अनुवादिक समरूपता

अनुवादकीय अपरिवर्तनीय कार्यों के लिए $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ यह है $f(A)=f(A+t)$. Lebesgue माप ऐसे फ़ंक्शन के लिए एक उदाहरण है।

ज्यामिति में, अनुवाद (ज्यामिति) के लिए एक ज्यामितीय आकृति को बिना घुमाए एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाना है। एक अनुवाद किसी चीज़ को स्लाइड करता है a: T_a(p) = p + a.

भौतिकी और गणित में, सतत अनुवादकीय समरूपता किसी भी अनुवाद के तहत समीकरणों की एक प्रणाली का अपरिवर्तनीय (गणित) है। असतत गणित अनुवाद के तहत असतत अनुवादक समरूपता अपरिवर्तनीय है।

अनुरूप रूप से एक ऑपरेटर (गणित) A कार्यों पर एक अनुवाद (ज्यामिति) के संबंध में अनुवादिक रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है $T_{\delta }$ यदि आवेदन करने के बाद परिणाम A अगर तर्क फ़ंक्शन का अनुवाद किया जाता है तो यह नहीं बदलता है। अधिक सटीक रूप से इसे धारण करना चाहिए

$$\forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).$$

यदि वे अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं को अलग नहीं करते हैं तो भौतिकी के नियम एक स्थानिक अनुवाद के तहत अनुवादिक रूप से अपरिवर्तनीय हैं। नोएदर के प्रमेय के अनुसार, भौतिक प्रणाली की अंतरिक्ष अनुवाद संबंधी समरूपता संवेग के संरक्षण के बराबर है।

किसी वस्तु की अनुवादकीय समरूपता का अर्थ है कि एक विशेष अनुवाद वस्तु को नहीं बदलता है। किसी दिए गए ऑब्जेक्ट के लिए, जिस अनुवाद के लिए यह लागू होता है, वह एक समूह, वस्तु का समरूपता समूह , या, यदि वस्तु में अधिक प्रकार की समरूपता है, तो समरूपता समूह का एक उपसमूह होता है।

ज्यामिति

ट्रांसलेशनल इंवेरियन का तात्पर्य है कि, कम से कम एक दिशा में, वस्तु अनंत है: किसी भी बिंदु p के लिए, ट्रांसलेशनल समरूपता के कारण समान गुणों वाले बिंदुओं का सेट अनंत असतत सेट बनाता है {p + na | n ∈ Z} = p + Z a. मौलिक डोमेन हैं उदा। H + [0, 1] a किसी भी hyperplane एच के लिए जिसके लिए एक स्वतंत्र दिशा है। यह 1D में एक रेखा खंड है, 2D में एक अनंत पट्टी है, और 3D में एक स्लैब है, जैसे कि एक तरफ से शुरू होने वाला वेक्टर दूसरी तरफ समाप्त होता है। ध्यान दें कि पट्टी और स्लैब को वेक्टर के लंबवत होने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए वेक्टर की लंबाई की तुलना में संकरा या पतला हो सकता है।

1 से अधिक आयाम वाले रिक्त स्थान में, एकाधिक अनुवादकीय समरूपता हो सकती है। 'के' स्वतंत्र अनुवाद वैक्टर के प्रत्येक सेट के लिए, समरूपता समूह जेड के साथ आइसोमोर्फिक है^{क</सुप>. विशेष रूप से, बहुलता आयाम के बराबर हो सकती है। इसका तात्पर्य है कि वस्तु सभी दिशाओं में अनंत है। इस मामले में, सभी अनुवादों का सेट एक जाली (समूह) बनाता है। अनुवाद वैक्टर के विभिन्न आधार एक ही जाली उत्पन्न करते हैं यदि और केवल अगर पूर्णांक गुणांक के एक मैट्रिक्स द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जाता है, जिसमें निर्धारक का निरपेक्ष मान 1 है। के एक सेट द्वारा गठित मैट्रिक्स के निर्धारक का पूर्ण मूल्य ट्रांसलेशन वैक्टर एन-डायमेंशनल पैरेललपिप्ड का हाइपरवॉल्यूम है जो सेट सबटेंड करता है (जिसे जाली का कोवोल्यूम भी कहा जाता है)। यह समांतर चतुर्भुज समरूपता का एक मूलभूत क्षेत्र है: इसमें या इसमें कोई भी पैटर्न संभव है, और यह संपूर्ण वस्तु को परिभाषित करता है। जाली (समूह) भी देखें।}

उदा. 2D में हम 'a' और 'b' के स्थान पर 'a' और भी ले सकते हैं a − b, आदि सामान्य तौर पर 2D में, हम ले सकते हैं pa + qb और ra + sb पूर्णांक p, q, r, और s के लिए ऐसा है कि ps − qr 1 या -1 है। यह सुनिश्चित करता है कि a और b स्वयं अन्य दो सदिशों के पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं। यदि नहीं, तो दूसरी जोड़ी के साथ सभी अनुवाद संभव नहीं हैं। प्रत्येक जोड़ी ए, बी एक समांतर चतुर्भुज को परिभाषित करता है, सभी एक ही क्षेत्र के साथ, क्रॉस उत्पाद का परिमाण। एक समांतर चतुर्भुज पूरी वस्तु को पूरी तरह से परिभाषित करता है। आगे की समरूपता के बिना, यह समांतर चतुर्भुज एक मौलिक डोमेन है। वैक्टर ए और बी को जटिल संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है। दो दिए गए जाली बिंदुओं के लिए, जाली आकार उत्पन्न करने के लिए तीसरे बिंदु के विकल्पों की समानता को मॉड्यूलर समूह द्वारा दर्शाया गया है, जाली (समूह) देखें।

वैकल्पिक रूप से, उदा। एक आयत पूरी वस्तु को परिभाषित कर सकता है, भले ही अनुवाद वैक्टर लंबवत न हों, अगर इसके दो पक्ष एक अनुवाद वेक्टर के समानांतर हों, जबकि आयत के एक तरफ से शुरू होने वाला दूसरा अनुवाद वेक्टर विपरीत दिशा में समाप्त होता है।

उदाहरण के लिए, समान आयताकार टाइलों के साथ उन पर एक असममित पैटर्न के साथ एक टाइल पर विचार करें, पंक्तियों में, प्रत्येक पंक्ति के लिए एक अंश की एक पारी के साथ, टाइल का एक आधा नहीं, हमेशा समान, फिर हमारे पास है केवल अनुवादकीय समरूपता, Wallpaper_group#Group_.22p1.22|wallpaper group p1 (वही शिफ्ट के बिना लागू होता है)। टाइल पर पैटर्न के क्रम दो के घूर्णी समरूपता के साथ हमारे पास p2 है (टाइल पर पैटर्न की अधिक समरूपता टाइल्स की व्यवस्था के कारण उसमें बदलाव नहीं करती है)। समांतर चतुर्भुज की तुलना में आयत एक अधिक सुविधाजनक इकाई है, जिसमें एक टाइल का हिस्सा और दूसरे का हिस्सा होता है।

2डी में किसी भी लम्बाई के सदिशों के लिए एक दिशा में अनुवादात्मक समरूपता हो सकती है। एक रेखा, एक ही दिशा में नहीं, पूरी वस्तु को पूरी तरह से परिभाषित करती है। इसी तरह, 3डी में किसी भी लम्बाई के सदिशों के लिए एक या दो दिशाओं में अनुवादात्मक समरूपता हो सकती है। एक समतल (क्रॉस-सेक्शन (ज्यामिति) |क्रॉस-सेक्शन) या रेखा, क्रमशः, पूरी वस्तु को पूरी तरह से परिभाषित करती है।

उदाहरण

वास्तविक संख्याओं पर कम-से-संबंध अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है।

* फ्रीज़ पैटर्न में सभी ट्रांसलेशनल समरूपताएं होती हैं, और कभी-कभी अन्य प्रकार भी होती हैं।

• पूर्ण मूल्यों की बाद की गणना के साथ फूरियर रूपांतरण एक अनुवाद-अपरिवर्तनीय ऑपरेटर है।
• बहुपद समारोह से बहुपद डिग्री तक मानचित्रण एक अनुवाद-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक है।
• Lebesgue माप एक पूर्ण माप अनुवाद-अपरिवर्तनीय माप (गणित) है।

यह भी देखें

• सरकना प्रतिबिंब
• विस्थापन (वेक्टर)
• आवधिक समारोह
• जाली (समूह)
• अनुवाद ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)
• घूर्णी समरूपता
• लोरेंत्ज़ समरूपता
• चौकोर
• List of cycles § Mathematics of waves and cycles

संदर्भ

• Stenger, Victor J. (2000) and MahouShiroUSA (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chpt. 12. Nontechnical.श्रेणी: समरूपताश्रेणी:संरक्षण कानून