अपरिवर्तनीय उपस्थान

गणित में, एक रेखीय मानचित्रण का एक अपरिवर्तनीय उपस्थान T : V → V अर्थात कुछ सदिश समष्टि V से स्वयं तक, एक रेखीय उपस्थान W है V जो T द्वारा संरक्षित है; वह है, T(W) ⊆ W.

सामान्य विवरण

एक रेखीय मानचित्रण पर विचार करें $T$

$T:V\to V.$

एक अपरिवर्तनीय उपस्थान $W$ का $T$ इसमें सभी वैक्टरों की संपत्ति है $\mathbf {v} \in W$ द्वारा रूपांतरित हो जाते हैं $T$ वैक्टर में भी शामिल है $W$. इसे ऐसे कहा जा सकता है

$\mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v} )\in W.$

अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के तुच्छ उदाहरण

• $\mathbb {R} ^{n}$: तब से $T$ प्रत्येक वेक्टर को मैप करता है $\mathbb {R} ^{n}$ में $\mathbb {R} ^{n}.$
• $\{0\}$: चूँकि एक रेखीय मानचित्र में मानचित्रण करना होता है $0\mapsto 0.$

1-आयामी अपरिवर्तनीय उपस्थान U

1-आयामी स्थान का आधार (रैखिक बीजगणित) केवल एक गैर-शून्य वेक्टर है $\mathbf {v}$. नतीजतन, कोई भी वेक्टर $\mathbf {x} \in U$ के रूप में दर्शाया जा सकता है $\lambda \mathbf {v}$ कहाँ $\lambda$ एक अदिश (गणित) है। यदि हम प्रतिनिधित्व करते हैं $T$ एक मैट्रिक्स द्वारा (गणित) $A$ फिर, के लिए $U$ एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान होने के लिए इसे संतुष्ट करना होगा

$\forall \mathbf {x} \in U\;\exists \alpha \in \mathbb {R} :A\mathbf {x} =\alpha \mathbf {v} .$

हम वह जानते हैं $\mathbf {x} \in U\Rightarrow \mathbf {x} =\beta \mathbf {v}$ साथ $\beta \in \mathbb {R}$.

इसलिए, 1-आयामी अपरिवर्तनीय उप-स्थान के अस्तित्व की स्थिति को इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$, कहाँ $\lambda$ एक अदिश राशि है (वेक्टर समष्टि के आधार क्षेत्र गणित में।

ध्यान दें कि यह एक eigenvalue समस्या का विशिष्ट सूत्रीकरण है, जिसका अर्थ है कि कोई भी eigenvector $A$ में एक 1-आयामी अपरिवर्तनीय उप-स्थान बनाता है $T$.

औपचारिक विवरण

रेखीय मानचित्रण का एक अपरिवर्तनीय उपस्थान

$T:V\to V$

कुछ सदिश समष्टि V से स्वयं V का एक रैखिक उपसमष्टि W इस प्रकार है कि T(W) W में समाहित है। T के एक अपरिवर्तनीय उपसमष्टि को 'T अपरिवर्तनीय' भी कहा जाता है। यदि W, T-अपरिवर्तनीय है, तो हम एक नए रैखिक मानचित्रण पर पहुंचने के लिए T से W तक प्रतिबंध (गणित) लगा सकते हैं

$T|_{W}:W\to W.$

इस रैखिक मानचित्रण को W पर T का प्रतिबंध कहा जाता है और इसे परिभाषित किया जाता है : $T|_{W}(\mathbf {x} )=T(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in W.$ आगे, हम अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के कुछ तात्कालिक उदाहरण देते हैं।

निश्चित रूप से V स्वयं, और उप-स्थान {0}, प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर T: V → V के लिए तुच्छ रूप से अपरिवर्तनीय उप-स्थान हैं। कुछ रैखिक ऑपरेटरों के लिए कोई गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय उप-स्थान नहीं है; उदाहरण के लिए द्वि-आयामी वास्तविक संख्या वेक्टर समष्टि के घूर्णन (गणित) पर विचार करें।

मान लीजिए 'v' T का एक eigenvector है, अर्थात T 'v' = λ'v'। तब W = रैखिक विस्तार{'v'} T-अपरिवर्तनीय है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के परिणामस्वरूप, गैर-शून्य आयाम (वेक्टर स्पेस) पर प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर | परिमित-आयामी जटिल संख्या वेक्टर स्पेस में एक ईजेनवेक्टर होता है। इसलिए, ऐसे प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर के पास एक गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय उप-स्थान होता है। यह तथ्य कि सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं, यहाँ आवश्यक है। पिछले उदाहरण से तुलना करने पर, कोई देख सकता है कि रैखिक परिवर्तन के अपरिवर्तनीय उप-स्थान V के आधार क्षेत्र पर निर्भर हैं।

एक 'अपरिवर्तनीय वेक्टर' (यानी टी का एक निश्चित बिंदु (गणित), 0 के अलावा, आयाम 1 के एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान को फैलाता है। आयाम 1 के एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान पर एक स्केलर द्वारा टी द्वारा कार्य किया जाएगा और इसमें अपरिवर्तनीय वैक्टर शामिल होंगे यदि और केवल यदि वह अदिश राशि 1 है।

जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों से संकेत मिलता है, किसी दिए गए रैखिक परिवर्तन T के अपरिवर्तनीय उप-स्थान T की संरचना पर प्रकाश डालते हैं। जब V एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान है, तो V पर अभिनय करने वाले रैखिक परिवर्तनों की विशेषता होती है (समानता तक) जॉर्डन विहित रूप से, जो V को T के अपरिवर्तनीय उप-स्थानों में विघटित करता है। T के संबंध में कई मूलभूत प्रश्नों का अनुवाद T के अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के बारे में प्रश्नों में किया जा सकता है।

अधिक सामान्यतः, ऑपरेटरों के सेट के लिए अपरिवर्तनीय उप-स्थानों को सेट में प्रत्येक ऑपरेटर के लिए अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के रूप में परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए L(V) V पर रैखिक परिवर्तनों के क्षेत्र पर बीजगणित को दर्शाता है, और Lat(T) T ∈ L(V) के तहत अपरिवर्तनीय उप-स्थानों का परिवार है। (लाट संकेतन इस तथ्य को संदर्भित करता है कि लाट (टी) एक जाली (क्रम) बनाता है; नीचे चर्चा देखें।) एक गैर-रिक्त सेट Σ ⊂ एल (वी) को देखते हुए, प्रत्येक टी ∈ Σ के तहत अपरिवर्तनीय उप-स्थानों को अपरिवर्तनीय माना जाता है। प्रतीकों में,

$\operatorname {Lat} (\Sigma )=\bigcap _{T\in \Sigma }\operatorname {Lat} (T).$

उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि यदि Σ = L(V), तो Lat(Σ) = { {0}, V }।

एक सदिश समष्टि V पर एक समूह (गणित) G के समूह प्रतिनिधित्व को देखते हुए, हमारे पास G के प्रत्येक तत्व g के लिए एक रैखिक परिवर्तन T(g) : V → V है। यदि V का एक उपसमष्टि W इन सभी के संबंध में अपरिवर्तनीय है परिवर्तन, तो यह एक उप-प्रतिनिधित्व है और समूह G प्राकृतिक तरीके से W पर कार्य करता है।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, मान लें कि T ∈ L(V) और Σ {1, T } द्वारा उत्पन्न बीजगणित हैं, जहां 1 पहचान ऑपरेटर है। तब Lat(T) = Lat(Σ). क्योंकि T तुच्छ रूप से Σ में स्थित है, Lat(Σ) ⊂ Lat(T)। दूसरी ओर, Σ में 1 और टी में बहुपद शामिल हैं, और इसलिए रिवर्स समावेशन भी लागू होता है।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर, प्रत्येक रैखिक परिवर्तन T: V → V को एक बार V का आधार (रैखिक बीजगणित) चुने जाने के बाद एक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है।

मान लीजिए कि अब W एक T-अपरिवर्तनीय उप-स्थान है। एक आधार चुनें C = {'v'₁, ..., में_k}W का और इसे V के आधार B पर पूरा करें। फिर, इस आधार के संबंध में, T का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व रूप लेता है:

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}$

जहां ऊपरी-बाएँ ब्लॉक टी₁₁ T से W तक का प्रतिबंध है।

दूसरे शब्दों में, टी के एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान डब्ल्यू को देखते हुए, वी को वेक्टर स्थानों के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है

$V=W\oplus W'.$

T को एक ऑपरेटर मैट्रिक्स के रूप में देखना

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}},$

यह स्पष्ट है कि टी₂₁: W → W' शून्य होना चाहिए।

यह निर्धारित करना कि क्या कोई दिया गया उप-स्थान W, T के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, स्पष्ट रूप से ज्यामितीय प्रकृति की एक समस्या है। मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व किसी को इस समस्या को बीजगणितीय रूप से व्यक्त करने की अनुमति देता है। W पर प्रक्षेपण ऑपरेटर P द्वारा परिभाषित किया गया है P(w + w′) = w, जहां w ∈ W और w′ ∈ W'। प्रक्षेपण पी में मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है

$P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.$

एक सीधी गणना से पता चलता है कि W = ran P, P की सीमा, T के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है यदि और केवल यदि PTP = TP। दूसरे शब्दों में, एक उप-स्थान W, जो कि Lat(T) का एक तत्व है, संबंध PTP = TP को संतुष्ट करने वाले संबंधित प्रक्षेपण के बराबर है।

यदि P एक प्रक्षेपण है (अर्थात् P² = P) तो 1 − P भी है, जहां 1 पहचान ऑपरेटर है। उपरोक्त से यह पता चलता है कि टीपी = पीटी यदि और केवल यदि दोनों ran P और ran(1 − P) T के तहत अपरिवर्तनीय हैं। उस स्थिति में, T में मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है

$T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {Ran} P\\\oplus \\\operatorname {Ran} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {Ran} P\\\oplus \\\operatorname {Ran} (1-P)\end{matrix}}\;.$

बोलचाल की भाषा में, एक प्रक्षेपण जो टी के साथ चलता है वह टी को विकर्णित करता है।

अपरिवर्तनीय उप-स्थान समस्या

Main article: Invariant subspace problem

अपरिवर्तनीय उप-स्थान समस्या उस मामले से संबंधित है जहां V आयाम > 1 की जटिल संख्याओं पर एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्थान है, और T एक परिबद्ध ऑपरेटर है। समस्या यह तय करना है कि क्या ऐसे प्रत्येक टी में एक गैर-तुच्छ, बंद, अपरिवर्तनीय उप-स्थान है। यह समस्या अनसुलझी है as of 2021.

अधिक सामान्य मामले में जहां वी को बनच स्थान माना जाता है, प्रति एनफ़्लो (1976) के कारण एक अपरिवर्तनीय उपस्थान समस्या का एक उदाहरण है। एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान के बिना एक ऑपरेटर की एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान समस्या 1985 में चार्ल्स रीड (गणितज्ञ) द्वारा तैयार की गई थी।

अपरिवर्तनीय-उपस्थान जालक

एक गैर-रिक्त सेट Σ ⊂ L(V) को देखते हुए, Σ के प्रत्येक तत्व के अंतर्गत अपरिवर्तनीय उप-स्थान एक जाली (क्रम) बनाते हैं, जिसे कभी-कभी Σ का 'अपरिवर्तनीय-उप-स्थान जाली' कहा जाता है और Lat (Σ) द्वारा दर्शाया जाता है।

जाली संचालन को प्राकृतिक तरीके से परिभाषित किया गया है: Σ′ ⊂ Σ के लिए, मीट (जाली सिद्धांत) ऑपरेशन को परिभाषित किया गया है

$\bigwedge _{W\in \Sigma '}W=\bigcap _{W\in \Sigma '}W$

जबकि जॉइन (जाली सिद्धांत) ऑपरेशन द्वारा परिभाषित किया गया है

$\bigvee _{W\in \Sigma '}W=\operatorname {span} \bigcup _{W\in \Sigma '}W.$

लैट (Σ) में एक न्यूनतम तत्व को न्यूनतम अपरिवर्तनीय उप-स्थान कहा जाता है।

गैर क्रमविनिमेय बीजगणित का मौलिक प्रमेय

जिस तरह बीजगणित का मौलिक प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि परिमित-आयामी जटिल वेक्टर स्थान पर कार्य करने वाले प्रत्येक रैखिक परिवर्तन में एक गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय उप-स्थान होता है, गैर-अनुवांशिक बीजगणित का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि लाट (Σ) में कुछ Σ के लिए गैर-तुच्छ तत्व शामिल हैं।

'प्रमेय (बर्नसाइड)' मान लें कि V परिमित आयाम का एक जटिल सदिश समष्टि है। L(V) के प्रत्येक उचित उपबीजगणित Σ के लिए, Lat(Σ) में एक गैर-तुच्छ तत्व होता है।

रैखिक बीजगणित में बर्नसाइड प्रमेय का मौलिक महत्व है। एक परिणाम यह है कि एल(वी) में आने-जाने वाला प्रत्येक परिवार एक साथ ऊपरी-त्रिकोणीय|ऊपरी-त्रिकोणीय हो सकता है।

एक गैर-रिक्त सेट Σ ⊂ L(V) को 'त्रिकोणीय' कहा जाता है यदि कोई आधार मौजूद है {e₁, ..., यह है_n} V का ऐसा कि

$\operatorname {span} \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}\in \operatorname {Lat} (\Sigma )\ {\text{ for all }}\ k\geq 1\;.$

दूसरे शब्दों में, Σ त्रिकोणीय है यदि कोई आधार मौजूद है जैसे कि Σ के प्रत्येक तत्व का उस आधार में ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है। बर्नसाइड के प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि L(V) में प्रत्येक क्रमविनिमेय बीजगणित त्रिकोणीय है। इसलिए L(V) में आने-जाने वाले प्रत्येक परिवार को एक साथ ऊपरी-त्रिकोणीय बनाया जा सकता है।

वामपंथी आदर्श

यदि A किसी क्षेत्र पर एक बीजगणित है, तो कोई A पर नियमित प्रतिनिधित्व Φ को परिभाषित कर सकता है: Φ(a)b = ab, A से L(A) तक एक बीजगणित समरूपता है, A पर रैखिक परिवर्तनों का बीजगणित

Φ के अपरिवर्तनीय उप-स्थान बिल्कुल A के बाएँ आदर्श हैं। A का बायाँ आदर्श M, M पर A का उप-निरूपण देता है।

यदि M, A का बायां बीजगणित_over_a_field#Subalgebras_and_ideals है तो M पर बायां नियमित प्रतिनिधित्व Φ अब भागफल वेक्टर स्थान A/M पर प्रतिनिधित्व Φ' पर आ जाता है। यदि [बी] ए/एम में एक समतुल्य वर्ग को दर्शाता है, तो Φ'(ए)[बी] = [एबी]। प्रतिनिधित्व Φ' का कर्नेल सेट {a ∈ A | है ab ∈ M सभी b के लिए}।

प्रतिनिधित्व Φ' अघुलनशील प्रतिनिधित्व है यदि और केवल यदि एम एक अधिकतम आदर्श बायां आदर्श है, क्योंकि एक उप-स्थान वी ⊂ ए/एम {Φ'(ए) | के तहत एक अपरिवर्तनीय है। ए ∈ ए} यदि और केवल यदि भागफल मानचित्र, वी + एम के तहत इसकी पूर्वछवि, ए में एक बायां आदर्श है।

लगभग-अपरिवर्तनीय अर्धस्थान

अपरिवर्तनीय उप-स्थानों से संबंधित तथाकथित लगभग-अपरिवर्तनीय-आधे स्थान (एआईएचएस) हैं। एक बंद उपस्थान $Y$ एक बानाच स्थान का $X$ एक ऑपरेटर के तहत लगभग-अपरिवर्तनीय कहा जाता है $T\in {\mathcal {B}}(X)$ अगर $TY\subseteq Y+E$ कुछ परिमित-आयामी उप-स्थान के लिए $E$; समान रूप से, $Y$ के अंतर्गत लगभग-अपरिवर्तनीय है $T$ यदि कोई परिमित-रैंक ऑपरेटर है $F\in {\mathcal {B}}(X)$ ऐसा है कि $(T+F)Y\subseteq Y$, यानी अगर $Y$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय (सामान्य अर्थ में) है $T+F$. इस मामले में, न्यूनतम संभव आयाम $E$ (या रैंक) $F$) दोष कहलाता है।

स्पष्ट रूप से, प्रत्येक ऑपरेटर के तहत प्रत्येक परिमित-आयामी और परिमित-कोड-आयामी उप-स्थान लगभग-अपरिवर्तनीय है। इस प्रकार, चीजों को गैर-तुच्छ बनाने के लिए, हम ऐसा कहते हैं $Y$ जब भी यह अनंत आयाम और अनंत कोडिमेंशन वाला एक बंद उपस्थान होता है तो यह एक आधा स्थान होता है।

एआईएचएस समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक ऑपरेटर एआईएचएस को स्वीकार करता है। जटिल सेटिंग में इसे पहले ही हल किया जा चुका है; वह है, यदि $X$ एक जटिल अनंत-आयामी बानाच स्थान है और $T\in {\mathcal {B}}(X)$ तब $T$ अधिकतम 1 एआईएचएस दोष को स्वीकार करता है। वर्तमान में यह ज्ञात नहीं है कि क्या वही बात लागू होती है $X$ एक वास्तविक बनच स्थान है। हालाँकि, कुछ आंशिक परिणाम स्थापित किए गए हैं: उदाहरण के लिए, अनंत-आयामी वास्तविक हिल्बर्ट स्पेस पर कोई भी स्व-सहायक ऑपरेटर एआईएचएस को स्वीकार करता है, जैसा कि वास्तविक अनंत-आयामी रिफ्लेक्सिव स्पेस पर कार्य करने वाला कोई भी सख्ती से एकवचन (या कॉम्पैक्ट) ऑपरेटर करता है।

यह भी देखें

• अपरिवर्तनीय अनेक गुना
• लोमोनोसोव का अपरिवर्तनीय उप-स्थान प्रमेय

स्रोत

• Abramovich, Yuri A.; Aliprantis, Charalambos D. (2002). संचालक सिद्धांत के लिए एक निमंत्रण. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2146-6.

• Beauzamy, Bernard (1988). संचालक सिद्धांत और अपरिवर्तनीय उपस्थानों का परिचय. North Holland.

• Enflo, Per; Lomonosov, Victor (2001). "Some aspects of the invariant subspace problem". बानाच स्थानों की ज्यामिति की पुस्तिका. Vol. I. Amsterdam: North-Holland. pp. 533–559.

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• Lyubich, Yurii I. (1988). समूहों के बानाच प्रतिनिधित्व के सिद्धांत का परिचय (Translated from the 1985 Russian-language ed.). Kharkov, Ukraine: Birkhäuser Verlag.

• Radjavi, Heydar; Rosenthal, Peter (2003). अपरिवर्तनीय उपस्थान (Update of 1973 Springer-Verlag ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-42822-2.

• Roman, Stephen (2008). उन्नत रैखिक बीजगणित. Graduate Texts in Mathematics (Third ed.). Springer. ISBN 978-0-387-72828-5.

श्रेणी:रैखिक बीजगणित श्रेणी:संचालक सिद्धांत श्रेणी:प्रतिनिधित्व सिद्धांत