अधिकतम मापांक सिद्धांत

के मापांक का एक प्लॉट $\cos(z)$ (लाल रंग में) के लिए $z$ इकाई डिस्क में मूल पर केंद्रित (नीले रंग में दिखाया गया)। जैसा कि प्रमेय द्वारा भविष्यवाणी की गई है, अधिकतम मापांक डिस्क के अंदर नहीं हो सकता है (इसलिए लाल सतह पर उच्चतम मान इसके किनारे के साथ कहीं है)।

गणित में, जटिल विश्लेषण में अधिकतम मापांक सिद्धांत बताता है कि यदि $f$ एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, फिर निरपेक्ष मान

$|f|$ एक सख्त स्थानीय अधिकतम प्रदर्शित नहीं कर सकता है जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन के भीतर उचित रूप से है $f$.

दूसरे शब्दों में, या तो $f$ स्थानीय रूप से एक स्थिर कार्य है, या, किसी भी बिंदु के लिए $z_{0}$ के डोमेन के अंदर $f$ मनमाने ढंग से करीब अन्य बिंदु मौजूद हैं $z_{0}$ जिस पर $|f|$ अधिक मूल्य लेता है।

औपचारिक बयान

होने देना $f$ कुछ जुड़ा हुआ सेट खुला सेट सबसेट पर एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन हो $D$ जटिल विमान का $\mathbb {C}$ और जटिल मान लेना। अगर $z_{0}$ में एक बिंदु है $D$ ऐसा है कि

$|f(z_{0})|\geq |f(z)|$ सभी के लिए $z$ के कुछ पड़ोस (टोपोलॉजी) में $z_{0}$, तब $f$ निरंतर चालू है $D$.

इस कथन को ओपन मैपिंग प्रमेय (जटिल विश्लेषण) के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि एक गैर-निरंतर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन ओपन सेट को ओपन सेट पर मैप करता है: यदि $|f|$ पर एक स्थानीय अधिकतम प्राप्त करता है $z$, फिर पर्याप्त रूप से छोटे खुले पड़ोस की छवि $z$ खुला नहीं हो सकता, इसलिए $f$ स्थिर है।

संबंधित कथन

लगता है कि $D$ का एक बंधा हुआ गैर-खाली जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {C}$. होने देना ${\overline {D}}$ का समापन हो $D$. लगता है कि $f\colon {\overline {D}}\to \mathbb {C}$ एक सतत कार्य है जो होलोमोर्फिक है $D$. तब $|f(z)|$ की सीमा के किसी बिंदु पर अधिकतम प्राप्त करता है $D$.

यह निम्नानुसार पहले संस्करण से आता है। तब से ${\overline {D}}$ कॉम्पैक्ट जगह और नॉन-रिक्त, निरंतर कार्य है $|f(z)|$ किसी बिंदु पर अधिकतम प्राप्त करता है $z_{0}$ का ${\overline {D}}$. अगर $z_{0}$ सीमा पर नहीं है, तो अधिकतम मॉड्यूलस सिद्धांत का तात्पर्य है $f$ स्थिर है, इसलिए $|f(z)|$ सीमा के किसी भी बिंदु पर समान अधिकतम प्राप्त करता है।

न्यूनतम मापांक सिद्धांत

एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए $f$ एक जुड़े हुए खुले सेट पर $D$ का $\mathbb {C}$, अगर $z_{0}$ में एक बिंदु है $D$ ऐसा है कि

$0<|f(z_{0})|\leq |f(z)|$

सभी के लिए $z$ के कुछ पड़ोस (टोपोलॉजी) में $z_{0}$, तब $f$ निरंतर चालू है $D$.

प्रमाण: अधिकतम मॉड्यूलस सिद्धांत लागू करें $1/f$.

सबूतों के रेखाचित्र

हार्मोनिक कार्यों के लिए अधिकतम सिद्धांत का उपयोग

कोई समानता का उपयोग कर सकता है

$\log f(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)$

इसे निकालने के लिए जटिल प्राकृतिक लघुगणकों के लिए $\ln |f(z)|$ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है। तब से $z_{0}$ इस फ़ंक्शन के लिए भी एक स्थानीय अधिकतम है, यह अधिकतम सिद्धांत से अनुसरण करता है $|f(z)|$ स्थिर है। फिर, कॉची-रीमैन समीकरणों का उपयोग करके हम यह दिखाते हैं $f'(z)$ = 0, और इस प्रकार वह $f(z)$ साथ ही स्थिर है। समान तर्क यह दर्शाता है $|f(z)|$ के पृथक शून्य पर केवल एक स्थानीय न्यूनतम (जिसका आवश्यक रूप से मान 0 हो) हो सकता है $f(z)$.

गॉस के औसत मूल्य प्रमेय का प्रयोग

एक अन्य प्रमाण कॉची के अभिन्न सूत्र#परिणाम|गॉस के औसत मूल्य प्रमेय का उपयोग करके काम करता है ताकि ओवरलैपिंग ओपन डिस्क के भीतर सभी बिंदुओं को अधिकतम के समान मान मानने के लिए मजबूर किया जा सके। डिस्क इस प्रकार बिछाई जाती हैं कि उनके केंद्र जहां मान से एक बहुभुज पथ बनाते हैं $f(z)$ डोमेन के भीतर पूरी तरह से समाहित होने के दौरान, डोमेन में किसी अन्य बिंदु तक अधिकतम हो जाता है। इस प्रकार एक अधिकतम मूल्य का अस्तित्व यह दर्शाता है कि डोमेन में सभी मान समान हैं, इस प्रकार $f(z)$ स्थिर है।

भौतिक व्याख्या

इस सिद्धांत की एक भौतिक व्याख्या ऊष्मा समीकरण से आती है। यानी जब से $\log |f(z)|$ हार्मोनिक है, इस प्रकार यह क्षेत्र पर गर्मी प्रवाह की स्थिर स्थिति है $D$. मान लीजिए कि के इंटीरियर पर सख्त अधिकतम प्राप्त किया गया था $D$, इस अधिकतम पर गर्मी इसके आसपास के बिंदुओं पर फैल रही होगी, जो इस धारणा का खंडन करेगी कि यह एक प्रणाली की स्थिर स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है।

अनुप्रयोग

अधिकतम मापांक सिद्धांत के जटिल विश्लेषण में कई उपयोग हैं, और इसका उपयोग निम्नलिखित को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है:

• बीजगणित का मौलिक प्रमेय।
• श्वार्ज़ की लेम्मा, एक परिणाम जिसके परिणामस्वरूप जटिल विश्लेषण में कई सामान्यीकरण और अनुप्रयोग होते हैं।
• Phragmen-Lindelöf सिद्धांत, असीमित डोमेन के लिए एक विस्तार।
• बोरेल-कैराथियोडोरी प्रमेय, जो एक विश्लेषणात्मक कार्य को उसके वास्तविक भाग के संदर्भ में सीमित करता है।
• हैडमार्ड तीन-पंक्ति प्रमेय, जटिल तल में दो अन्य समानांतर रेखाओं के बीच एक रेखा पर बंधे हुए होलोमोर्फिक कार्यों के व्यवहार के बारे में परिणाम।

संदर्भ

• Titchmarsh, E. C. (1939). The Theory of Functions (2nd ed.). Oxford University Press. (See chapter 5.)
• E. D. Solomentsev (2001) [1994], "Maximum-modulus principle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Maximum Modulus Principle". MathWorld.