.

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[3] H. Davenport (1963). "Cubic forms in sixteen variables". Proceedings of the Royal Society A. 272 (1350): 285–303. Bibcode:1963RSPSA.272..285D. doi:10.1098/rspa.1963.0054. S2CID 122443854.

[4] D. R. Heath-Brown (1983). "Cubic forms in ten variables". Proceedings of the London Mathematical Society. 47 (2): 225–257. doi:10.1112/plms/s3-47.2.225.

[5] L. J. Mordell (1937). "A remark on indeterminate equations in several variables". Journal of the London Mathematical Society. 12 (2): 127–129. doi:10.1112/jlms/s1-12.1.127.

[6] C. Hooley (1988). "On nonary cubic forms". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 386: 32–98.

[7] Alexei N. Skorobogatov (1999). "Beyond the Manin obstruction". Invent. Math. 135 (2): 399–424. arXiv:alg-geom/9711006. Bibcode:1999InMat.135..399S. doi:10.1007/s002220050291. S2CID 14285244.

[8] M. Fujiwara; M. Sudo (1976). "Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails". Pacific Journal of Mathematics. 67 (1): 161–169. doi:10.2140/pjm.1976.67.161.

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